边积分析法证明孪生素数猜想

杨哲

【摘 要】本文采用边积分析法证明了孪生素数猜想，即此法证明了孪生素数有无限多个。

【关键词】孪生素数猜想;张益唐;孪生素数无限定理;边际区间;边积分析法

一、引言

张益唐论文“素数间的有界距离[1]”称证明了孪生素数猜想一个弱化形式。

本文另辟蹊径，采用“边际分析法”证明了孪生素数猜想。

二、定理

设p为孪生素数对中比较小的那一个孪生素数，用x（p，p+2）表示孪生素数对的个数。

孪生素数无限定理：使得p+2仍然为素数的素数p有无穷多个。

表达式：x（p，p+2）→+∞.

三、方法

1.分析

设n，k均为正整数，对于任意一个偶数2n都存在一个边际区间[2n，2（n+k）]，只要这个区间足够大（即只要k足够大），总是存在有孪生素数对。

（1）边际区间（12，24]：

在12的边际区间（12，24]，可以找到一个孪生素数对（11，13）

14=7+7=（7-1）+（7+1）=6+8，，16=8+8=（8-1）+（8+1）=7+9，

18=9+9=（9-1）+（9+1）=8+10，20=10+10=（10-1）+（10+1）=9+11，

22=11+11=（11-1）+（11+1）=10+12，

24=12+12=（12-1）+（12+1）=11+13（是孪生素数对）

（2）边际区间（24，38]：

在24的边际区间（24，38]，可以找到一个孪生素数对（17，19）

26=13+13=（13-1）+（13+1）=12+14，28=14+14=（14-1）+（14+1）=13+15，

30=15+15=（15-1）+（15+1）=14+16，30=15+15=（15-1）+（15+1）=14+16，

32=16+16=（16-1）+（16+10=15+17，34=17+17=（17-1）+（17+1）=16+18，

36=18+18=（18-1）+（18+1）=17+19（是孪生素数对）

（3）边际区间（38，60]：

在38的边际区间（38，60]，可以找到一个孪生素数对（29，31）

38=19+19=（19-1）+（19+1）=18+20

40=20+20=（20-1）+（20+1）=19+21

42=21+21=（21-1）+（21+1）=20+22

44=22+22=（22-1）+（22+1）=21+23

46=23+23=（23-1）+（23+1）=22+24

48=24+24=（24-1）+（24+1）=23+25

50=25+25=（25-1）+（25+1）=24+26

52=26+26=（26-1）+（26+1）=25+27

54=27+27=（27-1）+（27+1）=26+28

56=28+28=（28-1）+（28+1）=27+29

58=29+29=（29-1）+（29+1）=28+30

60=30+30=（30-1）+（30+1）=29+31（是孪生素数对）

（4）边际区间（60，84]：

在60的边际区间（60，84]，可以找到一个孪生素数对（41，43）

62=31+31=（31-1）+（31+1）=30+32

64=32+32=（32-1）+（32+1）=31+33

66=33+33=（33-1）+（33+1）=32+34

68=34+34=（34-1）+（34+1）=33+35

70=35+35=（35-1）+（35+1）=34+36

72=36+36=（36-1）+（36+1）=35+37

74=37+37=（37-1）+（37+1）=36+38

76=38+38=（38-1）+（38+1）=37+39

78=39+39=（39-1）+（39+1）=38+40

80=40+40=（40-1）+（40+1）=39+41

82=41+41=（41-1）+（41+1）=40+42

84=42+42=（42-1）+（42+1）=41+43（是孪生素数对）

只要k足够大，在2n的边际区间总存在有孪生素数对。

2.定理

边际定理：对于任意一个正整数n总是存在有足够大的正整数k，使得偶数2n的边际区间[2n，2（n+k）]都存在有一个孪生素数对（p，p+2）.

表达式：2（n+k）=（n+k-1）+（n+k+1）=p+（p+2），其中：p=n+k-1，p+2=n+k+1.

证明：

设p为素数并且使得p+2仍然为素数，设m=n+k为等差数列p，m，p+2的等差中项。

有：m=n+k=p+1.

则：m-1=p=n+k-1，m+1=p'+1+1=p+2=（n+k-1）+2=n+k+1，

即：p=n+k-1，p+2=n+k+1.

所以，只要正整数k足够大，对于任意一个偶数2n的边际区间[2n，2（n+k）]总是有：

2（n+k）=（n+k）+（n+k）=（n+k-1）+（n+k+1）=p+（p+2）等式成立。

所以，只要正整数k足够大，在任意一个偶数2n的边际区间[2n，2（n+k）]總是有孪生素数对（P=n+k-1，p+2=n+k+1）存在。

所以，边际定理成立。

四、证明

证明孪生素数猜想，就是证明孪生素数无限定理。

依据边际定理，只要正整数k足够大，在任意一个偶数2n的边际区间[2n，2（n+k）]都存在有孪生素数对（p=n+k-1，p+2=n+k+1）。

而且当n无限大时任意偶数2n的边际区间[2n，2（n+k）]有无限多个，所以它使得孪生素数对（p=n+k-1，p+2=n+k+1）有无限多个。

所以孪生素数对（p，p+2）有无限多个，即使得p+2仍然为素数的素数p有无限多个。

于是，孪生素数猜想得到证明，即孪生素数无限定理得到证明。

【参考文献】

[1]张益唐，素数间的有界距离，（美国）数学年刊，179（2014）：1121-1174.