非稳态导热乘积法测量煤体热物性的不确定度分析

徐 尚，高 伟，陈文涛

(1.安徽理工大学 机械工程学院，安徽 淮南 232001；2.安徽理工大学 矿山智能装备与技术安徽省重点实验室，安徽 淮南 232001；3.省部共建深部煤矿采动响应与灾害防控国家重点实验室(安徽理工大学)，安徽 淮南 232001)

1 概 述

对煤体热物性参数的研究一直是固体热物性领域研究热点之一，其中包括煤自燃所带来的安全隐患问题。为了预防此类问题的发生，对煤体热物性的研究至关重要。

目前，非稳态导热乘积法也已在测量粮食颗粒的热物性[1]以及在测定松散煤体热物性[2]中得到应用，但对具体的数据并未给出论证以及未对测试系统进行不确定度分析。因此，根据2017年发布的GB/T 27418—2017《测量不确定度评定与表示》[3]并结合测试系统采集的随机数据与理论数据和仿真数据为参考，最终通过不确定度理论结合实际测试过程，对松散煤体热物性参数中的热扩散率测试进行不确定度分析。选取热扩散率a(a=λ/ρcp)作为导热系数和比热容的综合体现，对其不确定度进行分析则更具有代表性[5]。

测试结果表明该方法可满足测试的精度要求。再进一步分析采集的数据分散性原因可得知:影响实验精确度的不确定因素主要包括温度、时间、试样厚度和重复测量引入的不确定度。因此，通过不确定度分析可快速地为整个测试系统的测量误差提供有效的调试解决方法，同时也为测试结果的可靠性提供有力的保证，从而增加了整个试验采集数据的使用价值以及再次表明非稳态导热乘积法测松散煤体热物性的科学性。所以，在给出煤体热物性的测量结果时，只有附加不确定度的说明才完整和有意义。

2 数学模型及测试系统介绍

2.1 数学模型

据非稳态导热问题的解析解，直径为D、高度为δ的短圆柱二维非稳态导热微分方程如下:

(1)

初始条件和边界条件如下:

根据数值解法[6]，上式微分方程的解析解的算法编程比较困难，故文中选用非稳态导热乘积解法[7]，其原理如图1所示。其中短圆柱体可被视为由半径为R的无限长圆柱被一块厚度为l的无限大平板所截取的部分，则有:

Θ(r,x,τ)=[Θ(x,τ)]p[Θ(r,τ)]c

(2)

图1 多维非稳态导热乘积法原理图

式(2)的解析解模型定义如下:

Θp(x,τ)Θc(r,τ)=

(3)

式(3)中，Θp(x,τ)为平板无量纲温度的分析解；Θc(r,τ)为无限长圆柱无量纲温度的分析解；θ(r,x,τ)为短圆柱的过余温度/K；x为短圆柱中，任意点距离上端绝热面的距离/m；l为无限大平板厚度/m；r为短圆柱任意点距离轴心的半径/m；R为无限长圆柱半径/m；μn为特征值，可通过查表得到；Fo为傅里叶数；J0为零阶贝塞尔数；J1为一阶贝塞尔数。

为确保计算精度，采取级数μn前6项进行计算，其取值见表1。超越方程的根μn计算如下:

(4)

式(3)中，θ(r,x,τ)可通过温度传感器测量，傅里叶数F0=ατ/y2，温升表达式见式(5)。

表1μn前6项的取值

Biμ1μ2μ3μ4μ5μ6∞2.415.528.6511.7914.9318.07

(5)

式(5)中，θ0为短圆柱的初始过余温度，K；通过MATLAB编程求解即可求得热扩散系数α，在已知材料比热容Cp和密度ρ的条件下，根据式λ=αρCp，可算出导热系数λ的值。

2.2 测试系统设计结构

实验装置由恒温水浴锅(HH-601)、黄铜试样筒、热电偶温度传感器、信号处理单元、数据存储单元等组成，测试系统如图2所示，试样筒剖面图如图3所示。

图2 实验装置结构图

图3 试样筒剖面图

采用HH-601水浴锅为恒温箱，可实现程序控温，工作温度范围为室温至300 ℃，控温精度为±0.5 ℃，采用高导热系数铜质圆柱作为试样箱，以满足恒温的热源边界条件，上盖为绝缘密封盖以满足绝热的边界条件，并在其内表面安装热电偶温度传感器；数据采集系统，用热电偶温度传感器采集温升数据并通过信号处理单元传送到数据存储单元再至PC机。试验系统图如图4所示。

图4 松散煤体热物性测试系统图

3 不确定度分析

根据GB/T 27418—2017《测量不确定度评定与表示》及其不确定相关分析，将不确定分量分为两类，即A类评定分量和B类评定分量。当获得所有不确定度分量后，根据各分量的相关性再进行方差和协方差合成得到合成标准不确定度。此外，为给出测量结果值的区间并期望该区间包含赋予被测量值分布的大部分，故引入扩展不确定度。

3.1 标准不确定度A类评定

A类评定分量是用统计分析的方法获得实验标准差进行的不确定度分量评定。当在重复性条件或者复现性的条件下测得n组观测结果时，观测样本的残差值与方差分别按式(6)、(7)计算。

(6)

(7)

A类标准不确定用u表示为:

(8)

取密度924 kg/m3，导热系数0.097 7 W/(m·K)，热扩散率1.038 1×10-7m2/s的潘一矿烟煤松散媒体试样放入试样筒内。并在试样筒内上表面上均匀布置3个温度传感器，对煤样温升进行测量采集。然后将系统布置的3个温度传感器测点温度采集的平均温升记录，详见表2。

表2 系统调试后实验数据

实验序号时间τ/s平均的过余温度t/℃热扩散率α/(m2·s-1)1281.51.105 4×10-72302.01.138 8×10-73322.41.127 6×10-74343.11.151 6×10-75363.41.122 0×10-76383.71.094 5×10-77404.61.088 0×10-78424.91.098 0×10-7平值均353.21.120 0×10-7

并对所采集的温升利用非稳态乘积法进行参数反演算出对应的热物性参数，对应的温升和参数反演的热扩散率曲线如图5、图6所示。

图5 潘一矿烟煤过余温度

图6 潘一矿烟煤热扩散率

根据式(6)～(8)及表2中的数据，由其计算而得重复性计算所引入的不确定度为:

(9)

3.2 标准不确定度B类评定

B类评定分量是基于权威机构发布的量值、有证参考物质的量值、 校准证书、 仪器的漂移、测量仪器的准确度等级和人员经验的极限值或其他信息假定的概率分布给出的标准差进行不确定度分量评定。

通过前后多次调试试验系统所采集的数据分散性，经试验过程中的操作分析，测量仪的时间灵敏性[12]、装置控温与温度传感器的精度以及试样厚度[13]可能会对系统采集的分散性数据产生不确定影响。因此，对上述分量作以下不确定度分析。

3.2.1时间引入的不确定度

在测试系统试验过程中，时间的滞后或者提前，会影响数据记录的准确性。测量仪器可保证时间的精度小于2%，取包含因子k=2，因此τ的标准不确定度为:

(10)

3.2.2温度引入的不确定度

试验采用HH-601水浴锅为恒温箱，可实现程序控温，控温精度±0.5 ℃，根据其对称矩形的先验概率分布描述，可得其区间的半宽度a为0.5因此t的标准不确定度为:

(11)

试验中采用K型高精度热电偶作为温度传感器，测温精度等级可达到0.2级。且引入温度的扩展不确定度为0.02 ℃，取包含因子k=2,则标准不确定度为:

(12)

温度t引入的合成不确定度为:

(13)

3.2.3试样厚度引入的不确定度

测量煤样厚度时所用的游标卡尺的测量精度为0.02 mm，根据两点分布原则:

u(δ1)=0.02 mm

(14)

u=0.30 μm、包含因子k=3时,游标卡尺的扩展不确定度为:

(15)

试样厚度δ引入的合成不确定度为:

(16)

3.3 合成标准不确定度

合成不确定度表征输入值Xi对输出估计值的影响。将各分量合成以得到所求量Y的合成不确定度，合成不确定度用uc(y)表示，也即C类标准不确定度，表示公式为:

(17)

经上述各分量之间的不确定度分析，进一步建立不确定度分析数学模型。通过表2，利用MATLAB拟合得到温升与时间的公式为:

t(τ)=p1τ3+p2τ2+p3τ+p4

(18)

然后，由时间-温升函数结合热传导数学模型及热扩散率公式可得到合成不确定度的数学模型为:

(19)

由此，可得热扩散率的合成不确定度为:

(20)

此时利用MATLAB编程计算得到:

(21)

(22)

3.4 扩展标准不确定度

尽管合成不确定度可广泛表示测量结果的不确定度，但为期望该区间包含能赋予被测量值分布的大部分，即需给出测量结果的区间，故引入扩展不确定度。扩展不确定度通常用U表示，取包含因子k=2，包含概率p=95%，以此表示期望在相应的区间内包含测量结果的可能值，详见式(23)。

U95=Kcuc=0.02

(23)

3.5 数值分析

由上述扩展不确定度为2.01%。其结果说明该测试系统测算出的热扩散率测定的结果，与真值之间的可信度更高，测定结果相对准确。为了进一步测试该系统的稳定性，取密度1 127 kg/m3，导热系数0.197 9 W/(m·K)，热扩散率1.579 2×10-7m2/s的无烟煤和取密度946 kg/m3，导热系数0.130 5 W/(m·K)，热扩散率1.5076×10-7m2/s，李嘴孜矿烟煤进行系统试验和热物性参数反演。

测试参数反演结果见表3。通过反演计算出的热扩散率进一步求解出导热系数，并分别与参考文献的值做相对偏差分析，其结果均在5%以内，进一步说明了非稳态乘积法用于测固体松散煤体的热物性是可行的、科学的，其测试系统稳定，采集的数据也具有实用性。

表3 3种材料测试结果综合分析

4 结 论

(1)根据测试结果的相对偏差和不确定分析评定，非稳态导热乘积法测量松散煤体热物性可满足测量精度要求，其测试系统也是可靠的，具有实用性价值。

(2) 由合成不确定度中的灵敏系数值表明，温度不确定度因素对整个测试系统影响最大。实验精度的提高需选择精度更高的传感器、控温精度更高的水浴锅作为恒温箱，此外尽量减小外部环境的温度变化对测量结果的影响，还应正确使用测量仪器以提高测量精度。

(3)为进一步研究不确定度对松散煤体热物性测量结果的影响，可从功率、初始温度、煤粒大小以及数学模型中截断误差等的不确定性综合分析，也可进行导热系数的不确定度分析，该工作有待进一步深入研究。