一元二次方程的数学内涵在高中物理运动学试题中的应用

任权民 张瑞琪

摘   要：考试作为教学评价最直观的手段，其有效性显得尤为重要。随着考试内容和形式的变化，创新性试题可以进一步增强考试的有效性。文章通过分析一元二次方程根与系数关系的数学内涵在高中物理运动学试题中的应用，构建了该数学内涵思想下的运动学物理模型，为考试评价、教学指导以及教师能力的提升提供了参考的依据，也为编制该类型试题提供了一套完整的思路与方法。

关键词：运动学试题;一元二次方程;根与系数关系;数学内涵;创新试题

中图分类号：G633.7 文献标识码：A    文章编号：1003-6148（2019）11-0011-3

1    引  言

随着教育的发展，考试的形式也在不断更新，作为教学效果最直观的评价手段，其知识性、科学性以及新颖性逐渐凸显出来。作为教学评价的基本手段，考试的有效性显得尤为重要，所以需要编制创新性试题来进一步加强考试的有效性。在高中物理中，运动学部分是高考考查的重点和难点之一，也是必考点。《考试大纲》中“应用数学解决物理问题”这一要求凸显了数学内涵在物理试题中应用的广泛性与必要性。在物理学中，运动学中所包含公式的基本形式往往与一元二次方程的基本式相近。例如，在平抛运动中，已知竖直高度h，根据h=1/2gt2，利用直接开方可以求出时间t;或者在圆周运动中，已知向心力，根据F=mv2/r或F=mω2r，可以求出线速度、角速度[1]。不仅如此，该应用还包括方程根与系数关系的运用，根据韦达定理的基本形式，对方程的根赋予一定的物理意义，就可以找出它们之间的关系[2]。所以，一元二次方程的数学内涵在解决物理题目中的有关问题时较为常见，在考试范畴中的应用也较为广泛，所以对于该数学内涵的挖掘是必不可少的。本文通过对中学物理运动学试题中一元二次方程的数学内涵进行挖掘，归纳了命制该类型试题的思路，并利用该思路进行了试题的命制，旨在为中学生在学习物理的运动学部分提供学习参考，为中学物理教师提供运动学试题解答的技巧和方法以及命制运动学相关试题的思路，还整理出了物理中的运动学与数学知识结合的相关规律。

2    方程根与系数关系的数学内涵

一元二次方程中根与系数的关系如下：

设在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，x1、x2是方程的两根，两根有如下关系[3]：

通过上述两个关系式可以看出，应用方程根与系数的关系可以得到两根之和以及两根之积。同时根据公式的变形以及推导可以得出两根之差的绝对值：

不仅如此，在利用根与系数的关系求解时，还可以对应“转换思路”，即把未知的转换为已知的，把我们不知道的探究转换为已经知道的成果。也就是说，在根与系数的关系中可以利用已经知道的系数分别求出两根;反过来，也可以利用已经知道的两根求出方程的系数;同时也可以利用系数求出两根的三种关系，使试题更加巧妙。

3    应用数学内涵命题的思路

3.1    命题目标

考查平抛运动、匀速直线运动的基本规律等物理运动学知识点。利用根与系数的关系及转换思路求两物理量之差的数学内涵。

3.2    数理模型

3.2.1    命题模型

抛物线与直线的位置关系，可以视为平抛运动与匀速直线运动轨迹的位置关系。抛物线与直线的位置关系有相交、相切和相离三种情况，如图1所示，结合平抛运动和匀速直线运动的物理含义与实际意义，两者相离的位置关系无实际意义[3-4]，暂不考虑。

3.2.2    物理情境

在多向飞碟项目中，碟靶抛出飞碟后，运动员可射击飞碟的次数为2次，若运动员第一枪未射中，可再射第二发子弹，若第二发打中也计入得分。发射子弹的轨迹可以视为匀速直线运动，而飞碟的轨迹则是抛物线，两轨迹的位置关系即抛物线与直线的位置关系。

4    应用方程根与系数关系数学内涵的原创运动学试题

飞碟射击比赛，是一项在奥运会、世锦赛、亚运会以及亚洲射击锦标赛中的主要竞技项目。其中的多向飞碟项目，每抛靶一次，射手有两次射击的机会。如图2所示，在一次多向飞碟比赛中，射击运动员枪口与地面夹角为α，以速度v0射出子弹，飞碟抛出点与子弹发出点的竖直距离为h，忽略空气阻力对子弹速度的影响。

（1）抛靶机以速度v沿水平方向抛出一枚飞碟，但该运动员第一枪刚好未打中，如果想要赢得比赛，需要间隔多长时间发射第二发子弹才能打中目标？

（2）抛靶机沿水平方向以某一速度抛出飞碟，该速度为多大时，运动员可以有两次射击的机会？

解 （1）飞碟从抛靶机飞出后做平抛运动。由于子弹速度很快，并且忽略重力加速度对子弹速度的影响，所以子弹的运动可以视为匀速直线运动。

若飞碟能与子弹相遇，则有：

两枪间的时间间隔可以表示为：

（2）如图3所示，根据几何关系，若想运动员有两次射击机会，则需要求出只有一次射击机会时的速度范围，一种情况是两物体轨迹相切，还有一种情况是飞碟第二次与子弹相遇时子弹刚发出。则有如下情况：

①设当飞碟的轨迹与子弹运动的轨迹恰好相切时，飞碟的出射速度为v1，子弹与飞碟相遇时的时间为t。

由于子弹轨迹与飞碟轨迹相切，则有：

②当飞碟的最终落点恰好与发射位置重合时，即飞碟轨迹的水平距离与枪口到飞盘发出点的水平距离相等。设这种情况下飞碟的出射速度为v2，子弹与飞碟相遇时的时间为t'，则有：

本原创试题包括了根与系数关系与对应转换思路的数学内涵，还有判别式法解方程、方程根的取舍、平面几何中抛物线与直线的关系、不等式等相关数学内容，以及平抛运动、匀速直线运动等运动学知识，是一道反映了一元二次方程根与系数关系的数学内涵在物理运动学试题中应用的原创试题。让学生通过数学知识与物理知识的结合，将题目中的已知条件和隐含条件进行分析综合后才能求解，难度较大。

5    结束语

解决运动学相关的计算题，不仅要找出考查的物理知识，还要善于应用数学内涵来解题，通過利用数学知识可以巧妙地帮助解题，提高做题的准确度与效率。对于原创试题来说，教师通过对试题中的数学内涵进行挖掘后并将数学思想应用到原创试题中，既可以达到应用数学手段解决物理问题这一要求，同时也能增加试题的信度、效度以及创新度。本文为一线教师命制该类型的原创试题提供了一个参考思路，也为学生提供了解决该类问题的方法与思考方向。

参考文献：

[1]吴高飞，刘斌.一元二次方程在物理解题中的应用[J].物理教学探讨（中学生版高二卷），2003（2）：33-34.

[2]丁丽艳.一元二次方程根与系数关系的应用[J].数学大世界（初中版），2015（4）：2-3.

[3]曲一线.高中数学知识清单（第三版）[M].北京：教育科学出版社，2018：52-55.

[4]丁香.一元二次方程在几何问题中应用剖析[J].理科考试研究，2016，23（20）：19-20.

[5]张红莲.活用韦达定理， 解决几何难题[J].中学数学， 2018（5）：91-92.

（栏目编辑    赵保钢）