关于一元多项式的Casas-Alvero猜想一类情况研究

杨环瑜

（湛江幼儿师范专科学校，数学系，广东 湛江 524084）

一、引言

（一）本文背景

自1998 年Casas-Alvero（巴塞罗那大学数学系教授）提出Casas-Alvero 猜想以来[1]，该猜想一直受到了数学界人士的青睐，该猜想在拓扑学中有极其广泛的应用。Casas-Alvero教授和多位数学家致力于证明该猜想的正确性，希望能证明这一点。因此，至今这个问题仍然没有解决，现在被称为Casas-Alvero猜想。本文将运用高等代数知识讨论有关复系数一元多项式的Casas-Alvero猜想。

（二）国内外研究现状

近年来，研究人员对Casas-Alvero 多项式的研究是数学界热门的话题之一。2005 年，Diaz-Toca G.M.和Gonalez-Vega L.能够证明的猜想度最高到8（公布到7），使用了重计算方法[2]。

随后，Von Bothmer H.-C.G.，Labs O.，Schicho J.和van der Woestijne C，证明这一猜想的度是素数幂以及其他一些相关情况［3］。

Draisma J.和De Jong J.P.给出了当前问题的不同证明和一个不错的关于猜想的介绍，使用了估值理论去证明而不是代数几何方法［4］。

（三）本文主要内容及其意义

设f(x)是形如

的首项系数等于1的n（n ＞1）次复系数一元多项式,又设f(k)(x)(k=1,···,n-1)是f(x)的k阶导数，如果存在复数α1,···,αn-1可使

则称f(x)是n次Casas-Alvero多项式。2001年，E.Casas-Alvero[1]在研究平面曲线的拓扑性质时定义了此类多项式，并且提出以下猜想：

猜想A如果f(x)是n次Casas-Alvero多项式，则必有：

其中α是复数。

上述的猜想A称为Casas-Alvero 猜想，这是一个迄今尚未解决的难题，目前只证实了一些极特殊的情况［2］-［4］。例如，当多项式f(x)的次数n＜12 时猜想A成立，但是现在还不知道该猜想在n=12时是否成立［3］。

由复系数一元多项式的因式分解定理可知:如果f(x)适合(3)，则f(x)仅有根x=α；反之，任何有不同根的多项式都不能表成（3）之形［5］。因此，猜想A可等价地表述为：

猜想B如果f(x)有不同的根,则f(x)不是Casas-Alvero多项式。

由此可知：若能证明任何有不同根的多项式都不是Casas-Alvero多项式，则即可断定Casas-Alvero猜想成立。根据以上思路，本文解决了Casas-Alvero猜想的一类基本情况，即证明了以下定理。

主要结果：

定理如果f(x)恰有2个不同的根，则f(x)不是Casas-Alvero多项式。

上述定理的证明要用到一元多项式的下列性质。

二、一些引理

引理1［5］如果重根的个数按重数计算，则n 次复系数一元多项式恰有n个根。

引理2［5］当n 次多项式f(x)可表成（1）时，如果α1,…,αn是f(x)的n个根，则。

引理3［5］x0是f(x)的k 重根的充分必要条件是f(x0)=f'(x0)=…=f(k-1)(x0)=0，而f(k)(x0)≠0。

引理4［8］如果是形如（1）的多项式的所有不同的根，分别是它们的重数，则

引理5［9］对于形如（1）的多项式f(x)，设未定元y与x适合

引理6［5］复系数n(≥1)次多项式在复数域上都可唯一地分解成一次因式的乘积。

三、定理的证明

（一）思路的来源

该猜想涉及多项式的根、多项式理论以及多项式的n阶导数；通过查询资料，发现现有的相关研究极其有限，所以只能从多项式的基本特征入手，灵活运用“高等代数”等专业课程知识。非常幸运的是，引理3与该猜想的相关条件非常相似，故本人选择从引理3 寻找突破口，获得方法去证明该猜想的正确性。

（二）定理的证明

设f(x)是形如（1）的n次复系数一元多项式，又设f(x)恰有2个不同的根α和β，它们的重数分别是n1和n2，此时，α和β是适合

的复数；根据引理1可知n1和n2是适合

的正整数;又从引理2可知

根据一元多项式的求导法则（参见文［5］），可知f(x)的n-1阶导数是

如果f(x)是Casas-Alvero多项式，则从此类多项式的定义（2）可知：存在复数αn-1适合

从（9）可得

（10）代入（8）可知

或者

当（12）成立时，从（6）可得

结合（5）和（14）可得

由于n2是正整数，所以从（15）可得α=β 这一与（4）矛盾的结果。

同理可证：当（13）成立时，亦可得α=β 这一矛盾。

综上所述可知：当f(x)恰有2个不同的根时,f(x)不是Casas-Alvero 多项式，定理证完。

（三）定理的应用

解法1（矩阵的初等行变换法）：

显然，f(x)恰好有两个根-1 和4，故由上述定理直接可以判断，f(x)不是Casas-Alvero多项式。

解法2（行列式法）：

利用行列式的性质，通过降阶和提取公因式的方法进行因式分解[7]。

显然，f(x)恰好有两个根-1 和4，同理由定理直接可得：f(x)不是Casas-Alvero多项式。