考虑材料参数的二维固/固声子晶体拓扑优化设计

许卫锴，宁金英，韩世超，余欣宇，祁武超

(沈阳航空航天大学 航空宇航学院，沈阳 110136)

声子晶体[1]是在光子晶体的基础上发展起来的，由不同弹性性质的材料按结构周期性复合在一起形成的人工复合材料。这种周期性结构由于带隙的存在及结构的可操纵性，使其广泛应用于频率滤波器、波导和振动保护装置等方面[2,3]。近年来，对声子晶体带隙的拓扑优化已成为该领域的研究热点。Huang等[4]提出基于梯度变换的优化方法，该方法以波数的余弦代替衰减系数作为目标函数以分析弹性波在特定频率范围内的衰减特性;Liu等[5]利用两阶段的遗传算法来寻找二维方形晶格声子晶体规定频带之间的最大相对带隙;Lin等[6]提出一种用于获得声子晶体形状拓扑优化的灵敏度导数的时间伴随方法，实现了有效的降噪结果；Dong等利用遗传算法和NSGA-II分别研究了二维正方形固/固声子晶体的无约束和有约束的单目标优化设计[7]以及多孔单相声子晶体的多目标优化设计[8]，并获得了较宽的相对带隙;Li等[9]提出一种新的基于双向进化的结构优化(BESO)方法和有限元分析的拓扑优化方法，并获得了新的声子晶体拓扑构型;Zhang等[10]提出一种独立散射模型来评估材料的反平面剪切波衰减，并利用该模型设计了一种由平行排列的PMMA薄板组成的高质量滤波器[11];He等[12]基于声子晶体方向带隙的拓扑优化微结构设计，实现了弹性波的单向传输特性;Xu等[13]研究了多相固态声子晶体的拓扑优化设计，并得到了更宽的最大化相对带隙;刘坚等[14]将不确定模型引入局域共振声子晶体，并采用Chebyshev展开法以带隙最大化为目标进行优化，数值分析和优化后的结果都表明带隙有大幅度的拓宽。

声子晶体作为一种复合介质，影响其带隙特性的因素主要分为结构参数和材料参数两类。结构参数主要包括散射体的形状、晶格形式、散射体填充率等，体现为声子晶体的拓扑形式；另一方面，材料参数包括各组元材料的密度、弹性模量、声阻抗以及波速等[1,15],同样会对声子晶体的带隙特征产生影响。赵浩江等[16]分析了材料参数对薄板型声子晶体的影响，得出散射体和基体材料的杨氏模量比和质量密度比是影响薄板弯曲振动带隙的关键材料参数;张昭等[17]通过平面波展开法讨论了薄板型声子晶体的带隙特性，并讨论了散射体弹性模量比、密度比等对声子晶体带隙特性和减振的影响。赵元年等[18]利用有限元法研究了超晶格下材料参数对二维声子晶体振动缺陷态的影响。Han等[19]通过选取4种组份材料，讨论了材料参数对声子晶体带隙的影响，发现在改变材料参数时，得到的每两个模型之间都有明显差别。Li等[20]研究了材料参数对三相声子晶体带隙的影响，并讨论了布拉格散射带隙与局域共振带隙的不同。

然而，目前对声子晶体带隙特征的研究与优化多是从一种影响因素出发，或者是讨论特定材料组合的拓扑构型，或者是固定构型后讨论材料参数的影响，并未考虑声子晶体在两个因素共同影响下的带隙特征。本文基于混合变量的遗传算法，研究同时考虑材料参数及拓扑构型对固/固声子晶体带隙的影响，从而达到材料参数及拓扑构型的一体化设计。

1 理论方法

1.1 声子晶体弹性波方程

考虑由两种各向同性弹性固体材料组成的正方晶格的二维声子晶体，其弹性波动方程[21]为

(1)

式(1)中，λ和μ是Lame常数，r为位置矢量，ρ、u和ω分别是密度、位移矢量和角频率。▽表示梯度算子。

假设弹性波在xy平面内传播，则式(1)可以分解为平面混合模态和反平面剪切模式两个方程

(2)

(3)

由Bloch定理，位移场可表示为

u(r)=ei(k·r)uk(r)

(4)

式(4)中uk(r)是与单胞结构具有相同周期性的函数，且k=(kx,ky)是限于第一布里渊区域的平面矢量。因此，单胞内离散的特征值方程为

[K(k)-ω2M]U=0

(5)

式(5)中K,U,M分别表示刚度矩阵、位移矢量和质量矩阵。利用有限元软件COMSOL，可方便有效地求解该本征频率问题，并得到声子晶体的带隙结果。

1.2 基于混合变量的遗传算法

遗传算法[22]是一种全局、随机和通用的智能算法，被广泛地应用于各种连续体/离散体的拓扑优化领域。与其他常用的拓扑优化方法相比，遗传算法不依赖于目标函数的梯度及敏度，具有非常强的鲁棒性，因此特别适合求解非常复杂的波动问题，并在声子晶体的优化设计领域得到了广泛地应用[5,7-9]。

目前应用遗传算法进行的声子晶体拓扑优化更多地体现在拓扑构型的设计上，即以二进制编码0和1分别代表不同的材料，并通过编码、解码、选择、交叉和变异等操作实现最优值的求解。这种方法的优点是编码方式简单、相对独立，使得适应度评价过程易于实现。然而，一般情况下0和1只能代表固定的材料，并没有考虑材料参数对带隙的影响。

事实上，材料参数对声子晶体的带隙特性也具有重要的影响[15-20]。为此，本文引入密度、弹性模量等材料参数作为连续设计变量，使得该优化问题变为同时考虑离散拓扑(二进制变量)和材料参数(连续变量)的混合变量问题。求解此问题需要对变量进行重新编码：染色体分为两部分，第一部分仍然是代表材料分布的离散变量，第二部分则是将代表材料参数的连续变量进行转化得到。

例如，假定给定参数区间为[a，b]，可将二进制串与区间[a，b]内的十进制数建立映射关系。首先，可用式(6)将二进制串(bnbn-1b0)2代表的二进制数转化为十进制数x′；其次，应用式(7)将x′转化为对应区间[a，b]内的实数。

(6)

(7)

式(7)中n+1为代表材料参数二进制串的长度。

鉴于前人的研究结果[15-20]，不失一般性，可取散射体和基体的参数比值作为设计变量，分别讨论使它们单独变化及同时变化时对声子晶体带隙特性的影响。

图1 二维正方晶格不可约布里渊区

2 算例分析

本文选取四方对称的声子晶体进行优化，其不可约布里渊区示意图如图1所示。晶胞尺寸为0.02 m。为简单起见，选择目前声子晶体中常用的环氧树脂作为基体材料，其材料参数为密度ρ=1 200 kg/m3，杨氏模量E=4.51 GPa，泊松比υ=0.42。为了与文献[7]、[23]的结果进行对比，初始变量选择铅作为散射体，其材料参数为密度ρ=11 350 kg/m3，杨氏模量E=16 GPa，泊松比υ=0.42。为了减少计算成本，本文采用两阶段遗传算法。在第一阶段，晶胞首先被划分为16×16的粗网格，得到的结果在第二阶段被重新划分为32×32的细网格并作为种子结构参与第二阶段的优化。针对四方对称的声子晶体来说，只有1/8的区域需要进行0、1编码，因此在第一阶段和第二阶段所对应的用于材料分布编码的染色体长度分别为36和136，而对应于连续变量的染色体长度要依据所选变量的范围和求解精度来确定，总体染色体的长度为二者之和。遗传算法相关参数为：种群大小为30，交叉率为0.9，突变率的初始值设为0.1。为简单起见，本文仅以平面内混合波模态为例展开讨论，并选取相对带宽(带隙宽度/带隙中间频率)为优化目标，即

(8)

2.1 考虑密度变化对带隙的影响

以散射体的密度作为连续变量进行优化时，根据常见材料的密度值，选取密度范围为1 135～19 500 kg/m3，其中密度的上限与金相同。优化结果如图2所示，其中能带图的纵坐标采用归一化频率Ω=ωα/2πCt,Epoxy19 500 kg/m3。

从图2中可以看出，优化后的材料构型与文献[23]类似，为含4个圆角的近似方形的散射体。计算得到的最大相对带宽为0.36，略低于文献[7]、[23]的结果，这是由于我们的计算条件有限，所选取的离散单元数较少而引起的。另一方面，优化后散射体密度为设置的密度范围的上限，即19 500 kg/m3，同时带隙位置有所降低，这表明散射体与基体的密度差越大越易产生较宽的低频带隙[16]。然而，当弹性模量的差值未达到一定量级的时候，仅仅改变材料的密度并不能显著提高声子晶体的最大相对带宽。例如，针对图2的拓扑构型，将散射体重新设置为铅，计算得到的相对带宽为0.3。

图2 考虑密度变化时的优化结果

2.2 考虑弹性模量变化对带隙的影响

当以散射体的弹性模量作为连续变量进行优化时，同样根据常见材料的模量值，给定弹性模量范围为4×109～3.45×1011Pa。其中4×109为所选铅材料弹性模量的1/4，小于基体的弹性模量，3.45×1011与材料参数表中常用材料钨的弹性模量相同,散射体的密度与铅一致,优化结果如图3所示。

相比于文献[7]、[23]，我们得到了截然不同的构型，且相对带宽达到了1.07，不但远大于散射体为铅的情况，甚至大于文献[23]中以铜为散射体的情况(0.902)。这似乎表明弹性模量对声子晶体带隙有着更为重要的影响。事实上，在文献[23]中，以铜为散射体的带隙结果(0.902)也远大于以铅为散射体(0.455)的情况，这应该是由于铜的弹性模量远大于铅所导致的。

图3 考虑弹性模量变化时的优化结果

再者，当把算例1和算例2的结果同时与文献[23]的结果比较时可以发现，除禁带位置降低外，当仅以密度为变量优化时，能带图第三阶频率下移，当仅以弹性模量为变量优化时，能带图第四阶频率上移。这表明密度对禁带的下边界影响较大，而弹性模量对禁带上边界影响较大,这也与文献[24]中的结论一致。

2.3 同时考虑密度和弹性模量对带隙的影响

以密度和弹性模量同时为变量时，两种参数的范围选择与算例1、2相同，优化后密度结果为19 320 kg/m3，弹性模量为3.45×1011Pa。优化结果如图4所示。可以看出，当弹性模量保持较大的比值时，增大密度差能进一步的提高相对带宽，且可实现禁带宽度增大和频率位置降低两个目标，并得到了远大于先前工作的相对带隙,结果再一次证明了弹性模量在声子晶体设计中的重要性。

图4 密度和弹性模量同时变化时的优化结果

3 结论

本文应用遗传算法对声子晶体拓扑构型及影响声子晶体带隙特性的密度和弹性模量两种材料参数进行优化。通过引入混合变量，分别考虑了密度变化、弹性模量变化以及同时考虑两种参数作为连续变量对声子晶体带隙的影响，结果表明两种参数对带隙特性都有显著影响，其中弹性模量具有更重要的地位。优化后密度和弹性模量都接近甚至达到给定范围的上限，这表明散射体的密度和弹性模量与基体材料对应参数的差值越大越易产生较宽的带隙，其中密度对带隙的下边界影响较大，弹性模量对带隙的上边界影响较大。通过对比3个算例可以发现，当弹性模量具有更大的差值时，更易产生较宽的带隙，这为设计声子晶体时的材料选择和带隙调控提供了一定的理论依据。