井壁Ⅰ型裂缝尖端塑性区研究

崔 莹,屈 展,赵均海,王 萍

(1．西安石油大学 土木工程系，西安 710065;2．陕西省油气井及储层渗流与岩石力学重点实验室，西安 710065;3．长安大学 建筑工程学院，西安 710061)

成岩作用和构造运动使得井壁围岩有着非常多的原生裂缝，同时还存在受钻井开发中钻具的不断扰动以及钻井内的压力变化等客观原因导致的新裂缝。井壁围岩开裂多属于Ⅰ类(张拉型)裂缝，其裂缝尖端塑性区的分布对裂缝的进一步延展有着重要的影响，因此，分析研究井壁裂缝尖端塑性区范围的扩展对评价井壁稳定性有着积极的理论和实际意义。

国内外许多专家学者近年来针对岩石、混凝土等脆性材料的开裂及裂缝延展进行了较为广泛的研究，取得了很好的结果。曹晨曦等[1]基于断裂力学理论，推导建立了Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ型裂缝应力强度因子与能量释放率之间的关系公式；M.M.Mirsayar等[2]进一步以最大切应力及最大切应变准则研究了Ⅰ/Ⅱ型裂缝临界强度因子及裂缝延展关系；刘跃东等[3]依据断裂力学理论建立了水压致裂法和巴西劈裂法测得的抗拉强度间关系；E.T.Ooi等[4-5]采用应力强度因子表征的裂缝扩展准则针对水泥基材料的Ⅰ型断裂对钢筋混凝土裂缝扩展进行了分析；Wei M.D.等[6]、韩铁林等[7]探讨了断裂韧度对岩石Ⅰ型裂缝扩展的影响；于淼等[8]引入双线性应力分布模型，通过数值模拟计算不同颗粒大小花岗岩的抗拉强度和断裂韧度；李斌等[9]通过对应用岩石临界状态围压改进的强度准则参数探讨，解决了高应力条件下岩石常用强度准则的适用性问题；腾俊洋等[10]依据巴西劈裂圆盘实验，分析了含水和层理的页岩的破坏模式和力学特性；王璀瑾等[11]、赵均海等[12]分别应用起裂韧度准则和双剪统一强度理论，研究了混凝土Ⅰ型裂缝的塑性变形问题；高美奔等[13]、王卫华等[14]尝试通过引入模糊数学法等手段对岩石力学参数进行优化计算。

现有研究多集中于普通岩石和混凝土材料，针对井壁围岩常见的Ⅰ型裂缝及其扩展的相关研究有限。泥页岩井壁围岩作为常见油气储层的密封层，其力学强度在钻井过程中直接影响井壁的稳定，在后期的水力压裂施工中，如果裂缝失稳，扩展穿透泥页岩密封层，将会导致压裂失效[15-16]。研究表明[17-20]，中间主应力对岩石强度具有显著影响，在井壁稳定性研究中需考虑中间主应力效应[21]。本文以考虑中间主应力作用的双剪统一强度理论为依据，对井壁围岩Ⅰ型裂缝的尖端塑性区分布展开研究，推导建立井壁围岩Ⅰ型裂缝尖端塑性区边界统一解表达式，并结合前期的研究，求解出泥页岩井壁Ⅰ型裂缝尖端塑性区边界的统一强度理论解，并进行相应因素变化的探讨，所得结论对井壁围岩Ⅰ型裂缝尖端塑性区范围确定有一定的理论意义及工程应用价值。

1 双剪统一强度理论

俞茂宏建立的双剪统一强度理论认为：当作用于双剪单元体上的2个较大切应力及其面上的正应力影响函数达到某一极限值时，材料开始发生破坏[22]。以主应力形式的双剪统一强度理论公式为[21]

(1-a)

(1-b)

(2)

式中：σ1、σ2和σ3分别为第一、第二和第三主应力；α为材料拉压强度比，对岩石一般小于0.5；τ0为材料剪切屈服极限；ft为材料拉伸屈服极限；fc为材料压缩屈服极限；b为反映中间主切应力以及相应面上的正应力对材料破坏影响程度的系数[23]。

2 Ⅰ型裂缝尖端塑性区边界统一解表达式

2.1 主应力的确定

对于Ⅰ型裂缝问题，极坐标下裂缝尖端附近区域的应力分量表达式为[24]

(3)

(4)

(5)

式中：KI为Ⅰ型裂缝尖端应力场强度因子；r为计算点至裂缝尖端的距离。

井壁围岩处于平面应变状态，依据材料力学理论，其主应力计算公式为

(6)

σ3=μ(σ1+σ2)

(7)

式中：μ为泊松比。

将式(3)、(4)、(5)代入式(6)、(7)，得到裂缝尖端附近区域的主应力表达式为

(8)

(9)

(10)

2.2 边界统一解表达式

将式(8)、(9)、(10)代入双剪统一强度理论判别式，发现符合式(1-b)的判别条件，因此将式(8)、(9)、(10)代入式(1-b)，得

(11)

由此解得

(12)

式(12)即为平面应变条件下，用极坐标表示的井壁围岩Ⅰ型裂缝尖端塑性区的统一解边界方程。

3 泥页岩井壁Ⅰ型裂缝尖端塑性区分析

为了分析式(12)计算确定的井壁围岩Ⅰ型裂缝尖端塑性区的边界分布，本文选择井壁围岩中常见的泥页岩相关数据进行裂缝尖端塑性区边界绘制并进行相应分析讨论。在天然状态下，泥页岩的抗拉强度与抗压强度比(拉压强度比)为5%～9.2%。考虑泥页岩的拉压强度比变化范围，泥页岩拉压强度比α取7.1%，泊松比μ为0.2[25]。

3.1 不同b值

图1 不同b值条件下泥页岩Ⅰ型裂缝尖端塑性区边界曲线Fig.1 The boundary curve of plastic zone of type Ⅰ crack tip of the shale with different b value

从图1可以看出，不同b值条件下的Ⅰ型裂缝尖端塑性区范围随着b值的增大而逐渐减小，说明考虑中间主应力作用发挥了岩石自身的强度，塑性区范围减小；同时，随着b值的不断增大，塑性区在0°和180°两个位置的曲线曲率逐渐减小，说明考虑中间主应力的作用可以改善裂缝尖端的应力集中现象。

3.2 不同拉压强度比

天然状态下泥页岩的拉压强度比有一定的变化范围，为了考察在b值不变的前提条件下，不同拉压强度比对裂缝尖端塑性区的影响，分别令泥页岩拉压强度比α在5%～9.2%范围内取0.05、0.064、0.078、0.092，同时令b分别等于0、0.2、0.4、0.6、0.8、1.0，绘制出不同拉压强度比条件下裂缝尖端塑性区边界曲线如图2所示。

从图2可以看出，不同b值条件下拉压强度比均对泥页岩裂缝尖端塑性区的分布情况影响不大，同一b值、不同拉压强度比条件下的曲线相距很近。从图2(A-E)可以看出，随着b值的不断增大，塑性区分布范围逐渐降低且曲线逐渐平滑，尤其是在0°方向塑性区曲线的曲率变化比较明显。图中数据提取汇总如表1所示，从表1中的数据对比可以看出，不同b值条件下尖端塑性区范围相差约20%，说明是否考虑中间主应力效应对确定Ⅰ型裂缝范围计算有较大影响。同时，随着b值的不断增加，塑性区范围降低约40%～60%，说明在裂缝尖端延长线上考虑中间主应力的作用下可以有效缩减塑性区分布范围。

3.3 考虑围压的泥页岩Ⅰ型裂缝尖端塑性区计算

实际当中泥页岩井壁受到围压作用，围压会对裂缝尖端塑性区的大小和形状产生影响。考虑围压作用时，裂缝前端附近的主应力公式(8)、(9)、(10)调整为

(13)

图2 不同拉压强度比条件下泥页岩Ⅰ型裂缝尖端塑性区边界曲线Fig.2 The boundary curve of plastic zone of type Ⅰ crack tip of the shale crack under the condition of different ratio of tension-compression strength

表1 考虑拉压强度比变化的不同b值条件下泥页岩裂缝尖端塑性区范围Table 1 The scope of plastic zone of type Ⅰ crack tip of shale under the condition of different b value and different tension-compression strength ratio

(14)

(15)

式中：p为围压；其余符号含义同前。将式(13)、(14)、(15)代入双剪统一强度理论判别式，发现同样符合式(1-b)的判别条件，因此将式(13)、(14)、(15)代入式(1-b)，整理得

(16)

依据文献[26]中的实际测试数据，取围压p=15.2 MPa，应力强度因子KI=4.1 MPa·m1/2，拉压强度比及泊松比仍与前保持一致，将上述数据代入式(16)。同时分别取b=0(Mohr-Coulomb强度准则)、b=0.5(Mises强度准则)及b=1(双剪强度准则)[22]，绘制出3种强度准则下考虑围压作用的泥页岩Ⅰ型裂缝尖端塑性区如图3所示。

图3 不同强度准则下考虑围压作用的泥页岩Ⅰ型裂缝尖端塑性区边界曲线Fig.3 The boundary curve of plastic zone of type Ⅰ crack tip in consideration of the confining pressure under the condition of different strength criteria

从图3可以看出，考虑围压作用的3组曲线均表现出Ⅰ型裂缝的对称性特点。从塑性区的范围来看，依据Mohr-Coulomb强度准则所确定的裂缝尖端塑性区最大，而双剪强度准则所确定的最小，两者相差42%；Mises强度准则计算结果居中，与双剪强度准则计算结果的差值为9.4%。3种强度准则条件下裂缝尖端塑性区计算结果如表2所示。同时，曲线在0°和180°两个位置的曲率随着不同强度准则的变化而有较大的改变，随着中间主应力发挥比例的不断增加，上述两个位置的曲线曲率不断平滑，这表明在塑性区裂缝延长线上裂缝扩展速率会随着中间主应力的不断提升而逐渐降低。结合上述分析，从理论角度来讲，b值的选取可以参照以下思路：裂缝发展以剪切破坏为主，b值可以选择0和0.2；如果是介于剪切破坏和张拉破坏之间的情况，b值可以选择0.4和0.6；如果以张拉破坏为主，b值可以选择0.8和1.0。

表2 考虑围压作用的不同强度准则下泥页岩塑性区计算Table 2 Calculation of plastic zone of shale in consideration of the confining pressure under the condition of different strength criteria

4 结 论

通过应用双剪统一强度理论推导井壁围岩Ⅰ型裂缝尖端塑性区边界表达式并以泥页岩井壁为代表进行讨论，可以得出如下结论：

a.中间主应力对井壁围岩Ⅰ型(张拉型)裂缝尖端塑性区分布有较大影响。拉压强度比对裂缝尖端塑性区的分布情况影响较小。

b.考虑中间主应力的积极作用可以在含张拉裂缝的井壁围岩中充分发挥岩石自身强度，减小围岩的塑性区范围。

c.考虑中间主应力可以降低围岩张拉裂缝尖端的扩展速率，从而改善裂缝在尖端的应力集中现象。

d.推导建立的裂缝尖端塑性区统一解表达式具有良好的涵盖性，通过改变b值可以得到不同强度准则条件下井壁围岩Ⅰ型裂缝尖端塑性区边界。b值是表征中间主应力对材料破坏影响的参数，同时也对应于不同的强度准则，其值可以依据井壁围岩Ⅰ型裂缝的实际开裂和破坏情况予以选择。