解析几何中与两角相等相关问题的解题思路

云南省玉溪第一中学(653100) 武增明

角是解析几何中研究的重要元素,在近几年的高考中,解析几何中与两角相等的相关问题经常出现,其涉及的知识面广,题目灵活多变,答题难度较大,是高考解析几何试题中的热点之一,所以在复习解析几何时要加以一定的重视,对解决两角相等的相关问题要进行归纳总结,找出规律.[5]

1.利用平面向量数量积公式证明两角相等

向量作为一种既有大小又有方向的量,既具备形的特性,又具备数的特性,因而成为联系数与形的有力纽带,成为处理数学问题的有力工具,而解析几何实质是用代数的方法解决几何的问题,这势必让向量与解析几何有着非常密切的联系.而向量的数量积是实现数与形转化的关键,从向量的内积公式a·b=|a|·|b|·cosθ中,我们可得到求角的另一种常见的方法.[5]

例1(2005年高考江西卷理科第22题)如图1,设抛物线C:y=x2的焦点为F,动点P在直线l:x-y-2=0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.

(I)求△APB的重心G的轨迹方程;

(II)证明∠PFA=∠PFB.[3]

解析(I)设切点A,B坐标分别为x0,和x1,(x1/=x0),所以切线AP的方程为2x0x-切线BP的方程为.解得P点的坐标为所以△APB的重心G的坐标为所以yP=,由点P在直线l上运动,从而得到重心G轨迹方程为x-(-3y+4x2)-2=0,即

图1

同理有

所以∠AFP=∠PFB.

评注此题的第(II)问是阿基米德三角形的一个性质.

刻意练习(长沙市2019届高三统一模拟考试理科数学第19题)已知椭圆=1(a＞b＞0)的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,A为椭圆C上一点,AF1与y轴相交于点B,|AB|=|F2B|,|OB|=

(I)求椭圆C的方程;

(II)设椭圆C的左、右顶点分别为A1,A2,过A1,A2分别作x轴的垂线l1,l2,椭圆C的一条切线l:y=kx+m(k/=0)与l1,l2分别交于M,N两点,求证:∠MF1N=∠MF2N.

2.利用斜率公式证明两角相等

斜率是解析几何中刻画角的重要工具,相比其它的角的转化方法,利用斜率来计算角的大小,其优点在于计算量相对小,但是所相关的角的顶点必须在x轴上.所以在解题时要认真审题,合理地将相关的角转换为直线的倾斜角.[5]

例2(2006年高考浙江卷·理19)如图2,椭圆=1(a＞b＞0)与过点A(2,0),B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率

(I)求椭圆方程;

(II)设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,M为线段AF2的中点,求证:∠ATM=∠AF1T.[3]

解析(I)易得椭圆方程为

图2

(II)由于△ATF1和△ATM中的角和边都可以求出,所以利用余弦定理和向量的内积都可以证明.但是这两种方法的计算量大,很容易出错.若将所证的角转化为各直线的斜率较为简单.

显然∠AF1T是直线TF1的倾斜角,即tan∠AF1T=kTF1,注意到tan∠ATM=-tan(∠TAM+∠TMA),而∠TMA和∠TAM分别是直线TM的倾斜角和直线TA的倾斜角的补角.由(I)得从而由和解得x1=x2=1,所以因为tan∠AF1T=kTF1=又得tan∠ATM=-tan(∠TAM+∠TMA)=因此∠ATM=∠AF1T.

3.两角相等转化为两直线的斜率之和为零

根据题设条件的图形特征,把两角相等转化为两条直线的斜率之和为零来解决问题.

例3(2018年高考全国I卷理科第19题)设椭圆的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).

(I)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;

(II)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.[4]

解析(I)由已知得F(1,0),l的方程为x=1.由已知可得,点A的坐标为或所以AM的方程为或

(II)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),则直线MA,MB的斜率之和为kMA+由y1=kx1-k,y2=kx2-k,得将y=k(x-1)代入得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.所以,则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k==0.从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.

评注破解此类解析几何题的关键是,一是“图形”引路,一般需画出大致图形,把已知条件翻译到图形中,利用直线方程的点斜式或两点式,即可快速表示出直线方程;二是“转化”桥梁,即会把要证的两角相等,根据图形的特征,转化为斜率之间的关系,再把直线与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系,以及斜率公式即可证得结论.

刻意练习

1.(2018年全国高中数学联赛黑龙江省预赛试题第21题)已知椭圆=1(a＞b＞0)的离心率为并且过点P(2,-1).

图3

(I)求椭圆C的方程;

(II)设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P点作两条直线分别交椭圆C于点A(x1,y1),B(x2,y2).若直线PQ平分∠APB,求证:直线AB的斜率是定值,并求出这个定值.

2.(石家庄市2019届高中毕业班教学质量检测数学试卷·文20理20)已知椭圆=1(a＞b＞0)的离心率为且经过点

(I)求椭圆C的方程;

3.(2015年高考全国I卷理科第20题)在直角坐标系xOy中,曲线与直线l:y=kx+a(a＞0)交于M,N两点.

(I)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;

(II)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.[3]

(I)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);

(II)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q坐标;若不存在,说明理由.[3]

5.(2018年全国高中数学联赛陕西省预赛试题第二试第2题)如图4,圆C与x轴相切于点T(2,0),与y轴的正半轴相交于A,B两点(A在B的上方),且|AB|=3.

图4

(I)求圆C的方程;

6.已知点P为圆M:(x+1)2+y2=16上的任意一点,定点N(1,0),点Q为直线PM上一点,且满足设Q点的轨迹为曲线C.

(I)求曲线C的方程;

从以上三个方面可以看出高考试题中解析几何涉及与两角相等相关的问题,其解决的关键在于转化为角的三角函数或两直线的斜率之和为零,不管采用哪种方法,都需要我们对问题进行合理的分析和转化,这样才能提高分析问题和解决问题的能力.[5]