一种基于压缩感知的离格阵列测向方法

陈 俣

（南瑞集团有限公司/国网电力科学研究院有限公司，南京，211000）

引 言

阵列信号处理技术经过了几十年的研究，目前被广泛运用在语音信号处理、无线通信、雷达和声纳等多个领域。阵列测向是阵列信号处理中的重要研究方向，已发展出了大量的经典方法[1]，如多重信号分 类 法（Multiple signal classification，MUSIC）[2]、旋 转 不 变 法（Rotational invariant techniques，ESPRIT）[3]等。这些子空间类测向方法通过探索信号子空间和噪声子空间之间的正交性来实现角度的精确估计，具有比波束成形方法更加精确的超分辨率能力，能够区分出角度间隔较近的两个信号。子空间类方法在信号不相关的场景中可以看作是一种最大似然方法的大块拍实现，其估计能力能够逼近克拉美罗下界。然而，子空间方法的缺点也比较明显：由于这类方法的估计过程建立在噪声子空间和信号子空间的正交性之上，当这种正交性得不到保证时，子空间类方法很容易失效[4]。因此，子空间类方法难以适用于诸如小快拍、高相关性等场景。尽管通过诸如空间平滑等方法能够降低相关性，但同时也损失了阵列孔径，其应用场景受到了局限[5]。

为了克服子空间类方法的这些缺点，近些年来研究者从压缩感知算法中受到启发，根据入射信号来向在整个空间角度域中的稀疏特性，提出了基于压缩感知的阵列测向方法[6-10]。这一类方法充分利用了角域稀疏性，而不是信号子空间和噪声子空间之间的正交性，因此从原理上有别于传统的子空间类测向方法，也能够有效克服子空间类方法的各种缺点。压缩感知类方法能够适用于高相干性，甚至是相干信号，也能够适用于小快拍，甚至是单快拍场景，从而大大扩展了测向方法的适用范围。基于这一原理，近10年来已经发展出了大量的测向方法，如以l1范数奇异值分解重构法（l1reconstruction after singular value decomposition，L1SVD）为代表的l1范数类测向方法[6-8]和以相关向量机（Relevance vector machine，RVM）为代表的稀疏贝叶斯学习（Sparse Bayesian learning，SBL）类测向方法[9-10]。L1SVD不仅可以适用于单快拍和相干信号场景，同时由于SVD技术的使用，L1SVD的信号重构模型维数得到了大幅降低，因此其计算量不受限于快拍数的大小，在大快拍的场景中仍然能够保持较小的计算量。但L1SVD的求解过程需要已知信号个数，而这一先验知识在实际应用中通常难以获取。同时，在L1SVD中还需要涉及到正则化因子的选取，而正则化因子最优选取的问题还没有得到较好的解决，不合适的正则化因子会对估计结果产生不良影响。基于SBL的RVM方法被证明与l0范数具有相同的全局收敛性[11]，因此能够获得比L1SVD更加精确的估计结果，但SBL的计算复杂度较高。

需要注意的是，现在已有的压缩感知类测向方法均基于网格划分，即预先用大量网格对空间域进行划分，并假设入射信号无误差地落在预设的网格之上。这一假设显然与物理场景相违背，因为入射信号来向在整个角度域内是连续分布的。如果信号来向偏离预先划分的网格，就会使得信号模型与真实模型之间存在误差[12]。虽然可以通过增加网格数来减小这一误差，但由于有限等距准则（Restricted isometry property，RIP）准则的存在，这一减小量也非常有限。同时，大量的网格划分还会带来高计算量，从而进一步降低了这一模型的适用场景。

针对这一问题，研究者提出了基于一阶泰勒展开的离格类DOA估计方法：离格稀疏贝叶斯推断法（Off-grid sparse Bayesian inference，OGSBI）[13]。该方法利用泰勒展开式，引入量化误差参数对真实的阵列流形进行逼近，从而能够更好地拟合真实信号模型。由于量化参数的引入使得优化模型为非凸模型，该方法引入稀疏贝叶斯学习理论对测向问题进行求解。然而，该方法在很多情况下无法达到理论下界。

针对以上问题，本文提出了一种基于迭代优化的离格测向方法。首先，利用接收信号建立起基于压缩感知的在格信号模型，再将模型中的流形矩阵运用泰勒公式进行一阶展开，从而建立起离格信号模型。为了实现模型求解，本文利用交替迭代法来求解对应的网格角度和偏差大小，同时通过降低模型维数、推导闭式解等方法来降低迭代过程中的计算复杂度。仿真结果验证了所提出方法的有效性。

1 信号模型

1.1 物理模型

如图1所示，有k个远场窄带信号sk()t,k=1,…,K以入射角θk,k=1,…,K入射到一个均匀线阵上。该线阵由N个全向接收阵元所组成。这一模型的阵列输出x(t)=[x1(t),…,xN(t)]T为

图1 均匀线阵中DOA估计示意图Fig.1 Illustration of DOA estimation with ULA

式 中 ：A=[a(θ1),…,a(θK)] 为 阵 列 流 形 矩 阵 ；s(t)=为 入 射 信 号为第k个入射信号来向所对应的阵列导向矢量；v(t)为加性高斯白噪声。当阵列接收到L个快拍时，阵列信号模型式(1)可以表示为

1.2 扩展模型

根据压缩感知原理，利用入射信号来向的角域稀疏性，本文对整个角度域空间[-90°,90°]进行网格划分，得到一个超完备的角度集合={ϑ1,…,ϑ~N}。在格类测向方法的基本假设是信号来向落在网格之上，即从而可以得到扩展的阵列输出模型为

该模型为典型的LASSO问题，可以用CVX等工具箱进行求解[14]，进而画出空间功率谱便可以得到角度的估计值。然而，这种扩展模型与真实模型直接存在一个拟合误差，因此该模型将始终无法得到真实的测向结果，当网格划分不够密时，所得到的结果会更加偏离真实方向。

1.3 离格扩展模型

在离格信号模型中，入射信号来向不再假设精确落在网格之上，而是采用更加一般的假设，即入射信号来向集合不再属于预先划分好的超完备角度集合，即基于这一假设，本文从式(3)出发得到离格条件下的信号模型为

模型的量化误差。结合式(3)可以看到，在格类信号模型可以看成是离格类信号模型的一种特殊形式：当量化误差Δ为零时，式(6)与式(3)等价[13]。由于真实信号来向是分布在一个连续的角度域空间，因此式(6)能够更加精确地模拟真实信号模型，进而得到更加精确的估计结果。根据式(5)的推导，可以得到如下用以求解式(6)的优化模型

2 交替迭代方法

第1步：保持δ的大小不变，对S~进行更新

式中上标(q)表示第q次迭代过程。

在第1步中，模型的维数取决于快拍数L。而在测向过程中，快拍数通常远大于阵元数，因此求解该问题需要大量的计算量。为了避免高计算复杂度，参考L1SVD方法，本文利用SVD方法来降低模型维数。将X进行SVD分解得到

而在第2步对δ的优化过程中，式(9)是一个关于δ的加权最小二乘问题，可以通过类似文献[14,15]的方法求得最优解。为了对式(9)求得闭式解以简化计算，本文先将其中的目标函数进行如下转换（为了简化表述，式(9)忽略了上标表示）

式中：◦和*分别表示哈达玛乘积和共轭运算；tr和R分别表示求矩阵的迹和取实部运算；diag表示取矩阵的对角线元素。根据式(12)，对式(9)的求解可通过对式(12)中的δ进行求导得到，即

当迭代终止时，阵列测向结果可表示为

式中：θ为迭代终止时对进行一维谱峰搜索得到的角度粗估值；δ^final为迭代终止时式(13)的输出。

该算法的流程图如表1所示。

表1 算法流程Tab.1 Flow of the proposed algorithm

3 仿真实验

本文将通过若干仿真实验来验证所提出算法的有效性。为了进行对比，本文在实验中加入了子空间类代表性方法MUSIC、在格类代表性方法L1SVD和离格类代表性方法OGSBI等测向方法，并且选用7阵元的均匀线阵作为接收阵列。压缩感知类方法均采用网格~ϑ={-90°,-88°,…,88°,90°}对整个空间域进行角度划分，同时L1SVD还引入迭代网格优化的思想对其进行网格细分[6]。MUSIC方法在一维搜索中的搜索步长依据信噪比选取为本文所提方法将最大迭代次数设置为50，并且采用测向均方根误差（Root mean square error，RMSE）对各方法的估计性能进行评估，表达式为

实验1收敛情况验证。假设两个不相关信号以[-5°,5°]的方向入射，快拍数为100。本文方法在迭代过程中的RMSE如图2所示，可以看出，本文方法具有较好的收敛性，且大约在30次迭代时能够接近收敛。

实验2估计精度验证。本文假设2个窄带不相关信号以[-5°,5°]的入射角射入接收阵列上。阵列接收到200个快拍且接收信噪比为0dB。本文对比MUSIC，L1SVD，OGSBI和本文方法的空间谱如图3所示。可以看出，4种方法均能够对这2个信号进行正确测向。相比较MUSIC和OGSBI来说，本文方法具有更加尖锐的谱峰。同时，从2个子图可以看出，本文方法的估计精度优于其他方法。

实验3不同信噪比下的RMSE对比。假设2个不相关信号以[-5°,5°]的入射角射入接收阵列上。接收快拍数为200。本文比较了上述4种方法的RMSE，其结果如图4所示。可以看出，本文方法能够始终具有最佳的估计性能，并且在信噪比大于5dB时就能够贴近克拉美罗下界（Cramer-Rao lower bound，CRLB）。相比之下，MUSIC在低信噪比时的性能不佳，而L1SVD和OGSBI则始终不能达到CRLB。

实验4不同相关性下的RMSE对比。假设2个相关信号以[-15°,5°]入射到接收阵列上，快拍数为100，信噪比为10dB。本文对各方法RMSE随信号相关性的变化情况进行了研究，结果如图5所示。可以看出，随着相关性的不断增强，各个方法的估计性能都在不断恶化。MUSIC和L1SVD在信号高度相关时的估计性能严重下降。相比之下，本文方法仍然能够贴近CRLB且要优于OGSBI，体现出了良好的抗相干特性。

图2 本文方法的收敛性分析Fig.2 Convergence analysis of the proposed method

实验5 不同快拍数下的RMSE对比。假设两个不相关信号以[-5°,5°]的入射角射入接收阵列上，且信噪比为10dB。本文对不同快拍数下各方法的RMSE进行比较。如图6所示，L1SVD和OGSBI均不能达到误差下界，并且在这种情况下，其精度没有随着快拍数的增加而提高。而MUSIC和本文方法能够较好地逼近CRLB，并且精度随着快拍数的增加而提高。

图3 MUSIC，L1SVD，OGSBI和本文方法的空间谱Fig.3 Spectra comparison of the proposed method,MUSIC,L1SVD and OGSBI

图4 MUSIC、L1SVD、OGSBI和本文方法在不同信噪比下的估计性能比较Fig.4 Estimation performance comparison of the proposed method,MUSIC,L1SVD and OGSBI with different SNRs

图5 MUSIC、L1SVD、OGSBI和本文提出方法在相关信号场景下的估计性能比较Fig.5 Estimation performance comparison of the proposed method,MUSIC,L1SVD and OGSBI with correlated sources

图6 MUSIC、L1SVD、OGSBI和本文提出方法在不同快拍数下的估计性能比较Fig.6 Estimation performance comparison of the proposed method,MUSIC,L1SVD and OGSBI with different number of snapshots

4 结束语

本文研究了基于压缩感知的阵列测向方法中的网格失配情况。在分析在格类模型存在缺陷的基础上提出了一种离格类测向模型，该模型可以看成是在格类模型的一般化形式。在特定场景中，所提模型可退化为在格类模型。同时，针对这一模型，本文提出了基于交替迭代优化的测向算法。该算法可以实现对信号来向的精确估计，仿真实验结果也验证了所提方法的有效性。