能量都去哪儿了？

张峰 刘尊群

摘   要：常规解法得出含电容器“单杆+导轨”模型中杆的收尾速度与回路中的电阻无关，进一步得出导体杆损失的机械能相同，但从能量守恒观点定性分析发现回路中获得的能量却不相同，还有一部分能量去哪儿了？为解释此矛盾，运用微积分知识，定量推导出回路中产生焦耳热的表达式。结果表明，回路中产生的焦耳热与电阻无关，从能量观点也得出导体杆损失的机械能相同。

关键词：单杆导轨模型;电容器;收尾速度;计算焦耳热

中图分类号：G633.7 文献标识码：A    文章编号：1003-6148（2019）11-0056-2

1    问题的提出

1.1    含电容器“单杆+导轨”模型

在《电磁感应》的复习备考中，含电容器“单杆+导轨”模型是一类常见问题，如图1所示，两根足够长的光滑平行导轨间距为L，固定在水平面内，两导轨左端接一电容为C的电容器，有一根质量为m、长度为L的导体杆垂直两导轨放置，不计一切电阻，整个装置处在方向垂直于导轨平面向下的足够大的匀强磁场B中。给杆一个初速度v0，使导体杆沿着导轨运动（导体杆始终与导轨接触良好），求最终稳定时导体杆速度的大小。

1.2    常规解析过程

给导体杆一个初速度v0，杆做切割磁感线运动，产生感应电动势，对电容器充电，杆中有充电电流存在，杆将受到安培力的作用而減速，于是产生的感应电动势减小，当杆两端的电压等于电容器两端的电压时，回路中电流为零，杆最终以速度v做匀速运动。

1.3    提出问题

如图2所示，若在电路中接入一个阻值为R的电阻，根据上面的求解过程，可以得出最终杆的收尾速度与图1的结果一样，即杆的收尾速度与回路中的电阻无关。

但从能量守恒的角度分析这两种情况，图1中的能量关系： mv  - mv  =E ;图2中的能量关系： mv  - mv  =E +Q2。两种情况下杆的收尾速度相同v1=v2=v，电容器充电完毕后的电压也相同UC1=UC2=UC=BLv，电容器的能量也相同 EC1=EC2= CU  。于是就引出了一个问题，图1和图2中导体杆损失了相同的机械能，但回路中却获得了不同的能量，图2中多出了一个电阻R消耗的能量Q2，图1中对应的这部分能量都去哪儿了？

2    定量求解焦耳热

2.1    分析和假设

为了解释这个问题，我们从回路中产生的焦耳热入手，分析含电容器“单杆+导轨”模型中产生的焦耳热究竟与哪些因素有关。

导体杆一般是有电阻的（上述讨论中将导体杆的电阻视为零是不合理的），将图2电路中的电阻和导体杆的电阻视为回路的总电阻，上面要讨论的图1和图2中的矛盾问题就变成在回路总电阻不同的情况下，导体杆以相同的初速度开始运动到最后匀速运动的过程中，回路中的总电阻产生的焦耳热是否相同？

接下来先求出回路中电流随时间变化的关系，然后再计算这一过程中产生的焦耳热。

2.2    求解电流的表达式[1]

设经过时间t，导体杆的速度为v。

2.3    求解焦耳热

从图3可以看出，导体杆从开始运动到杆中的电流趋于零，需要经历的时间趋于无穷大[2]。

3    结  论

从以上定量计算的结果可以看出，整个过程产生的焦耳热与回路中的电阻无关，即两种情况下产生的焦耳热相同。从能量守恒的角度可得 mv  - mv  =EC+Q，故也可以推导出两种情况下导体杆损失的机械能相同。

参考文献：

[1]梁灿彬，秦光戎，梁竹健.电磁学[M].北京：高等教育出版社，1980：414-421.

[2]同济大学应用数学系.高等数学（下册 第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002：266-267.

（栏目编辑    罗琬华）