考虑风电场模型的仿射区间潮流计算

马伟哲, 程韧俐，史军，华栋，孙高星，张聪

(1.深圳供电局有限公司，广东 深圳 518001； 2.华南理工大学，广东 广州 510641；3. 湖南大学，湖南 长沙 410082)

作为一类清洁的可再能源，风电的开发利用可减轻环境污染和缓解当前的能源危机。风电功率取决于风速，而风速随时间呈现无规律的变化，导致风电功率难以预测[1]。风电的波动会引起电网运行参数如线路有功潮流、相角、电压等的波动，从而威胁电网运行的安全性；因此，需计算风电并网后运行变量变化的范围，为运行调度部门制订应对方案提供依据，以保证电力系统的安全运行。为此，本文研究了含风电场电网的区间潮流模型，用于获取不确定性风电并网后潮流变量的变化范围。

目前，处理潮流问题中风电不确性的方法主要有2种，即概率潮流法[2-15]和区间潮流法[16-29]。概率潮流法是将风电的不确定性数据当作服从某个概率分布的随机变量，建立相应的概率潮流模型，并通过求解该模型来获取电网潮流变量的概率分布函数或者概率分布函数的特征变量。求解概率潮流模型的方法主要有分析法[2-6]、点估计法[7-11]和蒙特卡洛模拟[12-15]。蒙特卡洛模拟是通过随机模拟技术生成一系列样本，求解每个样本下的潮流方程，获得潮流变量概率分布的方法。蒙特卡洛模拟采样时随机变量之间存在相关性，导致算法的计算效率低。为提高采样效率，相关文献提出了拉丁超立方采样方法[14]，但无法从本质上提高其抽样效率，特别在求解大规模电网潮流问题时，计算时间大幅上升[15]，而潮流结果精度大幅下降。点估计法是通过从采样数据中提炼相关的统计信息，以获得随机变量的统计特征。根据矩估计的阶数，可将点估计法分为两点估计法[20]和三点估计法[14]。点估计法比蒙特卡洛模拟的计算效率更高，但它无法得到潮流解精确的概率分布函数。分析法是通过数学近似变换和卷积方法来获取潮流变量的概率分布函数，如Cornish-Fisher展开[8]，Gram-Charlier展开[15]和快速傅里叶变换[13]。该方法在求解不确定性潮流问题时，需采用线性变换法线性化潮流方程；然而线性变换法的过程过于复杂，降低了算法的灵活性，同时会产生线性近似误差。以上涉及的概率潮流法旨在获取概率潮流模型的潮流变量的关键统计信息或概率分布函数。在实际中，随机变量分布函数中的参数均为近似值，并且概率潮流方法的采样空间有限，导致估计潮流变量的变化范围比实际潮流变量的变化范围窄，算法结果不精确。

为克服概率潮流法的缺点，研究者提出了区间潮流法。该方法采用数据的边界信息即区间，来对不确定性输入数据建模，建立区间潮流模型来获得潮流变量的变化范围。区间潮流模型在数学上是一个非线性非凸的带区间参数方程组，求解难度较大。目前，主要有4种区间潮流算法，即区间迭代算法[16-21]、仿射算法[22-26]、区间泰勒展开[27]和优化场景法[28-29]。区间迭代算法旨在通过传统的非线性方程组迭代求解方法，如牛顿迭代[16]、Gauss-Seidel迭代[17]和Krawczyk-Moore方法[18]，结合区间数学运算来求解区间潮流模型；然而，区间的四则运算存在依赖性问题，导致上述方法得到的区间结果过于保守[19]，且区间迭代算法的收敛依赖于初始区间的选择，收敛效果差。

为降低区间计算的保守性，研究者提出了仿射区间运算，即将区间看成是一系列噪声元素的线性组合，在进行仿射区间运算时，只需计算噪声元素前的系数，保留了区间之间的关联信息。仿射算法在计算过程考虑了区间计算的依赖性问题，其精度和收敛性均比区间迭代算法有大幅改善。基于仿射算术的区间潮流算法通过引入域压缩方法来取代迭代过程，以克服算法中存在的收敛性问题[26]。仿射算法为区间潮流模型的求解提供了有效的途径，但非线性函数的仿射计算会产生切比雪夫近似误差，导致算法估计的潮流变量范围会比实际的范围大[19]。区间泰勒展开是将区间函数通过区间泰勒公式展开并保留二阶项[28]，再利用区间计算获得潮流变量的区间，但区间泰勒公式存在截断误差，对于数据波动区间较大时，算法的有效性无法保证。优化场景法通过极值定理建立优化模型来获得潮流变量的变化范围[28]，在理论上可获得潮流变量的精确变化区间，但大量非线性规划模型的求解造成算法的效率过低。综上所述，区间潮流算法的研究已经趋于成熟，但上述算法均未考虑风电的控制模型，无法反映风电并网后电网的实际运行工况。

对于考虑风电场模型的概率潮流法，已经有大量的研究[30-32]。对于区间潮流模型，有研究者在区间潮流模型中考虑了风电[33]，并将区间与概率结合起来研究，但未涉及风电场的具体模型。因此，为估计风电并网后电网的潮流变化范围并反映风电场的运行特征，本文提出了考虑风电场模型的区间潮流模型。为求解该模型，提出了考虑风电场模型的仿射区间潮流算法。本文的主要研究工作包含以下几个方面：①提出了考虑风电场模型的区间潮流模型。该模型将风电场有功输出功率表示成区间，采用3种类型控制模型来描述风电场的无功功率，可计算含不同类型风电场电网的潮流变化区间。②提出了考虑风电场模型的仿射区间潮流算法。在仿射运算过程中，将3类风电场有功功率和无功功率对应的噪声元素关联起来，并建立和求解对应的噪声元素压缩优化模型，从而获得风电并网后潮流变量的区间。③将所提算法与蒙特卡洛模拟法比较，验证了所提方法的有效性和优越性，并通过IEEE 118节点系统算例验证其求解大系统的可行性。

1 考虑风电场模型的区间潮流模型

对于不含风电场的发电机节点和负荷节点，潮流方程为：

PGi-PLi-Pi=0,i∈SG；

(1)

-PLi-Pi=0,i∈SD；

(2)

QCi-QLi-Qi=0,i∈SD；

(3)

(4)

(5)

式(1)—(5)中：S、SG和SD分别为系统所有节点、发电机节点和负荷节点组成的集合；Pi、Qi分别为节点有功功率和节点无功功率(下标“i”表示节点i，下同)；PGi为常规发电机的有功输出功率；QLi和PLi分别为节点无功和有功负载；QCi为节点上无功功率补偿器的输出；θij为节点i、j的相角差；Ui为节点电压幅值；Bij和Gij分别为节点导纳矩阵Y的元素Yij的虚部和实部。

对于含FSCF风电场的节点，潮流方程为：

(6)

(7)

(8)

对于含CPFCM风电场的节点，潮流方程为：

(9)

(10)

(11)

式中φ为功率因数cosφ的角度。潮流计算分析时，可将该类型节点当作P-Q节点处理。

(12)

其无功功率可在区间潮流计算后求得，潮流计算时可将该类节点当作P-U节点。

式(1)—(12)组成了考虑风电场模型的区间潮流模型，在数学上是含区间参数的非线方程组，其求解算法在第2章中给出。

2 考虑风电场模型的仿射算术区间潮流算法

对于第1章中提出的考虑风电场模型的仿射区间潮流模型，本文根据文献[40]中的仿射算术理论，并结合风电场模型特点，提出考虑风电场模型的仿射区间潮流算法。由于FSCF风力机目前很少使用，本文在算法的描述中将忽略该模型。对于CVCM模型，无需考虑无功控制模型。

考虑风电场模型的仿射算术区间潮流算法主要包括4个步骤：

步骤1：将电压幅值和相角的区间表示成仿射形式，并在仿射形式中考虑风电场模型。

根据仿射算术理论，负荷节点的电压幅值和非平衡节点的相角的区间可以写成如下仿射形式：

(13)

(14)

(15)

(16)

步骤2：计算节点功率的仿射形式，计算时考虑风电场有功和无功的关系。

将电压幅值和相角的仿射形式代入节点功率方程，并通过仿射加、减、乘法运算和非线性函数的逼近仿射运算，得到节点有功功率和无功功率的仿射形式分别为：

(17)

(18)

式中Qi,0和Pi,0分别是节点的注入无功和有功功率。对于连接风电场的节点，Pi,0为风电场输出功率区间的中点，即:

(19)

(20)

SnN是由非线性函数(三角函数)逼近仿射运算生产的一组新噪声元素集合，包括正弦、余弦函数的乘积和切比雪夫线性近似。

步骤3：构造线性规划模型压缩噪声元素εPi的范围。

将式(17)和(18)中的仿射形式写成矩阵形式，即

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f(X)=AX+B.

(21)

式中：X为噪声元素组成的向量，每个噪声元素的初始值设置为区间[-1,1]；f(X)为节点注入功率；A为线性部分的系数组成的矩阵；B为由新噪声元素计算后得到的区间向量。具体表达式可参考文献[26]。新的噪声元素εh在固定的区间[-1,1]中变化，无法对它的范围进行压缩，代表由非线性函数的仿射计算产生的内部噪声元素。

在步骤1中对电压幅值和相角仿射形式乘以了放大系数，同时步骤2采用了非线性函数仿射近似运算，所以式(21)的区间范围必定包含了注入节点功率的真实范围。通过压缩X的范围来获取潮流变量的区间，即

minεPj或maxεPj,j∈SCPFCM∪SCVCM；

(22)

式中，C=f(X)-B，C是由Ci组成的向量,inf(·)和sup(·)是下界和上界函数,nP和nQ是集合SG∪SL和SL的元素个数。

步骤4：计算潮流区间，并在计算时考虑风电场模型。

通过式(22)可获得相角和电压幅值的精确范围为：

(23)

通过以上4个步骤，可获得负荷节点电压幅值和非平衡节点相角的区间。为了得到式(17)和式(18)仿射形式，中间需要进行仿射近似计算，如乘法计算和切比雪夫近似，具体过程可参考文献[40-41]。

3 算例分析

为验证所提基于仿射算术的区间潮流算法的有效性，本节测试了IEEE 30和IEEE 118节点系统。在IEEE 30节点系统的测试中，将本文算法与蒙特卡洛模拟方法进行比较，以验证本文算法的优点和有效性。IEEE 118节点系统的测试用于验证本文算法求解大系统的能力。所有参数和数据均采用标幺值，对应的系统基准功率取100 MVA。CPFCM风电场的恒定功率因数设为cosφ=0.95，蒙特卡洛模拟的样本数设为5 000，以保证采样结果的真实性。为反映风电并网后潮流变量的波动情况，所有仿真结果图中均采用了“基准场景”对比，其定义为“风电场的输出功率区间中点处的潮流”。为便于描述，算例中对系统所有节点编号重新排列，包括平衡节点、CVCM风电场节点、传统发电机节点、负荷节点、CPFCM风电场节点。所有支路重新排列，假设支路后节点编号大于前节点编号，功率传输方向为从前节点传输到后节点。所有支路按照前节点编号升序排列，如2条支路的前节点编号相同，则后节点编号较小的支路排前。

3.1 IEEE 30节点系统

采用的IEEE 30节点系统包含2个风电场、5台发电机、37条传输线、4台变压器和2个电容器，如图1所示。其中，2号和30号节点的分别并入CVCM风电场和CPFCM风电场。由于FSCF风电场技术已过时且很少在实践中使用，此处不予考虑。CVCM风电场和CPFCM风电场的有功输出功率区间分别设置为[0,1.04](即0～104 MW)和[0,0.275 6](即0～27.56 MW)。假设风速v是一个随机变量，符合Weibull分布，即

(24)

式中k和c分别为分布函数的形状和尺度参数。其风速的Weibull分布参数和风力机的运行参数见表1。表1中考虑了风力机的切出风速vco、切入风速vci和额定风速v，当v

图1 包含CPFCM和CVCM风电场的IEEE 30节点系统Fig.1 Layout of IEEE 30-bus system incorporating CPFCM and CVCM wind farms

表1 IEEE 30节点系统中风速和风电场参数Tab.1 Parameters of wind speed and wind farms in IEEE 30-bus system

根据上述参数和输入数据，采用蒙特卡洛模拟和本文所提的基于仿射算术的方法求解含风电场的区间潮流模型，得到节点相角、电压幅值和支路有功传输功率结果如图2、3、4所示。可以看出，本文算法得到的潮流变量区间比蒙特卡洛模拟得到的潮流变量区间更宽。这是由于蒙特卡洛模拟在生成样本时无法考虑所有场景，特别是极端场景，导致潮流变量区间估计不足。本文所提的仿射算法是基于自我完备(包含)特性的仿射运算，可获得比真实潮流区间更保守的结果。为显示这2种方法的包含关系，图5给出了30号节点和2号节点的相角抽样结果，表明蒙特卡洛的所有样本均包含于仿射算法的区间中。从图2和图3可知，30号节点和2号节点的电压幅值和相角都出现较大的波动，这是因为2号节点和30号节点直接与风电场连接，节点潮流会跟随风电场的功率发生变化。图4表明1号支路(连接1号和2号节点)的输送功率也出现很大的波动，原因是2号节点与风电场连接，且1号节点为平衡节点，2号节点的功率波动会转移到1号支路。

综上所述，本文所提考虑风电场模型的仿射算法能有效求解含风电场的区间潮流模型，获得的潮流区间结果比蒙特卡洛模拟的结果更保守。

图2 2种方法获得的节点相角区间(IEEE 30节点系统)Fig.2 Ranges of bus angles acquired by two methods(IEEE 30-bus system)

图3 2种方法获得的节点电压幅值区间(IEEE 30节点系统)Fig.3 Ranges of load voltages acquired by two methods(IEEE 30-bus system)

图4 2种方法获得的有功传输功率区间(IEEE 30节点系统)Fig.4 Ranges of active transmission power by two methods(IEEE 30-bus system)

图5 2号节点和30号节点的相角抽样结果Fig.5 Sampling results of angles at bus No. 2 and bus No. 30

3.2 IEEE 118节点系统

IEEE 118节点系统包含54台发电机、64个负荷节点、169条线路、9台变压器和9个电容器(图6)。为了考虑风电场的影响，将IEEE 118节点系统中第1、4、6、8、10号节点的发电机改为CVCM风电场，第109、144、115、117、118号负荷节点改为CPFCM风电场。所有风电场的节点位置、控制类型、切入风速、切出风速、额定风速、额定输出功率以及风速的Weibull分布参数信息见表2。

图6 具有不同风力发电场的IEEE 118节点系统Fig.6 Layout of IEEE 118-bus system withdifferent wind power farms

表2 IEEE 118节点系统中风速和风电场参数Tab.2 Parameters of wind speed and wind farms in IEEE 118-bus system

基于以上数据和参数设置，将基于仿射算术的方法和蒙特卡洛模拟用于求解IEEE 118节点系统，得到节点相角、电压幅值和有功传输功率区间分别如图7、8、9所示。为便于描述，图9中根据有功传输功率中点值的大小对支路重新进行排序(按升序)。从图7、8、9可看出，仿射算法得到的潮流变量区间比蒙特卡洛模拟得到潮流变量区间更宽。此外，节点相角、负荷节点电压幅值和传输功率区间宽度较大的情况，通常发生在风电场并网点或与风电场相连的支路，因为节点注入功率的波动会导致相角、电压幅值和传输功率的波动。综上所述，该算例验证了本文算法求解含多个风电场大节点系统的适用性。

图7 2种方法获得的节点相角区间(IEEE 118节点系统)Fig.7 Ranges of bus angles acquired by two methods(IEEE 118-bus system)

图8 2种方法获得的节点电压幅值区间(IEEE 118节点系统)Fig.8 Ranges of load voltages acquired by two methods(IEEE 118-bus system)

图9 2种方法获得的有功传输功率区间(IEEE 118节点系统)Fig.9 Ranges of active transmission power by two methods (IEEE 118-bus system)

算例均采用MATLAB 2016b编程实现，并在3.2 GHz CPU和4 GB RAM上进行测试。其中，仿射算法和蒙特卡洛模拟测试IEEE 30节点系统时分别需要4 s和20 s，而测试IEEE 118节点系统分别需要15 s和50 s。这表明基于仿射算术的方法高于蒙特卡洛模拟法的计算效率。

4 结束语

针对现阶段区间潮流模型中没有考虑风电场控制模型的问题，本文提出了考虑风电场模型的区间潮流模型，用于获取含不确定性风电电网的潮流变化范围。考虑风电场模型的区间潮流模型将风电场的有功功率采用区间表示，并在模型中考虑3种控制模式来模拟风电场的运行特征。为求解该模型，本文改进了基于仿射算术的区间潮流算法，考虑了风电场有功和无功功率的关联控制模型，将潮流变量区间表示成仿射形式，并构造优化模型压缩对应的仿射形式以获得潮流变量的精确区间。IEEE 30节点系统测试结果表明，考虑风电场模型的仿射算法能有效求解含风电场的区间潮流模型，其获得的潮流区间结果比蒙特卡洛模拟的结果更保守，更有利于保证电力系统安全性。IEEE 118节点系统的测试结果表明，所提仿射算法具有较高的计算效率，并且能求解含多个风电场的大节点系统。

由于所提仿射算法包含了非线性函数仿射运算的切比雪夫近似误差，其获得的潮流范围比含风电场的区间潮流模型的“实际”范围宽。因此，未来需研究更合适的仿射形式，以减少近似误差。考虑风电场模型的区间潮流模型的结果未经实际系统数据验证，需进一步与实际运行工况下得到的数据进行比较。