医治解题之“病症”

张莉

【摘要】中医诊断尚有“望闻问切”四种基本方法，数学题目灵活多变，数学教学的核心是解题，若把问题看作病症，怎么医治？笔者认为波利亚提出的解题四步骤，就是解题人的“望闻问切”。

【关键词】“病症”  解题为核心  波利亚的解题理论

【中图分类号】G634.55 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）50-0236-01

相信每一位教学工作者，在考试结束之后，听到学生抱怨较多的是以下几个理由：某道题没有看懂题意，不会;某道题课堂上老师讲过类似的，但是我就是想不起来怎么做了;某道题考试时我和答案上想的一样，因为我的不确定解法的正误，就没有解答;某道题我会的，只是计算错啦;等等。笔者发现，在历届学生的反馈中都有类似问题，而教师大部分都会以基础知识不扎实，落实不到位，知识系统不完善等理由给学生分析问题。直到笔者学习了波利亚的解题四步骤理论，才发现给学生们分析的原因分明就是隔靴挠痒。以上学生们的种种抱怨，分明就是解题中的不同病症，而解题四步骤就是良药。下面简单介绍波利亚的解题四步骤方法。

一、波利亚的解题理论

波利亚的解题四步骤，就是明确如何审题。对于解题的先后顺序以及每一步的都有提示性的操作方法，使解题工作有法可依。

第一步，理解题目

提示性问题：未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件有可能满足吗？条件是否足以确定未知量？

第二步，拟定方案——找出已知数据和未知量之间的联系

提示性问题：你以前见过它吗？或者你见过同样的题目以一种稍有不同的形式出现吗？你知道一道与它有关的题目吗？这里有一道和你的题目有关而且以前解过。你能利用它吗？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了有可能应用它，你是否应该引入某个辅助元素？你能重新叙述这道题目吗？你还能以不同的方式叙述它吗？

第三步，执行方案

执行你的解题方案，检查每一个步骤。你能清楚的看出这个步骤是正确的吗？

第四步，回顾

提示性问题：你能检查这个结果吗？你能检验这个论证吗？ 笔者认为，解题过程是一种心智技能。按照加里培林的心智动作形成阶段理论，需经过五个阶段：动作的定向阶段;物质与物质化阶段;出声的外部语言动作阶段，不出声的外部语言动作阶段;内部言语动作阶段。而波利亚的解题四步骤就是教师教授学生解题的“出声的外部语言动作阶段”，通过四步骤，就把数学解题转化为“内部言语动作”，最后使数学解题成为“训练学生思维的体操”。大部分学生在解题过程中面临的主要矛盾是，有相关的知识，或许是丰富的数学知识，但是就是不知道如何用来解一道相关的问题，不知道怎么切入。波利亚的解题四步骤就如中医疗法的“望闻问切”，为解题提供了一条阳光大道。

下文结合高中数学的一道题来介绍波利亚的解题四步骤，分析方法，供读者参考，研究。

已知曲线y=■x3+■，求曲线过点P（2，4）的切线方程。

二、解题四步骤

步骤1：理解题目

依次从以下三个方面来分析问题：

（1）未知量是什么？   求切线方程。

（2）已知数据是什么？   曲线方程，点P坐标。

（3）条件是什么？   曲线过点P。

通过三个问题，用简洁，可操作的思维活动帮助学生快速熟悉问题，理解题意。

步骤2：拟定方案   就是找出已知数据与未知量之间的联系

就本道题而言，引导学生重点思考两个问题：

（1）曲线的切线方程，如何求？

分析：曲线方程是三次的，进一步思考，以前你解过求三次曲线在某点处的切线吗？这是一道课堂常规题：确定切点，求导得斜率，点斜式。

（2）过点P的切线方程，什么意思？

分析：找关键词，“过点P”.应理解为：点P可能是切点。故应先判断是切点吗？若是怎么求？若不是，怎么求？

通过分析不难发现，在找已知数据与未知量联系的过程中，你或许考虑的是一道与它相关的辅助题目，或应用辅助题目的解题方法，或者是结论来分析此题。最终你应该得到一个使自己信服的解决方案。由于是从不同的方面分析问题，也促使你关注问题的细节，思维更严谨。

步骤3：执行方案

解∵显然点P（2，4）恰在曲线上，且f'（x）=x2

由题意，以下对点P是不是切点分类讨论

（1）若点P是切点，则斜率k=f '（2）=4

则切线方程为：y-4=f '（2）（x-2）

即：4x-y-4=0

（2）若點P不是切点，可设切点为P0（x0，y0），则x0≠2.

y-y0=f '（x0）（x-x0），又点P在切线上

故4-y0=f '（x0）（2-x0）

从而4-（x03+）=x02（2-x0）

解得x0=-1，x0=2（舍）

切线方程为：x-y-2=0

综上，切线方程为：4x-y-4=0;或x-y-2=0

步骤4：回顾   检查你的解答，使你的思路更清晰，简洁。

就本例题而言，通过回顾就能解决学生可能出现的计算错误。把点带入所求方程验证。也更进一步完善学生知识体系中求切线方程的问题，进而通过一道问题，扩充到一类问题。

三、一些感悟

波利亚的解题四步骤，看似解决了一道问题，而是剖析题目的实质，通过相似问题间的辨析，找细微差异，进而理解了一类问题，事半功倍。由于不同层次的学生，在知识学习过程中有不同的差异，教师在教授的过程中，针对学生出现的问题，就能进行行之有效的帮助，达到分层教学的目的。当然，学生通过潜移默化，也能根据自我情况，从不同的侧面不同的层次进行解题训练，形成有效的学习方法。对于学生养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力，进而提高学生学习数学的兴趣，增强学好数学的兴趣是行之有效的，进而完成高中数学课程目标的要求。

参考文献：

[1]《普通高中数学课程标准（2017年版）》

[2]G﹒波利亚.冯承天译.怎样解题[M].上海科技教育出版社，2011.