具有3T、2T1R和2R1T模式的并联机构构型综合

刘 伟 刘宏昭

(1.西安理工大学机械与精密仪器工程学院， 西安 710048; 2.西安工程大学机电工程学院， 西安 710048)

0 引言

具有多种运动模式的并联机构的特征为：较少的驱动副可以实现多种运动模式；运动模式变换时不需要对机构进行重新组装，因而可以快速实现机构重构；一些此类并联机构在进行运动模式变换时，需要通过机构的奇异位形[1]。

DOMY并联机构具有4种不同的3自由度运动模式[2]，这种机构中含有特殊的运动链，HUNT[3]最早在研究连轴器时对其特征进行了分析。文献[4]使用几何代数方法[5]分析了此类具有运动分岔的机构所具有的运动模式类型。文献[6-7]对单环机构运动分岔的特征进行了分析，将转动轴线、移动方向的重合或平行作为机构运动模式变换的临界条件，并基于此设计了具有多种运动模式的机构。文献[8]对机构运动分岔时的奇异位形进行了分类，设计了一些具有多种运动模式的并联机构[9]。文献[10]综合了实现3T、3R、2R1T、2T1R三自由度运动模式相互转换的并联机构。文献[11-12]使用几何方法讨论了一些单环机构的运动分岔[13]问题。文献[14]使用可重构转动副设计了一种具有2R1T和3R运动模式的完全对称并联机构。文献[15]使用虚拟运动链，先对不同运动模式的并联机构支链进行型综合，选择两种运动模式共有的支链结构作为可选支链，再结合不同运动模式支链装配的几何条件，综合了具有多种运动模式的并联机构。文献[16]基于方位特征集，使用可变自由度支链、定自由度支链，综合了具有两转两平移和一转三平移运动模式的并联机构。文献[17-18]基于位移流形理论，使用串联变自由度支链综合了具有两移动一转动和两转动一移动运动模式、具有两转动一移动和三转动运动模式的并联机构。具有2T1R运动模式的并联机构在工业装配机器人、姿态调节器、并联机床等领域应用比较广泛。具有3T运动模式的并联机构在3D打印和分拣搬运等领域应用广泛。具有2R1T运动模式的并联机构，适合应用于在曲面上工作的操作手，具有刚度高、精确度高、灵巧性强等特点。

目前，具有多种运动模式的并联机构并没有被完全综合出来，一些机构所具有的新型运动模式相继被发现，具有多种运动模式的并联机构综合仍然是机构学研究的热点之一。多运动模式的并联机构在运动模式变换时，机构处于奇异位形，机构的自由度增加，对机构运动模式变换造成了困难。文献[19]提出实现运动模式变换的方式：手动、动态通过、增加额外的驱动副。增加额外的驱动副可对机构进行控制，但过多的驱动副会增加机构的制造成本，并且增大了机构的控制难度。本文设计使用较少驱动副和支链，实现多种运动模式的机构，以期该类机构具有应对一定复杂工况的能力。

1 变自由度支链

1.1 串联变自由度支链

一般情况下，并联机构支链结构可以根据位移子群或位移流形的生成元得到。典型的变自由度支链uRv1RwPv2RaR支链，如图1a所示，其位移流形可表示为

{R(A,u)}{R(v1)}{T1(w)}{R(v2)}{R(A,a)}

(1)

图1 uRv1RwPv2RaR变自由度支链运动模式变换Fig.1 uRv1RwPv2RaR variable DoF branch chain motion mode transformation

当图1a所示支链末端绕平行于转轴v1R的轴线做有限转动或沿移动副wP做有限移动后，转轴aR与连接在定平台上的U形副转轴uR的交点，从图1a中的点A移动到点N，此时支链位形如图1b所示。当图1b所示支链绕uR转轴做有限转动后，转轴a′R与U形副转轴uR的交点不变。转动副v1′R、v2′R与它们相连接的移动副w′P和连接动平台的转轴a″R发生变化，如图1c所示。当图1b所示支链绕v2R转轴做有限转动后，转轴a‴R与转轴uR平行，如图1d所示。该支链位形下支链末端具有2个转动自由度和3个移动自由度，支链末端受到1个垂直于万向铰链转轴的约束力偶。当图1d所示机构支链末端移动后，支链处于图1e所示位形，支链中存在1个局部转动自由度，支链末端姿态不变，支链1中的vRwPvR运动链可绕轴线uR转动后，支链处于图1f所示位形。从图1支链位形的变化过程中可以发现，图1a中的支链vRwPvR具有2个移动自由度和1个转动自由度，由于支链中转动副uR的转动，vRwPvR子链的移动平面的法线v将会发生改变。并且，由于vRwPvR子链所具有的移动和转动自由度，使得转轴aR的轴线与转轴uR的轴线的交点，在转动副uR的轴线上产生移动。当该交点移动到无穷远位置时，支链位形图如图1d所示。不同支链在移动、转动运动求交集时，移动平面的法线方向和转动中心起重要作用。图1所示支链所具有的上述运动特性，使得以其作为支链的并联机构可以实现运动模式的变换。

1.2 混联变自由度支链

具有2T1R和2R1T运动模式的机构如图2所示[17]，如图2a所示，当定自由度支链B1A1中的转动副R14的轴线l1与串联变自由度支链B2A2的转动副R24的轴线l2不平行时，该机构具有2T1R运动模式；如图2b所示，当定自由度支链B1A1中的转动副R14的轴线l1与串联变自由度支链B2A2的转动副R24的轴线l2平行时，该机构具有2R1T运动模式。图2所示并联机构的动平台A1A2A3串联移动副后，可得到混联变自由度支链，支链末端具有3T1R和2R2T两种运动模式，该支链结构如图3所示。然而，移动副一般情况下不作为被动运动副，可以使用等效移动副对其进行替换。平面平行四边形四杆机构可作为单自由度等效移动副，如图4所示。

图2 具有2T1R和2R1T运动模式的并联机构Fig.2 Parallel mechanisms with 2T1R and 2R1T motion modes

图3 具有3T1R和2R2T运动模式的混联变自由度支链Fig.3 Hybrid variable DoF branched chain with 3T1R and 2R2T motion modes

图4 平面平行四边形机构Fig.4 Planar parallelogram mechanism

图4所示平面平行四边形机构的连杆3绕圆心D沿图中的圆进行移动，连杆3具有一维移动位移流形，其运动不具有群的结构。假设图4所示连杆1上串联两个沿X、Y轴的移动副，连杆3在平面YOZ中进行一维圆周移动，连杆3的运动所具有的位移流形为

{T1(X)}{T1(Y)}{T1(YOZ)}

(2)

由于 {T1(X)}{T1(Y)}⊂T3

{T1(YOZ)}⊂T3dim({T1(X)}{T1(Y)}{T1(YOZ)})=dim(T3)=3

(3)

可得

{T1(X)}{T1(Y)}{T1(YOZ)}=T3

(4)

图4中连杆1串联2个移动副，且保证连杆3移动自由度与上述2个移动副运动独立，则连杆3具有空间3维移动的运动模式。因而，将图3中的移动副P4用图4中的平行四边形机构替换后，图3a支链末端具有3T1R运动模式。当图3b机构中的运动副P4用图4中的平行四边形机构替换后，图3b支链末端具有2R2T运动模式，支链末端的移动曲面为圆周弧线沿直线移动形成的曲面，该移动运动模式不具有群的结构，为2维移动位移流形。

2 具有3T、2T1R和2R1T运动模式的并联机构

当机构处于运动模式的变换位形时，机构瞬时自由度会增加，为了使用较少的驱动副，实现3T、2T1R、2R1T多种运动模式相互变换，应尽量避免机构同时具有3种运动模式时进行运动模式变换。当机构在2种运动模式之间变换时，改变1个自由度，则机构在变换位形自由度增加1个。如果机构运动模式自由度改变多于1个，则机构在变换位形自由度也会增加多个自由度，因而需增加多个辅助驱动副，来实现机构运动模式的变换，这增加了机构运动模式变换过程中机构的控制难度和机器设备制造成本。机构在3T、2T1R、2R1T运动模式间的变换路径可以为：机构从3T运动模式运动到3T1R瞬时自由度变换位形，然后变换为2T1R运动模式，机构再从2T1R运动模式运动到2R2T瞬时自由度变换位形，最终变换为2R1T运动模式。机构从最初的3T运动模式变换到2T1R运动模式，机构3T运动模式的1个移动自由度变换为1个转动自由度，机构在自由度变换位形下具有3T1R瞬时自由度，此时机构自由度增加1个。机构再从2T1R运动模式变换为2R1T运动模式，机构2T1R运动模式的1个移动自由度变换为1个转动自由度，机构在自由度变换位形下具有2R2T瞬时自由度，此时机构自由度同样增加1个。机构在运动模式变换时，始终自由度增加1个，理论上只需要1个辅助驱动副就可以实现机构运动模式的变换，这有利于降低机构运动模式变换的控制难度和机器设备的制造成本。可以通过设计非对称结构的并联机构来避免机构运动模式变换时，机构同时具有多种运动模式，造成机构自由度增多，需多个辅助驱动副来实现机构运动的控制问题。

图5 具有3T、2T1R和2R1T运动模式的并联机构Fig.5 Parallel mechanisms with 3T, 2T1R and 2R1T motion modes

由于1.1节和1.2节中的串联变自由度支链和混联变自由度支链可以实现运动模式的变换，且都能实现3T、2T1R、2R1T运动模式，理论上可以使用该混联变自由度支链和串联变自由度支链来实现3T、2T1R、2R1T运动模式的变换。如图5所示，定平台为B1B2B3，动平台为A3A4。连接B1与A1的运动链结构为ZRuRPuRZR，两个转动副ZR分别与定平台上点B1和连杆A1A2上A1点相连接。连接B2与A2的运动链结构为ZRZRZRXR，转动副ZR与定平台上点B2相连接，转动副XR与连杆A1A2上A2点相连接，连接B3与A3的运动链结构为YRwRPwRYR，转动副YR与定平台上点B3相连接，另一个转动副YR与动平台A3A4的点A3相连接。动平台A3A4与连杆A1A2通过平行四边形四杆机构连接。

3 机构运动模式自由度分析

3.1 3T运动模式

3.1.1自由度分析

如图5所示，在Bi点建立与坐标系OXYZ对应平行的坐标系oixiyizi。分析图5所示机构的自由度，第1种方法，以A3A4作为动平台，先计算运动链B1A1，运动链B2A2施加在连杆A1A2的约束旋量，然后求解连杆A1A2的运动螺旋，接着得到连杆A1A2连接平行四边形机构R41R42R43R44后得到的混联运动链的运动旋量，求解混联运动链施加在动平台A3A4上的约束旋量，最后结合运动链B3A3施加在动平台A3A4的约束旋量，对其求解互易积计算动平台A3A4的自由度。混联运动链中的驱动副产生的驱动旋量也可以使用上述方法进行计算，这种方法计算量较大。第2种方法，可以将图5中连杆A1A2作为动平台，支链B1A1作为第1支链，支链B2A2作为第2支链，支链B3A3连接平行四边形机构R41R42R43R44作为第3支链，计算图5所示机构在锁定驱动副后的自由度。使用这种方法，可将具有混联支链的机构转换为并联机构，改变了机构动平台的选取，机构的自由度不会发生改变，便于支链约束旋量、驱动旋量分析，但该方法不能求解动平台A3A4的运动模式和自由度。因而，使用旋量理论分析机构运动模式时，使用第1种方法。计算锁定驱动副后机构的自由度，分析驱动副选取合理性时，使用第2种方法。

图5所示机构转动副R12的轴线l1和R24的轴线l2异面，转动副R31的轴线l3与转动副R35的轴线l4平行。结合图2a机构所具有的2T1R运动模式，平行四边形机构R41R42R43R44等效为移动副P。图5机构位形下，混联运动链B1A1B2A2-P在定坐标系OXYZ下的约束旋量为

(5)

同理，支链B3A3在定标系OXYZ下施加在动平台A3A4上的约束力偶旋量可表示为

(6)

结合式(5)、(6)可知，动平台上施加的约束系不存在冗余约束，υ=0，采用修正的Kutzbach-Grübler公式计算机构自由度。值得注意图5中混联支链B1A1B2A2-P可等效为ZRZRZRP，因而n、g、fi应参照使用等效支链ZRZRZRP替代混联运动链B1A1B2A2-P后的结构取值。机构自由度为

M=6×(7-7-1)+9+0=3

(7)

机构具有3个自由度，对动平台A3A4上的约束旋量求解互易积，可知动平台A3A4在图5所示位形下，具有3T运动模式，即沿空间的3维移动自由度。根据文献[20]的方法判定运动模式是否瞬时，对应每一个自由度和其性质依次给出相对起始位型的一个足够小的有限位移。可以验证该3维移动自由度是全周的。

3.1.2驱动副选取合理性分析

当锁定支链中驱动副后机构自由度为零，说明驱动副选取正确。否则说明驱动副选取错误。将图5所示机构，运动链B1A1中的移动副P13，运动链B2A2转动副R21，运动链B3A3中的移动副P33作为驱动副。图5所示机构位形下，支链施加在连杆A1A2上的约束力旋量为

(8)

锁定运动链B1A1中的移动副P13，运动链B2A2转动副R21(锁定移动副P33不在连杆A1A2施加驱动力旋量)，施加在连杆A1A2上的驱动力旋量系为

(9)

结合式(8)、(9)组成的旋量系可知，该旋量系中的6个旋量在机构3T运动模式的一般位形下，线性无关，连杆A1A2上施加的约束系不存在冗余约束，υ=0。考虑到图5中平行四边形机构R41R42R43R44等效为移动副P，因而n、g、fi应参照使用移动副P等效替代平行四边形机构R41R42R43R44后的结构取值，则自由度为

M=6×(7-8-1)+12+0=0

(10)

机构具有0个自由度，可知机构在图5所示机构位形下，选取的3个驱动副能实现机构3T运动模式的控制。

3.2 3T1R瞬时自由度位形

3.2.1自由度分析

当控制3个驱动副使机构从图5所示位形做3维移动，运动到图6所示机构位形。图6所示机构位形下，转动副R12的轴线l1和R24的轴线l2异面，转动副R31的轴线l3与转动副R35的轴线l4平行(不重合)，转动副R32的轴线l5平行于Z轴，结合图2a机构所具有的2T1R运动模式，施加在动平台A3A4上的约束旋量在定坐标系OXYZ中可表示为

(11)

图6 3T1R瞬时自由度位形Fig.6 3T1R instantaneous DoF configuration

图6所示机构施加在动平台A3A4上的约束系存在冗余约束，υ=1。采用修正的Kutzbach-Grübler公式计算机构自由度。考虑到图6中混联支链B1A1B2A2-P可等效为ZRZRZRP，因而应参照使用等效支链ZRZRZRP替代混联支链B1A1B2A2-P后的结构对n、g、fi取值，自由度为

M=6×(7-7-1)+9+1=4

(12)

机构具有4个自由度，对动平台A3A4上的约束旋量求解互易积，可知机构在图6所示位形下，机构动平台A3A4具有1个平行于Z轴的转动自由度和3个移动自由度。考虑到机构从图5所示位形运动到图6所示位形，机构自由度由3T变为3T1R，且机构在图5所示位形下的自由度是全周的，因而图6所示机构4个自由度是瞬时的。

3.2.2驱动副选取合理性分析

锁定运动链B1A1中的移动副P13，运动链B2A2中的转动副R21，锁定运动链B3A3中的移动副P33(锁定移动副P33不在连杆A1A2上施加驱动旋量)，施加在连杆A1A2上的驱动力旋量为

(13)

施加在连杆A1A2上的约束力旋量为

(14)

结合式(13)、(14)组成的旋量系可知，该旋量系中的6个旋量在图6所示机构位形下，线性相关，υ=1。采用修正的Kutzbach-Grübler公式计算机构自由度。考虑到图6中平行四边形机构R41R42R43R44等效为移动副P，因而n、g、fi应参照使用移动副P等效替代平行四边形机构R41R42R43R44后的结构取值。自由度为

M=6×(7-8-1)+12+1=1

(15)

因而，机构具有1个自由度，可知机构在图6所示位形下，选取的3个驱动副不能实现机构3T1R瞬时自由度位形下的控制。

3.2.3辅助驱动副选取

根据3.2.2节的分析结果，锁定运动链B1A1中的移动副P13，运动链B2A2中的转动副R21，运动链B3A3中的移动副P33后，并不能实现对机构在3R1T瞬时自由度位形下的控制。因而，需要增加辅助驱动副。选取辅助驱动副时，应使得辅助驱动副的数目尽可能少，且辅助驱动副的布置尽可能靠近基座，以减少设备的制造成本和设备的运动惯量。当锁定辅助驱动副和支链的常规驱动副后，机构的自由度为零，则说明机构的辅助驱动副选取正确。转动副R11、R31都可作为辅助驱动副的备选选项。选取运动链B3A3中的转动副R31作为辅助驱动副，锁定该驱动副后，在连杆A1A2施加驱动力旋量

(16)

结合式(13)、(14)、(16)，该旋量系中的7个旋量在图6所示机构位形下，满秩且线性相关，υ=1，采用修正Kutzbach-Grübler公式计算机构自由度。图6中平行四边形机构R41R42R43R44等效为移动副P，因而n、g、fi应参照使用移动副P等效替代平行四边形机构R41R42R43R44后的结构取值。自由度为

M=6×(7-8-1)+11+1=0

(17)

根据式(17)可知，当锁定运动链B1A1中的移动副P13，运动链B2A2中的转动副R21，运动链B3A3中的移动副P33和转动副R31后，机构自由度为零，因而可以通过控制上述驱动副，实现机构在图6所示3T1R瞬时自由度位形时对机构的控制。可锁定移动驱动副P13、转动驱动副R21、辅助转动驱动副R31后，控制移动驱动副P33即可实现动平台A3A4绕平行于Z轴的轴线转动。动平台A3A4绕平行于Z轴的轴线转动后，支链B3A3中的转动副R31、R35轴线相交，根据3.3.1节的分析可知，此时机构离开3T1R瞬时自由度位形。

3.3 2T1R运动模式

3.3.1自由度分析

当控制图6所示机构的3个驱动副和1个辅助驱动副，使得机构动平台A3A4绕平行于Z轴的轴线转动后，机构处于图7所示位形，转动副R12的轴线l1和R24的轴线l2异面，转动副R31的轴线l3与转动副R35的轴线l4相交，转动副R32的轴线l5平行于Z轴。结合图2a机构所具有的2T1R运动模式，施加在动平台A3A4上的约束旋量可表示为

(18)

图7 2T1R运动模式Fig.7 2T1R motion mode

动平台A3A4上施加的约束系不存在冗余约束，υ=0。采用修正的Kutzbach-Grübler公式计算机构自由度。 考虑到图7中平行四边形机构R41R42R43R44等效为移动副P，图7中混联支链B1A1B2A2-P可等效为ZRZRZRP，因而应参照使用等效支链ZRZRZRP替代混联支链B1A1B2A2-P后的结构对n、g、fi取值。自由度为

M=6×(7-7-1)+9+0=3

(19)

机构具有3个自由度，结合动平台A3A4上的约束，对其求解互易积，可知机构动平台A3A4在图7所示位形下，具有2T1R运动模式，即沿XOY平面的2个移动自由度和绕平行于Z轴轴线转动的1个转动自由度。可以验证该3自由度是全周的。

3.3.2驱动副选取合理性分析

当机构处于图7所示位形，锁定驱动副P13、R21、P33在连杆A1A2上施加驱动力旋量为

(20)

施加在连杆A1A2上的约束力旋量为

(21)

结合式(20)、(21)可知，该旋量系中的6个旋量在机构2T1R运动模式的一般位形下，线性无关，连杆A1A2上施加的约束系不存在冗余约束，υ=0，采用修正的Kutzbach-Grübler公式计算机构自由度。考虑到图7中平行四边形机构R41R42R43R44等效为移动副P，因而n、g、fi应参照使用移动副P等效替代平行四边形机构R41R42R43R44后的结构取值。自由度为

M=6×(7-8-1)+12+0=0

(22)

机构具有0个自由度，可知机构在图7所示位形下，选取3个驱动副能实现对机构2T1R运动模式的控制。

3.4 2T2R瞬时自由度位形

3.4.1自由度分析

当控制图7所示机构的3个驱动副，机构从图7位形绕平行于Z轴的轴线转动，运动到图8所示位形，此时转动副R12的轴线l1与转动副R24的轴线l2平行，转动副R31的轴线l3与转动副R35的轴线l4相交，转动副R32的轴线l5平行于Z轴。结合图3b机构具有的2R2T瞬时自由度，施加在动平台A3A4上的约束旋量为

(23)

图8 2R2T瞬时自由度位形Fig.8 2R2T instantaneous DoF configuration

图8位形下，连杆A1A2具有2R2T瞬时自由度，因而混联支链B1A1B2A2-P可等效为ZRZRZRvRZP(向量v平行于图8中轴线l2)，因而n、g、fi应参照使用等效支链ZRZRZRvRZP替代混联支链B1A1B2A2-P后的结构取值。在图8所示机构位形下，动平台A3A4上施加的约束系不存在冗余约束，υ=0。采用修正的Kutzbach-Grübler公式计算机构的自由度为

M=6×(8-8-1)+10+0=4

(24)

因而机构具有4个自由度，结合动平台A3A4上的约束对其求解互易积，可知机构在图8所示机构位形下，动平台A3A4具有2个移动自由度和2个转动自由度。由于图8所示机构位形是由图7机构位形绕平行与Z轴的转轴转动得到的，且图7所示位形下动平台A3A4的3个自由度是全周的，因而图8位形下动平台A3A4的2R2T运动模式是瞬时的。

3.4.2驱动副选取合理性分析

图8所示机构位形下，锁定移动副P13、转动副R21、移动副P33，施加在连杆A1A2上的驱动力旋量系为

(25)

施加在连杆A1A2上的约束力旋量为

(26)

结合式(25)、(26)可知，该旋量系中的6个旋量在机构2T2R瞬时自由度位形下，线性相关，动平台上施加的约束系存在1个冗余约束，υ=1，采用修正的Kutzbach-Grübler公式计算机构自由度。考虑到图8中平行四边形机构R41R42R43R44等效为移动副P，因而n、g、fi应参照使用移动副P等效替代平行四边形机构R41R42R43R44后的结构取值。自由度为

M=6×(7-8-1)+12+1=1

(27)

图8所示机构具有1个自由度，可知在图8所示位形下，选取的3个驱动副不能实现机构2R2T瞬时自由度位形下的控制。

3.4.3驱动副选取

根据3.4.2节的分析结果，锁定移动副P13、转动副R21、移动副P33后，并不能实现对机构在2R2T瞬时自由度位形下的控制。因而，需要增加驱动副，根据3.2.3节的内容，选取支链3中的转动副R31作为辅助驱动副，锁定该驱动副后，在连杆A1A2施加驱动力偶旋量

(28)

结合式(25)、(26)、(28)中的旋量，该旋量系中的7个旋量在机构具有2R2T瞬时自由度时，满秩且线性相关，υ=1，采用修正的Kutzbach-Grübler公式计算机构自由度。考虑到图8中平行四边形机构R41R42R43R44等效为移动副P，因而n、g、fi应参照使用移动副P等效替代平行四边形机构R41R42R43R44后的结构取值。自由度为

M=6×(7-8-1)+11+1=0

(29)

根据式(29)可知，当锁定运动链B1A1中的移动副P13、运动链B2A2中的转动副R21、运动链B3A3中的移动副P33、运动链B3A3中的转动副R31后，机构的自由度为零，因而可以通过控制上述驱动副，实现机构在2R2T瞬时自由度位形时对机构的控制。可锁定移动驱动副P13、转动驱动副R21后，控制移动驱动副P33、转动驱动副R31，即可使动平台A3A4产生绕平行于轴线l2的转动和一维移动。动平台A3A4绕轴线l2的转动和做一维移动后，根据3.5.1节的分析可知，机构即可离开2R2T瞬时自由度位形。

3.5 2R1T运动模式

3.5.1自由度分析

当控制图8所示机构的3个驱动副和1个辅助驱动副，机构连杆A1A2从图8位形绕平行于转动副R24的轴线l2转动，运动到图9所示位形，此时转动副R12的轴线l1与转动副R24的轴线l2平行，转动副R31的轴线l3与转动副R35的轴线l4相交。结合图2b机构具有的2R1T运动模式，施加在动平台A3A4上的约束旋量为

(30)

图9所示位形下，动平台上施加的约束系不存在冗余约束，υ=0，采用修正的Kutzbach-Grübler公式计算机构自由度，图9中混联支链B1A1B2A2-P可等效为ZRwPvRP(向量v与转动副R24转动轴线重合，向量w与移动副P13移动轴线重合)，n、g、fi应参照使用等效支链ZRwPvRP替代混联支链B1A1B2A2-P后的结构取值。自由度为

M=6×(7-7-1)+9+0=3

(31)

机构具有3个自由度，结合动平台A3A4上的约束对其就求解互易积，可知动平台A3A4在图9所示机构位形下，动平台A3A4具有2个转动自由度和1个移动自由度，即图9所示机构位形下，机构具有2R1T运动模式。可以验证该2R1T运动模式是全周的。

图9 2R1T运动模式Fig.9 2R1T motion mode

3.5.2驱动副选取合理性分析

图9所示机构位形下，锁定移动副P13、转动副R21、移动副P33，施加在连杆A1A2上的驱动力旋量系为

(32)

施加在连杆A1A2上的约束力旋量为(混联变自由度支链B3A1A2不在连杆A1A2上施加约束)

(33)

结合式(32)、(33)组成的旋量系可知，该旋量系中的6个旋量在机构图9所示2R1T运动模式位形下，线性无关，连杆A1A2上施加的约束系不存在冗余约束，υ=0，采用修正的Kutzbach-Grübler公式计算机构自由度。考虑到图9中平行四边形机构R41R42R43R44等效为移动副P，因而n、g、fi应参照使用移动副P等效替代平行四边形机构R41R42R43R44后的结构取值。自由度为

M=6×(7-8-1)+12+0=0

(34)

锁定图9中移动副P13、转动副R21、移动副P33后，机构具有0个自由度，可知机构在图9所示位形下，选取的3个驱动副能实现机构2R1T运动模式的控制。

综上所述，该机构使用3个驱动副和1个辅助驱动副，可使得机构从3T运动模式的位形下，运动到3T1R的瞬时自由度位形，变换到2T1R运动模式下，然后运动到2R2T瞬时自由度位形，变换到2R1T运动模式。机构在上述3自由度运动模式下，使用3个驱动副可以实现机构的控制，当机构处于运动模式变换的瞬时4自由度位形时，除了使用3个驱动副以外，还需使用1个辅助驱动副来实现机构运动模式的变换。

4 结论

(1)使用混联变自由度支链可以实现机构运动模式的变换，提出的一类机构具有3T、2T1R和2R1T运动模式，在不同运动模式的机构位形下，采用旋量理论对机构自由度进行分析，验证了机构的多模式运动特性。

(2)选取的3个驱动副能在机构3种运动模式的一般位形下，实现对机构的控制，当机构在运动模式变换位形下，具有3T1R或2R2T瞬时自由度时，需要增加1个辅助驱动副，控制该辅助驱动副和上述机构的3个驱动副可以实现机构运动模式的变换。