具有非线性发生率且含Ornstein-Uhlenbeck过程的SIS传染病模型

李海燕，韦煜明，彭华勤

( 广西师范大学数学与统计学院，广西桂林 541004)

0 引言

传染病历来是危害人类健康的大敌，用数学模型描述传染病的病理机制已经有很长的历史，其中最经典的模型是Kermack和McKendrick提出的用于描述麻疹、乙肝等传染病的SIR仓室模型[1]，让传染病模型进入了定量分析的时代. 随着问题的深入，人们开始研究一些由SIR演化而来的模型[2-4]，讨论其动力学性质，得到疾病灭绝的条件.然而，在实际生活中，传染病系统不可避免的受到环境噪声的干扰.因此，越来越多的学者在传染病建模中考虑随机因素的影响，并研究了随机传染病模型的动力学行为[5-8]. 例如Lin等[9]提出了白噪声干预下的随机SIS传染病模型

(1)

其中B(t)为标准布朗运动，σ2>0表示白噪声强度，S(t)表示t时刻易感者人口的数量，I(t)表示t时刻感染者人口的数量， 假设总人口不变，即S(t)+I(t)=N，β表示疾病的传播系数，μ表示自然死亡率，γ表示疾病的恢复率，文献[9]的作者研究了模型(1)中疾病灭绝与持久的条件以及波动强度对疾病产生的影响.张丽萍等人[10]研究了如下具有非线性发生率的随机SIS传染病模型的动力学行为

(2)

其中α是饱和发生率，张丽萍等人利用Feller检测和随机比较原理得到了决定疾病灭绝和持久的随机基本再生数.

dβ(t)=θ(βe-β(t))dt+ξdB(t)，

(3)

其中，θ和ξ为正常数，θ为回复速率，ξ为波动强度，βe为接触系数的长期平均水平.对(3)式积分，得到

，

(4)

其中，β0∶=β(0).易知β(t)的期望为

E[β(t)]=βe+(β0-βe)e-θt，

(5)

β(t)的方差为

(6)

因此，(4)式可写成如下形式

(7)

其中

因为在实际生活中，染病者与易感者的接触率不一定满足双线性关系，即疾病的发生率一般是非线性的，所以本文在[10，11]的基础上，为了更好的描述环境变化对传染病的影响，主要研究一个包含Ornstein-Uhlenbeck过程且具有非线性发生率的随机SIS传染病模型.将(7)式代入到模型(2)中，得到如下随机模型

因为S(t)+I(t)=N，所以只考虑如下方程：

(8)

其中初值I(0)=I0∈(0，N).

基于文献[10]的理论，本文通过构造合适的Lyapunov函数，利用鞅的强大数定理等相关的随机微分方程的知识，讨论SDE模型(8)疾病持久和灭绝的条件，并且研究波动强度和回复速率对疾病的影响.

1 全局正解的存在性和唯一性

对于模型(8)这样一个随机微分方程，首先考虑其解的存在唯一性.本文中记

a∧b=min{a，b}，a∨b=max{a，b}.

定理1.1 对任意初值I0∈(0，N)系统(8)存在唯一的正解，并且对所有的t≥0，I(t)依概率1位于(0，N)中.即

P{I(t)∈(0，N)∶t≥0}=1

τ∞=∞a.s.，则τe=∞(I(t)∈(0，N)).

现用反证法证明τe=∞a.s..

如果τ∞<∞，则存在T>0和ε∈(0，1)使得P(τ∞≤T)>ε.因此存在一个正整数k1>k0使得对所有的k>k1满足

P(τk≤T)≥ε，

定义一个C2-函数V∶(0，N)→R+如下

其中

如果β0≤βe，则βe+(β0-βe)e-θt≤βe；如果β0>βe，则βe+(β0-βe)e-θt≤β0.因此

LV(I)≤CV(I)

因此

由Grouwall不等式知

EV(I(t∧τk))=V(I0)eCT

(10)

V(I(τk，ω))≥k，

根据(10)式有

V(I0)eCT≥E[XΩk(ω)V(I(τk，ω))]≥kε，

令k→∞，则∞>V(I0)eCT>∞，矛盾，所以τ∞=∞a.s.，即系统(8)存在全局唯一正解.

2 疾病的灭绝性与持久性分析

2.1 疾病的灭绝性分析

定理2.1 如果

(11)

或

(12)

则对于任意初值I0∈(0，N)，SDE模型(8)的疾病灭绝.

(13)

其中

记

易证

根据(13)式，有

(14)

因为

是一个局部鞅，根据鞅的强大数定理[15]知

根据(14)式有

在条件(12)下

同理，根据(13)式有

所以

2.2 疾病的随机持久性性分析

(15)

和

(16)

其中

(17)

是

a3)当x∈(ρ，N)时，f(x)<0且严格单调递减.

现在证明(15)式成立，假设(15)式不成立，则存在一个充分小的ε∈(0，1)，使得

I(t，ω)≤ρ-ε(t≥T(ω))，

(18)

选择充分小的ε使得f(0)>f(ρ-ε).根据a1)a2)和a3)式有

f(I(t，ω))≥f(ρ-ε) (t≥T(ω))，

(19)

根据鞅的强大数定理，存在Ω2∈Ω和P(Ω2)=1，使得对每一个ε∈Ω2，有

(20)

(i)如果β0>βe，则有

现在固定ω∈Ω1∩Ω2，根据(19)，(20)两式，对T≥T(ω)时

则有

因此

这与(18)式矛盾，所以(15)式成立.

(ii)如果β0<βe，则有

则存在Ω3∈Ω且P(Ω2)=1，使得对每一个ω∈Ω3，

现在固定ω∈Ω1∪Ω2∪Ω3，同样得到

这与(18)式矛盾，所以(15)式成立.

现在证明(16)式，如果(16)式不成立，则存在一个充分小的δ∈(0，1)，使得P(Ω4)>δ，其中

I(t，ω)≥ρ+δ(t≥T(ω))

(21)

根据a2)，a3)和(20)式知

f(I(t，ω))≤f(ρ+δ) (t≥T(ω))

(22)

则此时存在一个Ω5⊆Ω且P(Ω5)=1，使得对每个ω∈Ω5，

固定ω∈Ω2∪Ω4∪Ω5，根据(13)，(20)和(22)知，对t≥T1(ω)有

综合(21)式，有

因此

这与(21)式矛盾，从而(16)式成立.

3 波动强度和回复速率对疾病的影响

定理2.1和定理2.2讨论了环境干预下疾病灭绝性和持久性，接下来将讨论波动强度和回复速率对传染病动力学的影响.

ρ是严格递减的，并且有

和

证明：计算

因为

同时有

当R0>2时，

当1

定理3.1得证.

ρ是严格单调递增的，并且有

和

证明：计算

因为

因为ρ关于θ是严格单调递增的并且有界，所以有

同时有

当时R0>2，

当1

定理3.2得证.

4 结论

本文利用随机微分方程的相关知识，讨论了一个具有非线性发生率且含Ornstein-Uhlenbeck过程的随机SIS传染病模型疾病灭绝与持久性的条件.更精确的说，如果θ>θ*或者ξ<ξ*，疾病将持久；如果θ<θ*或者ξ>ξ*，疾病将灭绝.这说明大的波动强度和小的回复速率有助于抑制疾病的爆发，因此，可以通过增大波动强度或减少回复速率来控制疾病的爆发，这在生物学上为疾病的控制提供了理论依据.