基于细观结构性能和尺度的混凝土材料层次尺寸效应解析理论

李 冬，金 浏，杜修力，刘晶波，Duan Wen-hui

（1.清华大学 土木系，北京 100084；2.莫纳什大学 土木系，维多利亚州 3800；3.北京工业大学 城市减灾与防灾防护教育部重点实验室，北京 100124）

1 研究背景

近年来，尺寸效应已成为混凝土材料科学领域和结构设计领域的热点研究问题。尺寸效应，是指随着结构尺寸的增大，以强度为代表的力学性能指标不再为常数[1-2]。按照形成机制不同可将尺寸效应主要分为两个层次：材料层次和构件层次。混凝土材料层次尺寸效应主要根源于其内部组成的非均质性[3]，因此名义强度、断裂能等宏观力学参数易随材料组成结构的性能和尺度发生变化。混凝土构件层次尺寸效应则主要根源于其准脆性破坏特征[4]，如基于准脆性断裂力学方法建立的尺寸效应律能够较为准确地描述混凝土在构件层次的尺寸效应行为，并已被列入2019年美国ACI318混凝土结构设计规范[5]。实际上，包括众多混凝土断裂分析模型以及基于不同理论框架的混凝土尺寸效应理论在内，在描述混凝土宏观断裂破坏行为和构件层次尺寸效应行为过程中，均需首先考虑其材料层次尺寸效应行为对选取的宏观力学参数的影响[6-8]。因此，需要建立一类能够充分考虑混凝土材料非均质特性的断裂模型分析方法，一方面能够描述混凝土在材料层次的尺寸效应行为，另一方面亦能够为混凝土宏观断裂模型或构件层次尺寸效应理论提供力学参数。

混凝土具有明显的多相多尺度等复合材料特征，因此其宏观力学性能的非线性行为源于其材料组成的非均质性[3]。细观力学是连接混凝土纳/微观断裂破坏机理和宏观断裂破坏现象的桥梁，通过结合细观力学和断裂力学方法，能够在细观尺度上有效分析混凝土材料内部裂纹的萌生、扩展以及贯通等行为，进而给出其宏观力学参数随细观结构的演化规律。

本文基于作者前期研究工作中初步建立的强骨料夹杂混凝土I-型裂缝断裂破坏分析模型，认为混凝土材料层次尺寸效应主要根源于粗骨料、砂浆以及界面等细观结构性能和尺度的不确定性，提出一套用于混凝土材料层次尺寸效应行为分析的解析理论，为后续建立材料-构件统一的全局尺寸效应分析方法奠定基础。

2 强骨料夹杂混凝土I-型裂缝断裂破坏分析模型

2.1 混凝土宏观断裂参数作者在前期研究工作[9-11]中，从细观角度出发，给出了试件尺寸为l×l的强骨料夹杂二维模型混凝土断裂能和抗拉强度等宏观断裂参数表达式为：

式中：εu为二维模型混凝土的极限拉应变；ω*为基于建立的混凝土I-型裂缝断裂破坏分析模型求解得到的考虑细观结构影响的混凝土应变能密度，其表达式为：

式中：ωITZ为界面应变能密度；ωmo为砂浆应变能密度；α、β分别为界面裂缝和砂浆裂缝的长度分配系数，其表达式分别为：

式中：Xn、Yn分别为长度分配系数α和β针对不同级配混凝土的修正系数；γ、n和an分别为粗骨料含量、级配和相应级配骨料含量的百分比[9-12]，an数值如表1所示；η为界面裂缝指数，根据文献[9-11]，η∈[0，0.5]，由裂缝扩展路径遵循“最低能量原理”，其表达式为：

式中：κ为界面力学性能相对砂浆力学性能的折减系数，基于模型基本假定[9-11]，κ∈[0，1]。其表达式为：

表1 不同级配混凝土粗骨料含量百分比[9-12]

2.2 理论修正文献[11]基于细观数值试验，采用线性拟合分析方法初步确定了粗骨料含量γ=0.45时各级配混凝土长度分配系数α和β的修正系数。实际上，骨料含量对混凝土材料的宏观力学性能有显著影响[13-16]，本文将根据不同粗骨料含量γ对混凝土材料组成的影响规律，基于理论解析方法确定修正系数Xn和Yn的取值。

为便于分析，将式（4）、式（5）代入式（3）可以得到混凝土应变能密度ω*的详细表达式为：

由式（8）可以看到，混凝土应变能密度ω*受到η、γ、n、an、ωITZ和ωmo等细观参数影响。这些细观参数恰好能够反映细观结构对混凝土宏观力学性能的影响，如：骨料体积分数和粒径影响分别由粗骨料含量γ和级配n表征，界面和砂浆力学性能则由界面应变能密度ωITZ和砂浆应变能密度ωmo表征。此外，由式（6）可以分析得到，当砂浆力学性能为定值时，界面力学性能与界面裂缝指数η成反比。

基于式（8），通过考虑混凝土应变能密度ω*的不同极限状态，可以采用理论解析方法确定修正系数Xn和Yn的取值。

（1）考虑极限状态①，令界面裂缝指数η=0.5，即粗骨料与砂浆之间的界面层在混凝土试件受力之前已完全分离，则ωITZ=0[9-11]：当粗骨料含量γ=0时，混凝土材料仅由砂浆组成，界面不存在，则混凝土应变能密度与砂浆应变能密度相等，即ω*=ωmo[15-16]；当粗骨料含量γ≈0.8（此值为根据瓦拉文公式[17]计算得到的对应骨料总含量Pk≈1时的粗骨料含量）时，混凝土材料将无限趋近于骨料（但不等同为骨料），其破坏将主要取决于界面，因此混凝土应变能密度ω*≈ωITZ=0。式（9）—式（12）给出了基于极限状态①的不同级配混凝土应变能密度ω*表达式，并假定修正系数Yn随粗骨料含量γ成线性变化，则有：

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（2）考虑极限状态②，令界面裂缝指数η=0，即界面与砂浆的力学性能完全相同，则ωITZ=。此时，无论粗骨料含量γ取何值（即0≤γ＜0.8），混凝土应变能密度均与砂浆应变能密度相等，即ω*=ωmo。式（13）—式（16）给出了基于极限状态②的不同级配混凝土应变能密度ω*表达式，并将式（9）—式（12）分别代入后得到：

（3）根据不同极限状态下粗骨料含量γ对混凝土材料组成的影响规律，确定了式（4）、式（5）中修正系数Xn和Yn的取值。进而，可以基于修正的强骨料夹杂混凝土I-型裂缝断裂破坏分析模型，提出一套用于混凝土材料层次尺寸效应行为分析的解析理论。

3 混凝土材料层次尺寸效应解析理论

3.1 混凝土材料层次尺寸效应解析表达式根据式（1）、式（2），当用于配制混凝土的砂浆材料力学性能一定时，可将混凝土断裂能Gf和抗拉强度ft转换为相对砂浆材料断裂能Gf，mo和抗拉强度ft，mo的归一化表达式，即：

本文模型是根据混凝土材料在单轴拉伸加载条件下断裂破坏的形态学特征建立的简化分析模型，根据合理假设的各细观组分本构关系（即强骨料夹杂不破坏、一般情况下界面强度及变形能力均小于砂浆），认为混凝土材料形成I-型断裂裂缝破坏的极限状态为细观尺度上砂浆达到其极限应变，因此有εu=εu，mo[9-11]，此外，当测量砂浆材料断裂参数采用的试件尺寸与混凝土试件相同时，即l=lmo，归一化混凝土断裂能（Gf/Gf，mo）和抗拉强度（ft/ft，mo）均可由混凝土应变能密度与砂浆应变能密度的比值（ω*/ωmo）求得。因此，对式（8）作归一化处理，可以得到混凝土应变能密度相对砂浆应变能密度的计算公式为：

式（19）即是用于混凝土断裂能Gf、抗拉强度ft等宏观力学参数材料层次尺寸效应行为分析的解析表达式。进而，将式（9）—式（16）确定的修正系数Xn和Yn分别代入式（19），即可得到归一化的不同级配混凝土宏观力学性能随细观结构性能和尺度的演化规律。这里，将砂浆力学性能取为定值，则细观结构性能主要指界面力学性能（由界面裂缝指数η表征），细观结构尺度主要指骨料含量（由粗骨料含量γ表征）和最大骨料粒径（由粗骨料级配n表征）。

3.2 混凝土材料层次尺寸效应行为界面中孔洞、微裂纹等初始缺陷较砂浆和骨料通常较多，这一微/细观结构特征导致其成为混凝土材料中的薄弱区域。此外，由于砂浆与骨料的弹性模量和线膨胀系数等差异，使界面成为混凝土材料中应力最为集中的区域，因此界面的特性及其抵抗外力变形的能力在很大程度上决定着混凝土的力学性能和耐久性能[18]。骨料含量[13-16]和采用的最大骨料粒径[7，19-23]对混凝土宏观力学性能亦能够产生显著影响，并且其影响规律随着界面力学性能发生变化[11]。

图1 不同级配混凝土应变能密度（ω*/ωmo）随界面裂缝指数η变化曲线

基于式（19），图2给出了界面裂缝指数η分别为0、0.1、0.2、0.3、0.4和0.5时，不同级配混凝土应变能密度随粗骨料含量γ的变化曲线。由图2可见，当界面裂缝指数η=0时，界面力学性能与砂浆力学性能完全相同，对于强骨料夹杂混凝土，其骨料不破坏，细观裂缝只在砂浆中扩展，因此混凝土应变能密度与砂浆应变能密度相等（ω*/ωmo=1）；当界面裂缝指数η＞0时，一级配混凝土宏观力学性能随粗骨料含量γ增大和界面力学性能降低（即界面裂缝指数η增大）而单调降低，二级配、三级配和四级配混凝土宏观力学性能则根据不同界面力学性能随粗骨料含量γ增大而呈现不同变化趋势：以图2（d）中四级配混凝土为例，界面力学性能相对较弱（如界面裂缝指数0.4＜η＜0.5）时，混凝土宏观力学性能随粗骨料含量γ增大而单调降低；界面力学性能相对较强（如界面裂缝指数0＜η＜0.4）时，混凝土宏观力学性能随粗骨料含量γ增大先降低后升高，这一变化趋势与文献[13]中试验得到的混凝土抗拉强度和断裂能随骨料体积含量（50%、60%、70%）变化行为相符。

3.2.2 混凝土宏观力学性能随界面力学性能及最大骨料粒径变化行为 基于式（19），图3—图5分别给出了粗骨料含量γ为0.2、0.4和0.6时，混凝土应变能密度随粗骨料级配n（表征最大骨料粒径）和界面裂缝指数η（表征界面力学性能）的变化曲线。

图2 不同级配混凝土应变能密度（ω*/ωmo）随粗骨料含量γ变化曲线

从图3（a）、图4（a）、图5（a）可以看到，界面能够显著影响混凝土宏观力学性能随最大骨料粒径的变化行为[11，18]，界面力学性能相对较强（即界面裂缝指数η相对较小）时，混凝土宏观力学性能随最大骨料粒径增大而升高；界面力学性能相对较弱（即界面裂缝指数η相对较大）时，混凝土宏观力学性能随最大骨料粒径增大而逐渐降低。本文理论解析结果与文献[19]中试验测得的具有不同界面力学性能的模型混凝土随最大骨料粒径变化趋势相同。此外，从图3（a）、图4（a）、图5（a）中还可以看到，应存在一个临界界面裂缝指数η，令混凝土宏观力学性能不随最大骨料粒径发生变化。

从图3（b）、图4（b）、图5（b）可以看到，一级配混凝土宏观力学性能随界面力学性能降低单调降低，二级配、三级配和四级配混凝土宏观力学性能随界面力学性能降低则呈现先升高后降低的变化趋势，与前述3.2.1节分析结果相同。不同级配混凝土应变能密度（ω*/ωmo）随界面裂缝指数η变化曲线存在一交点，该交点即为令混凝土宏观力学性能不随最大骨料粒径发生变化的临界界面裂缝指数η：交点左侧，混凝土宏观力学性能随最大骨料粒径增大而升高；交点右侧，混凝土宏观力学性能随最大骨料粒径增大而降低。

如图3—图5所示，基于本文修正模型和解析理论分析得到：粗骨料含量γ为0.2、0.4和0.6时，混凝土宏观力学性能不随最大骨料粒径发生变化的临界界面裂缝指数η分别约为0.24、0.34和0.42。根据式（6）可以反推得到界面力学性能相对砂浆力学性能的折减系数κ，进而可基于折减系数κ推演得到令混凝土宏观力学性能不随最大骨料粒径发生变化的水灰比等参数，用于须采用大粒径骨料的混凝土材料（如大坝混凝土）配合比设计理论研究。

图3 粗骨料含量γ=0.2时，混凝土应变能密度（ω*/ωmo）随粗骨料级配n和界面裂缝指数η的变化

图4 粗骨料含量γ=0.4时，混凝土应变能密度（ω*/ωmo）随粗骨料级配n和界面裂缝指数η的变化

图5 粗骨料含量γ=0.6时，混凝土应变能密度（ω*/ωmo）随粗骨料级配n和界面裂缝指数η的变化

3.3 混凝土材料层次尺寸效应行为机理分析单轴拉伸加载条件下，混凝土细观断裂裂缝曲折度随界面力学性能（以界面裂缝指数η表征）降低、骨料含量（以粗骨料含量γ表征）和最大骨料粒径（以粗骨料级配n表征）增大而显著增大，这主要源于细观断裂裂缝中界面裂缝的增多[10]。根据界面裂缝指数定义[9-11]，当界面裂缝指数η较大时，界面力学性能相对较弱，细观断裂裂缝主要由界面裂缝组成，混凝土宏观力学性能亦主要取决于界面，因此随界面力学性能降低、骨料含量增大以及最大骨料粒径增大而降低；当界面裂缝指数η较小时，界面力学性能相对较强，细观断裂裂缝主要由砂浆裂缝组成，混凝土宏观力学性能亦主要取决于砂浆，随界面力学性能降低、骨料含量增大以及最大骨料粒径增大，界面裂缝增多，但由于绕行力学性能相对较强的界面需耗散更多能量，因此混凝土宏观力学性能呈现升高的趋势。

4 结论及讨论

本文结合细观力学和断裂力学方法，以细观为基本研究尺度，认为混凝土材料层次尺寸效应主要根源于粗骨料、砂浆以及界面等细观结构性能和尺度的不确定性。基于修正的强骨料夹杂混凝土I-型裂缝断裂破坏分析模型，提出了一套混凝土材料层次尺寸效应解析理论，分析了混凝土宏观力学性能随细观结构性能和尺度的变化行为和机理，结果表明：单轴拉伸加载条件下，强骨料夹杂混凝土中界面力学性能、骨料含量和最大骨料粒径均显著影响细观断裂裂缝中界面裂缝的占比，从而影响到混凝土宏观力学性能随细观结构性能和尺度的变化行为。基于本文提出的混凝土材料层次尺寸效应解析理论，可为基于性能设计的须采用大粒径骨料的混凝土配合比研究奠定基础。

需要说明的是，本文建立的断裂模型及解析理论暂未考虑混凝土细观结构物理力学性能随机性的影响，因此是一类确定性分析方法。此外，试件尺寸亦对混凝土宏观力学行为产生显著影响，即存在构件层次尺寸效应。后续将在进一步完善现有模型及理论基础上，将混凝土细观结构物理力学性能的随机性行为考虑其中，并建立一类材料-构件统一的混凝土全局尺寸效应分析方法。