微分中值问题中辅助函数构造的再探讨

龙志文

【摘要】微分中值定理是微分学中的重要定理，也是各类考试所青睐的内容之一.借助微分中值定理解决相关问题的关键在于构造合适的辅助函数.本文利用常微分方程相关理论，给出了微分中值问题中辅助函数构造的一个新方法，分两种情形进行了讨论，并给出了相应的实例说明其应用.该方法具有思路比较简单、应用范围较广的特点.

【关键词】辅助函数;通解;特解;罗尔中值定理

微分中值定理是微分学中的基本定理，是连接函数及其导数的一座桥梁，其应用是各类考试的常考内容.应用微分中值定理的关键是构造相应的辅助函数，而辅助函数的构造往往具有较强的技巧性，并非易事.文献[1]介绍了分析法、尝试法、待定系数法、几何法、积分法等五种常用的辅助函数构造方法，这些构造方法使用灵活，有较高的技巧性，且使用范围不是特别广泛.本文利用常微分方程相关理论，给出了辅助函数构造的一个新方法，尽管其操作起来可能不是十分简单，但思路却相对比较简单，且应用较广.现通过具体的例子介绍如下.

一、题设中含有边界条件等条件的情形

例1 设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）上可导，f（0）=f（1）=0，f12=1.

求证：ξ∈（0，1），使得f′（ξ）=1.

分析 先把f′（ξ）=1转换为f′（x）=1，然后求解该微分方程，易得其通解为f（x）=x+c（其中c为任意常数），易检验其通解不满足全部的边界等条件，但易知取特解f1（x）=x满足f（0）=0，为此我们可以构造辅函数g（x）=f（x）-f1（x）=f（x）-x，且只需找到区间[x1，x2][0，1]，使得g（x1）=g（x2），然后应用罗尔中值定理即可.

证明 令g（x）=f（x）-x，则

g（0）=f（0）-0=0，

g12=f12-12=1-12=12>0，

g（1）=f（1）-1=0-1=-1<0.

易得η∈12，1，使得g（η）=0.从而有g（0）=g（η）=0.

又易知g（x）在12，1[0，1]上连续，在12，1上可导，在12，1上应用罗尔中值定理，则

ξ∈12，1，使得g′（ξ）=0，即有f′（ξ）=1.

例2 设f（x）在[0，1]上二阶可导，且f（0）=f（1），f′（1）=1.

求证：ξ∈（0，1），使得f″（ξ）=2.

分析 先把f″（ξ）=2转换为f″（x）=2，然后求解该微分方程，易得其通解为f（x）=x2+c1x+c2（其中c1，c2为任意常数），易检验其特解f1（x）=x2-x满足f（0）=f（1），f′（1）=1，为此我们可以构造辅函数g（x）=f（x）-f1（x）=f（x）-x2+x，且只需找到区间[x1，x2][0，1]，使得g′（x1）=g′（x2），然后应用罗尔中值定理即可.

证明 令g（x）=f（x）-x2+x，则

g（0）=f（0）-0=f（0），g（1）=f（1）-12+1=f（1），

g′（1）=f′（1）-2+1=0.

由f（0）=f（1）知g（0）=g（1），又易知g（x）在[0，1]上二阶可导，故η∈（0，1），使得g′（η）=0，再结合g′（1）=0，进而有：ξ∈（0，1），使得g″（ξ）=0，从而有f″（ξ）=2.

例3 设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，且f（a）=0（a>0），求证：ξ∈（a，b），使得f（ξ）=b-ξaf′（ξ）.

分析 先把f（ξ）=b-ξaf′（ξ）转换为f（x）=b-xaf′（x），然后求解该微分方程，易得其通解为f（x）=c（b-x）-a（其中c为任意常数），易检验不存在非零特解满足f（a）=0，由u（x）v（x）′=u′（x）v（x）-u（x）v′（x）v（x）2得到启发，选取一个简单的特解f1（x）=（b-x）-a（取c=1），我们可以考虑构造辅助函数g（x）=f（x）f1（x）=（b-x）af（x）.

证明 令g（x）=（b-x）af（x），则

g（a）=（b-a）af（a）=0，g（b）=（b-b）af（b）=0，

由题意，在[a，b]上对g（x）应用罗尔中值定理即可.

例4 设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，且f（a）=f（b）=0，求证：对λ∈R，ξ∈（a，b），使得f′（ξ）+λf（ξ）=0.

分析 先把f′（ξ）+λf（ξ）=0转换为f′（x）+λf（x）=0，然后求解该微分方程，易得其通解为f（x）=ce-λx（其中c为任意常数），易检验不存在非零特解满足f（a）=f（b）=0，由u（x）v（x）′=u′（x）v（x）-u（x）v′（x）v（x）2得到启发，选取一个简单的特解f1（x）=e-λx（取c=1），我们可以考虑构造辅助函数g（x）=f（x）f1（x）=eλxf（x）.

证明 令g（x）=eλxf（x），则

g（a）=eλaf（a）=0，g（b）=eλbf（b）=0.

由题意，在[a，b]上对g（x）应用罗尔中值定理可得：ξ∈（a，b），使得eλξf′（ξ）+λeλξf（ξ）=0，又eλξ≠0，进而有f′（ξ）+λf（ξ）=0.

注 对题设中含有边界條件等条件的情形，先把题目结论中的特殊点换成x后，再求解相应的微分方程.若存在其非零特解满足题设中相应的边界等条件，则可考虑构造辅助函数为原题设中函数减去该特解;若不存在其非零特解满足题设中相应的边界等条件，则可考虑构造辅助函数为原题设中函数与一简单特解（可取任意常数为1）的乘积.

二、题设中不含有边界条件等条件的情形

例5 设f（x）在[1，2]上连续，在（1，2）上可导，求证：ξ∈（1，2），使得f（2）-f（1）=12ξ2f′（ξ）.

分析 先把f（2）-f（1）=12ξ2f′（ξ）转换为f（2）-f（1）=12x2f′（x），然后求解该微分方程，易得其通解为f（x）=-2[f（2）-f（1）]x+c（其中c为任意常数），选取一个简单的特解f1（x）=-2[f（2）-f（1）]x（取c=0），我们可以考虑构造辅助函数g（x）=f（x）-f1（x）=f（x）+2[f（2）-f（1）]x.

证明 令g（x）=f（x）+2[f（2）-f（1）]x，则

g（1）=f（1）+2[f（2）-f（1）]1=2f（2）-f（1），

g（2）=f（2）+2[f（2）-f（1）]2=2f（2）-f（1），

由题意，在[1，2]上对g（x）应用罗尔中值定理即可.

例6 设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，且0

分析 先把2ξ[f（b）-f（a）]=（b2-a2）f′（ξ）转换为2x[f（b）-f（a）]=（b2-a2）f′（x），然后求解该微分方程，易得其通解为f（x）=f（b）-f（a）b2-a2x2+c（其中c为任意常数），选取一个简单的特解f1（x）=f（b）-f（a）b2-a2x2（取c=0），我们可以考虑构造辅助函数g（x）=f（x）-f1（x）=f（x）-f（b）-f（a）b2-a2x2.

证明 令g（x）=f（x）-f（b）-f（a）b2-a2x2，则

g（a）=f（a）-f（b）-f（a）b2-a2a2=f（a）b2-f（b）a2b2-a2，

g（b）=f（b）-f（b）-f（a）b2-a2b2=f（a）b2-f（b）a2b2-a2，

由題意，在[a，b]上对g（x）应用罗尔中值定理即可.

注 对题设中不含有边界条件等条件的情形，先把题目结论中的特殊点换成x后，然后求解相应的微分方程，考虑构造辅助函数为原题设中函数与一简单特解（可取任意常数为1或0等）的差，再考查端点等一些特殊点处的函数值，若它们的值相等，利用罗尔中值定理即可.

【参考文献】

[1]刘乐斌.数学分析的理论、方法与技巧[M].武汉：华中科技大学出版社，2005.

[2]王高雄.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006.