楔形物垂向撞击船体板的简化解析法研究

张 敏， 刘敬喜， 赵 耀， 黄诗雯

(1. 武汉轻工大学 机械工程学院，武汉 430048； 2. 华中科技大学 船舶与海洋工程学院，武汉 430074； 3. 船舶与海洋水动力湖北省重点实验室，武汉 430074； 4. 汉阳专用汽车研究所，武汉 430056)

船体外板和甲板受外物如跌落物、海底礁石、浮冰或其它船只的撞击作用下，会发生大变形甚至破裂。受损船板会影响船体的整体强度，严重的会导致船体进水、燃油泄漏甚至人员伤亡。研究船体结构受外物撞击的研究方法主要有：模型试验法、数值仿真法和理论分析方法[1]。相对其它两种方法，理论分析方法计算效率更高，因而在船舶耐撞性设计初期更实用。在理论分析模型中，通常将撞击物简化为球形体或楔形体，用来推导结构的抵抗变形能力[2]。

近年来，人们对船体板受外物撞击的研究主要集中在球形物的撞击上，并且研究出了一系列的解析解[3-7]。这些解的共性是考虑板在球头作用下的膜拉伸作用，将板的变形作用当成轴对称问题来求解。然而，矩形板受楔形头作用下的变形模式与球头作用下的不同。楔形体与外板接触作用的部分只有顶端，因此可以看成矩形板受线载荷或矩形面载荷的作用。相关学者也做了一些研究，Cho等[8]提出了一套解析解，将板受撞头压载下所形成的塑性铰划分为不同的区域，考虑不同区域的膜拉伸作用和塑性铰的弯曲作用，得到有限变形下的能量吸收值。孙斌等[9]基于楔形船艏撞击整体船体舷侧的场景，考虑外板变形区域的膜拉伸作用和变形区域周围塑性铰的弯曲作用，得到了倾斜楔形船艏撞击船体板的抵抗力计算公式。船体加筋板在抵抗碰撞中，板是主要的吸能构件，准确预报板受撞击下的变形抗力是十分必要的。然而，目前研究楔形体垂向撞击光板的抵抗力计算公式比较少。

此外，船舶碰撞属于低速碰撞问题，在结构短时间内的变形中，应变率会对材料起到强化作用，从而提高结构的抗力[10-11]。相对于低速碰撞，准静态作用下的结构变形特征与低速碰撞下的类似[12]。而且在低速碰撞中，随着撞击体与被撞体质量比值的增大，准静态作用下与低速冲击下的响应会逐渐接近[13]。船舶碰撞中，撞击体的质量一般比较大，被撞物为强构件约束下的板，其质量相对较小，因而在船舶碰撞中，准静态分析下的结果与低速碰撞下的结果比较接近，且准静态分析方法(试验、数值仿真或解析法)相对来说会更方便。

因此，本文提出了一套船体板受楔形物体准静态垂向作用下的简化解析方法，得到了简洁的抵抗力-撞深计算公式。通过模型试验验证了该解析解的准确性。本文提出的船体板遭受楔形物撞击下的抵抗力的解析方法对船体外板的耐撞性设计及评估有一定的指导作用。

1 理论分析

图1(a)是尺寸为2a0×2b0(a0和b0分别为矩形板的半长与半宽)的矩形板受尺寸为2a×2b(a和b分别为矩形撞头的半长与半宽)的矩形面载荷作用下的变形模式，若b=0，即可认为是矩形板受线载荷作用。考虑矩形板板变形在Oxy直角坐标系下的对称性，仅考虑第一象限的载荷响应。假设在撞击过程中，外板中与撞头接触的部分是固定不变的。因此，第一象限的板由撞头与矩形板的斜连接线划分为两部分，即：区域一和区域二。分别推导这两部分的抵抗力，叠加即可得到矩形板受面载荷压载下的整体抵抗力。

将变形区域一置于柱坐标系下计算。如图1(b)所示，区域一上的每一点均可在以O1为原点，ρ，θ，w为坐标轴的柱坐标系中表示。

图1 矩形板变形模式Fig.1 Deformation mode of the rectangular plate

考虑任意转角θ下的线O1O3，线O1O3上任意一点的挠度可用线性表达式w(ρ)来表示

w=c1ρ+c2,ρmin≤ρ≤ρmax

(1)

式中：c1和c2为待确定常数；ρmin和ρmax可以表示为

ρmin=m/cosθ,ρmax=(b0-b+m)/cosθ

(2)

式中：m为点O1和点O2之间的间距，根据几何关系，m可以求得

(3)

此外，θ的最大值α可以表示为

(4)

wmax是变形曲线上的最大值，因此，式(1)中常数c1和c2可以由如下边界条件确定。

ρ=ρmin,w=wmax
ρ=ρmax,w=0

(5)

将式(2)、式(3)和式(5)代入式(1)，得到板的变形表达式

(6)

考虑板在压载过程中的膜拉伸作用，拉伸应变ερ可以表示为

(7)

式中：u为板变形过程中的面内位移，板在侧向受垂向压载发生面外大变形时，一般可将其忽略。因此，拉伸应变的第一项为0。

结合式(6)，可以得到板的拉伸应变

(8)

在变形区域上积分求平均值，并结合式(2)～式(4)，得到区域一板在任意挠度下的平均应变值

(9)

求应变的一阶导数，得到平均应变的应变率为

(10)

(11)

式中：σ0为板材的流动应力，可以通过板的屈服强度σy和抗拉强度σu的平均值求得；t为板厚；A1为区域一的初始面积。

根据上限定理，外力功的功率与结构应变能率相等

(12)

式中：P1为板区域一所贡献的垂向抗力。

结合式(2)～式(4)和式(10)～式(12)，得到外力P1

(13)

区域一板所吸收的能量E1可以通过对撞深求积分得到

(14)

考虑材料的真实应力应变关系σeq(εeq)，可以得到更加准确的解析解，将等效应力σeq替代式(13)和式(14)中的流动应力σ0，可以得到

(15)

(16)

此外，板区域二变形所对应的抗力的求解过程与区域一相同。因此可以求得所对应的抗力P2，所吸收的能量E2和该区域的平均应变ερ2avg。其表达式为

(17)

(18)

(19)

矩形板整体的变形抗力P和变形吸能E可以通过叠加各区域的抗力得到。其表达式为

P=4(P1+P2)

(20)

E=4(E1+E2)

(21)

2 试验验证

为了证明所提解析解的准确性，开展了矩形板受楔形头的准静态压载试验，试验工装如图2所示。光板试件由上下夹具夹紧并由两排高强螺栓固定，光板变形区域的尺寸为400 mm×600 mm，试验中同步采集板的变形抗力及撞头行进的位移，采集频率为100 Hz。其中，力传感器最大量程为20 t，精度为0.1%；位移传感器最大量程为750 mm，分辨率为0.05 mm。基于两种形状的撞头开展了4组试验，试验工况如表1所示，400 mm×600 mm矩形板分别受尖头(顶端长160 mm)和平头(顶面尺寸160 mm×80 mm)侧向压载。另外，试验完成后用相机记录了两组试件(试件S1_1和试件S1_2)的三维变形形式。

图2 准静态压载试验工装Fig.2 Experimental set-up for quasi-static indentation test

表1 试验工况

试验中所用板材为1.455 mm厚的冷板，通过拉伸试验得到了板的材料曲线，其工程应力-应变曲线如图3所示，得到的材料参数汇总在表2中。此外，板材的真实应力应变可由如下关系式得到

σt=σe(εe+1)

(22)

εt=ln(εe+1)

(23)

式中：σe和εe分别为材料的工程应力和工程应变；σt和εt分别为材料的真实应力和真实应变。

然后将板屈服后、材颈缩前计算得到的真实应力应变值用函数关系式表达，以用于解析解表达式中。图3中也给出了材料的真实应力-应变关系，其关系用Voce公式[14]表达为

σeq=σy+R0·εeq+R∞(1-e-nεeq)

(24)

Voce公式中的材料参数R0，R∞，和n可通过曲线拟合得到，其值分别为：383.6 MPa, 95.89 MPa和22.08 MPa。

图3 试验板材材料曲线Fig.3 Material relations of the plate

表2 材料参数

3 结果对比

一般来说，在碰撞力的解析预报中，等效应力解考虑了结构在变形过程中应力随变形量的变化，因此，预报结果会比用流动应力计算的刚塑性解更准确。然而，由于在板材出厂时会直接给出材料的屈服强度σy和抗拉强度σu，可直接求得流动应力σ0，因此，刚塑性解在实际工程应用中会更方便。故本章将等效应力解和刚塑性解与试验值对比，检验解析解的准确性。

解析解与试验结果对比如图4所示。四种工况下的等效应力解均与试验结果吻合较好，而在矩形板受尖头作用的工况中，刚塑性解比试验结果大。图5为试件在尖头和平头作用下的最终变形图，从图5可知，尖头作用下的矩形板侧向变形所形成的轮廓(即图中的侧视图)曲率变化比平头作用下的要大，尤其是撞头附近的变形梯度更大，说明矩形板受尖头作用下的局部变形较大，这是导致实验测得的抵抗力比刚塑性解要小的原因。

图4 抵抗力-撞深曲线比较Fig.4 Comparison of resistance-penetration curves

图5 试件三维变形图Fig.5 Three-dimensional deformation of the specimens

比较矩形板受尖头和平头作用下的载荷响应曲线，尖头作用下的载荷曲线初始阶段上升较后期要缓慢。这个过程中，板材主要发生局部变形；随后，载荷曲线上升较迅速，说明试件在发生整体变形，同时试件发生整体变形所对应的载荷曲线与刚塑性解曲线几乎平行，这和解析解推导中假设矩形板只发生整体变形是一致的。而板在平头的作用下，没有发生载荷曲线在初始阶段上升缓慢的现象，因此其局部变形很小。因此，刚塑性解能很好地预报矩形板受平头压载时的抗力。

4 结 论

本文提出了船体板受楔形物垂向撞击下发生大的塑性变形的抵抗力解析计算方法。通过与试验结果对比，得到了以下结论：

(1) 相对于平头作用下的矩形板，尖头作用下的矩形板在初始阶段会发生局部变形，产生较小的抗力。

(2) 解析法中，等效应力解可以比较好地预报板整个变形过程的抗力，包括局部变形和整体变形。而刚塑性解只能预报板整体变形的抗力。

(3) 本文提出的简化解析解公式简便，有较高的计算精度，适用于船体板受楔形物撞击下的耐撞性计算，对船体结构的耐撞性设计有较好的指导意义。