对浙江省2019年高考传输带试题的质疑

胡君亮 陈 怡

(浙江省永康市第二中学,浙江 永康 321300)

浙江省2019年4月份高考物理试卷中,设计了一道以传输带运输沙粒为情景的试题．

原题.某砂场为提高运输效率,研究沙粒下滑的高度与砂粒在传送带上运动的关系,建立如图1所示的物理模型．竖直平面内有一倾角θ=37°的直轨道AB,其下方右侧放置一水平传送带,直轨道末端B与传送带间距可近似为0,但允许砂粒通过．转轮半径R=0.4 m、转轴间距L=2 m的传送带以恒定的线速度逆时针转动,转轮最低点离地面的高度H=2.2 m．现将一小物块放在距离传送带高h处静止释放,假设小物块从直轨道B端运动到达传送带上C点时,速度大小不变,方向变为水平向右．已知小物块与直轨道和传送带间的动摩擦因数均为μ=0.5．

图1 传输带模型

(1) 若h=2.1 m,求小物块到达B端时速度的大小;

(2) 若小物块落到传送带左侧地面,求h需要满足的条件;

(3) 改变小物块释放的高度h,小物块从传送带的D点水平向右抛出,求小物块落地点到D点的水平距离x与h的关系式及h需要满足的条件．

其中,第二小题提供的参考答案如下.

沙粒要从传输带的左侧离开,则沙粒运动到D点速度为0．设沙粒从直轨道开始运动的高度为h,根据动能定理,有

代入数据解得h=3.0 m,则起始高度应小于3 m．

问题是:沙粒运动到D点时速度不为0,沿着皮带再往下滑,到一定角度才减速为0,接着再在摩擦力的作用下运动上来,这样的情景可能发生吗?如果可以发生,那么参考答案是错误的,答案应该大于3 m．

为此,我们进行了一些研究．

1 实验探究

取一段直径略大于自行车轮胎的塑料管,锯开一个口子,让塑料管能套在自行车的轮子上,可以滑动．

如图2所示，把自行车轮子朝上,转到脚踏板,轮子逆时针转动．塑料管用细线拉着,把塑料管慢慢的从下往上拉．当拉到某一位置时,可以看到细线松弛．说明此时重力、支持力和摩擦力达到平衡．再往上拉一点点,塑料管就被自行车轮子带上来了．

图2 塑料管平衡位置

如图3所示，去掉细线,自行车轮子依旧逆时针转动．手指在轮子的最高点,挡住塑料管．给塑料管一个向右的速度,塑料管沿着轮子往下滑动,减速为0后有被轮子带动上来．稍微增大推动塑料管的初速度,塑料管还是能上来．再增大初速度,直至塑料管滑下后不再上来．

以上实验表明,试题中沙粒运动到D点时速度可以不为0．

图3 塑料管最低点位置

2 初步研究

图4 受力分析图

沙粒从D到B做减速运动,其逆过程是从B到D的加速过程．先不考虑由于圆周运动速度产生的向心力导致皮带轮对沙粒弹力的影响,有Ff=μFN=μmgsinθ,以此来估算沙粒到达D点的速度大小．

根据动能定律,有

得到

由于是圆周运动,沙粒受到的弹力比上述假设的小,摩擦力也小,摩擦力做功也小,因此这样解得的速度是偏大的．

3 定量研究

沙粒沿传输带圆弧往上滑动是一个变加速运动,根据牛顿运动定律,其切线方向的加速度为

在法线方向,根据圆周运动有

联立两式得

而

这样可以得到

这个问题难就难在沙粒的速度v是个角度θ的函数,导致摩擦力既与角度有关,又与速度有关,必须用微分方程求解．

沙粒圆周运动的弹力FN满足圆周运动方程

根据动能定理可得,在角度为θ的时候,有

把FN=mg(sinθ-Θ)代入得

两边消去mgR得

部分积分得

对θ取微分,有

这是一阶线性微分方程,它的特解为

其中C为常数．

当θ=θ0时,v=0,也就是Θ(θ)=0．即

沙粒的速度

4 正确答案

设沙粒从直轨道开始运动的高度为h,从A到D的过程,根据动能定理,有

代入数据解得h=3.12 m,则起始高度应小于3.12 m．

很显然,这样的结果不是学生在考试时能够求解的．许多优秀学生只能发现问题,但无法得到正确的答案,白白浪费了考试时间,影响考试情绪,这是命题者的失误．