从几道学科融合类试题谈起*

(杭州第十四中学，浙江 杭州 310006)

2019年高考已落下帷幕，各地的数学高考卷中不约而同地出现了1～2道体现数学文化、彰显数学价值的好题.这些试题融合了数学与其他学科的知识内容，考查了灵活运用数学知识解决问题的能力，新意突出，贴近生活，对目前的中学数学教学工作有一定的指导意义.笔者欲从以下3个方面谈谈关于学科融合的看法：

1 学科融合之考题再现

1.1 数学与艺术

数学与艺术都是美丽的，艺术的研究受到数学发展的影响，而数学的发展又从艺术中汲取营养.罗素说过：“数学，从正确的观点来看，它不仅是真理，而且是至上的美丽——一种严峻的美，雕刻的美，没有向弱点做任何的迁就；没有音乐和绘画那样的装饰，而是令人惊异的纯真，具有最伟大的艺术品所显示的完美.”

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A．165 cmB．175 cmC．185 cmD．190 cm

(2019年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第4题)

点评黄金分割是一种数学上的比例关系，这个数值的作用体现于诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等领域，具有深刻的艺术性、和谐性、美感性.本题通过揭示艺术作品本身的完美数学比例，在提高学生艺术欣赏水平的同时，考查了其数学抽象的能力，精致优美，浑然天成.

1.2 数学与国学

国学经典与数学都是人类智慧的精华，在国学经典中蕴藏着丰富的数学知识与思想，若能从这个宝库中充分挖掘数学素材，则既可提高学生的人文素养，又可引导学生以数学的眼光看世界.

图1

例2我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图1，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，图1就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

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(2019年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第6题)

点评中学师生对《周易》的了解一般停留在“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”一段，以此来加深对实数轴、平面直角坐标系与空间直角坐标系及“象限”一词的理解.实际上，《周易》与数学中的概率统计、群论、组合论等均有密切的联系.本题以《周易》的爻元素为背景，将其与数学中的概率问题联系起来，考查了学生的逻辑推理能力，新颖而有趣，是一道让人眼睛一亮的好题.

1.3 数学与物理

数学是物理研究的工具和手段之一.许多数学问题是物理问题中产生出来的，物理可以通过数学的抽象而受益，而数学则可通过物理的见识而发展，二者相互促进，密不可分.

例32019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程

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(2019年全国数学高考卷Ⅱ理科试题第4题)

点评命题者抓住“嫦娥奔月”这个浪漫的主题，以解决软着陆的问题为背景，从中抽象出一个等量关系，并以近似方程给出估算法则，在增强学生民族自豪感的同时，考查了其数学运算能力，可谓匠心独运.

1.4 数学与历史

中国古代出现了许多优秀的数学家与数学著作，如张丘建与《张丘建算经》，秦九韶与《算术九章》，刘徽与《九章算术》等等，这些著作成就了中国古代灿烂辉煌的数学史，对人类文明的发展做出了特殊的贡献.

图2

例4祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图2所示(单位:cm)，则该柱体的体积(单位:cm3)是

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A．158 B．162 C．182 D．32

(2019年浙江省数学高考试题第4题)

点评祖暅原理在人教A版高中《数学(必修2)》的第30页中以“探究与发现”的形式出现，这正是新课程理念的直观体现，此题不仅拓展了广大师生的知识面，也启发了师生要从题海桎梏中解脱出来，洗净铅华，回归课本，重视对基础概念的理解与把握.

1.5 数学与生物

早在16世纪，中国科学家徐明启就曾用数学的方法估算了人口的增长，此即把数学用于生态问题的案例.而在19世纪，奥地利生物学家孟德尔就利用统计学的方法发现了遗传定律，从而成为遗传学杰出的奠基人.后来生物与数学的联系日益紧密，直至近代诞生了生物数学这一独立的学科，它是现在生物大世纪一个热门的领域，未来必将大展宏图.

例5为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下图3所示的直方图：

图3

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70．

1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；

2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组的数据用该组区间的中点值为代表)．

(2019年全国数学高考卷Ⅲ理科试题第17题)

点评本题以生物实验为背景，融合了部分化学概念，考查了学生运用概率统计方法解决实际问题的数据分析能力.内涵丰富，贴近生活，充分凸显了数学作为科学的基础，在解决其他学科问题时的重要性.

1.6 数学与逻辑

逻辑是原始的数学，数学是成熟的逻辑.逻辑的发展依靠数学的推动，而数学又往往得益于逻辑的发展，二者互补而又有差异.

例6在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙3人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高；乙：丙的成绩比我和甲的都高；丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，3人的成绩互不相同且只有一人预测正确，则3人按成绩由高到低的次序为

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A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙

C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙

(2019年全国数学高考卷Ⅱ文科试题第5题)

点评本题以生活中常见的对话为分析对象，考查了学生的逻辑推理能力，乍看之下与高中数学知识无关，细细琢磨却发现：最本源的数学思维能力在此大放光芒.这类问题拉近了考生与数学的心理距离，很好地考查了学生的数学素养，体现了命题者的高超水平.

高考卷中学科融合类试题的出现，既展示了数学与其他学科的相关性，也体现了数学对其他学科的重要性.通过数学与物理的融合，将数字运算转换为字母运算，可以培养学生的数学运算素养；通过数学与逻辑的融合，将生活中的一些场景形式化，可以培养学生的逻辑推理素养；通过数学与生物的融合，利用图表等不同工具，可以培养学生的数据分析素养；通过数学与艺术的融合，将经典作品中的数学元素提取出来细细欣赏，可以培养学生的数学抽象素养……

2 学科融合之理论依据

章建跃博士在2019年数学新课程教材培训会中指出：在构建教材结构体系的逻辑规则中，应强调顺序性、连续性、整合性与关联性.其中关联性指的是：注重学科间的联系，特别是数学与物理、化学、生物等理科课程的联系.

数学家克莱因曾言：“实用的、科学的、美学的和哲学的因素，共同促进了数学的形成.”数学既是形成现代文化的主要力量，又是这种文化力量极其重要的因素，它为自然现象提供合理的结构；数学的概念、方法和结论是许多学科(尤其是物理)的基础，这些学科的成就大小取决于它们与数学结合的程度.

随着社会的进步与科技的发展，许多自然现象与社会实践都可归结为诸如代数方程、云计算、数学建模等的数学问题.对中学教师而言，数学教学不应只着眼于让学生掌握扎实的数学学科基础，还应让学生了解数学在其他学科中的应用，感受数学在整个社会发展中的重要性，从而激发他们的学习兴趣，形成正确的数学价值观.

3 学科融合之教学策略

在日常的教学过程中，教师可以通过以下3种策略来增强学科融合方面的训练，从而让学生有意识地以数学的眼光与思想看待其他学科中的一些问题：

3.1 方法正迁移的心理策略

把已掌握的数学知识准确灵活地运用到其他学科之中，不仅可以调动学生学习积极性，收到触类旁通的效果，更能培养学生从高观点下整体看待问题的能力.以学生在学习物理时经常碰到的扔铅球问题为例：

例7某铅球运动员扔铅球时，铅球距离地面的高度为h，铅球出手时的速度大小为v0，与水平方向的夹角为θ，问：当θ为何值时，可使铅球的水平射程最远？最远距离是多少？

解设铅球的运动时间为t，水平方向位移为x，竖直方向位移为h，重力加速度为g，则

(一种很自然的思路是从方程(2)中解出时间t，再带入方程(1)中求最大值.但物理教师一般会提醒学生：这个过程涉及求导，十分繁琐，应转化思路——利用速度的矢量三角形这一巧妙的方法来解决.实际上，从数学角度看，这是一个关于θ的单变量最值问题，除了求导之外，可通过不等式这一工具快速解决.)

由式(2)解得

代回式(1)，得

上述将物理问题数学化的过程不仅降低了学习的难度，更激发了学生进一步探究的欲望.实际上，物理课程中有关位移与路程的教学，就可以让学生从向量与距离的角度来理解.又如机械运动和机械波的教学，可引导学生从正余弦函数的图像来进行推导.针对学生已有的知识水平和特点，通过迁移的办法有效地将数学和物理相关内容进行融合，可以大大激发学生的学习热情.

化学学科中关于晶体结构与晶胞中微粒的计算，可以正迁移为立体几何与组合问题，通过排列组合公式及强化练习形成空间几何感，可快速地解决该类问题；生物学科中关于遗传概率的计算，可正迁移为数学中的古典概型问题，只要理解了古典概型的概念与计算模式，该类问题自可迎刃而解.诸如此类的探讨与研究在各数理化杂志上已屡见不鲜，教师可以收集相关问题让学生练习，从中慢慢体会数学方法与思想.

3.2 课堂渗入的生成策略

数学史即数学与历史的融合，通过对数学史的学习，可以让学生意识到数学概念漫长而曲折的历史，让他们知道自己的学习困难具有历史相似性，从而获得心理上的安慰，激起学习数学的兴趣[1].通过数学史学生可以了解到：对数的发明是为了简化繁重的天文学运算；微积分的创立是为了研究物体运动的轨迹；射影几何为绘画的透视学原理提供了理论基础；三角函数理论可以解释琴弦的震动并调音……，这些都是数学与其他学科成功融合的教学案例.因此，数学史为教师提供了丰富的教学素材，在平时的课堂教学中，教师可以适时穿插与所讲内容相关的数学史，在活跃课堂氛围的同时又可提升学生的学习兴趣.

文学修养与数学思维都是现代人不可或缺的

文化素质，当今社会需要人文素养和理性精神兼备的人才出现.诗歌作为文学中最高的艺术，与数学有着许多共通之处：都追求和谐与简洁之美，都需要丰富的直觉与想象[2]，二者在意境上有着异曲同工之妙，如:在形容骤然间灵光一现时有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”；在形容不同的角度看问题、解法不同时有“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”；在形容数学中关于0的极限概念时有“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”；在形容直线与圆的位置关系时有“大漠孤烟直，长河落日圆”；在形容对称过程中的变与不变时有“明月松间照，清泉石上流”.

与数学史一样，在课堂教学中，数学教师不妨适时“吟诗作对”一番，让学生体会数学与诗歌的相通之处，让他们在“润物细无声”中丰富自己的心灵，完善自己的人格.

3.3 活学活用的实践策略

随着现代信息技术的发展，学习的方式发生了翻天覆地的变化，从最初的多媒体教学到后来的CAI、手持技术和微课，都为学生获取知识提供了多样的途径.在运用这些技术手段获取数学知识的过程中，学生可以感受到数学与信息等学科的完美融合，并从中实现从单独学习到合作探究的转化.因此，对于一些现代化教学手段，除了教师演示外，应更多地让学生自己动手学习与探究，体会数学原理在其中起到的核心作用.

在英语的教学过程中，可让学生将平时对数学问题的所思所想翻译整理成英文小论文，以此加深对数学概念的理解，提升英文写作能力；另外，可以让学生通过网络与图书馆等途径搜集一些数学外文期刊与报纸，多渠道了解现代数学的发展，同时提升英文阅读水平.