一维连续型随机变量函数的分布的教学方法探讨

郑言

【摘要】讨论和比较了两种一维连续型随机变量函数的分布的求法，并辅以实例重点介绍了其中的“直接法”.教学实践表明，这种方法可以显著地突出教学重点，提升教学效率.

【关键词】概率论;函数的分布;一维随机变量;连续型随机变量;教学方法

一、引 言

在概率论与数理统计的教学过程中，一维连续型随机变量函数的分布是一个重要的教学难点，这部分内容既需要学生融会贯通分布函数和密度函数的求法，也为他们将来学习多维随机变量函数的分布打下必要的基础.我们通过总结多年的课堂教学，认识到如果在教学过程中贯穿一个清晰的求解思路，是指导学生尽快掌握解题技巧的关键.遗憾的是，很多教材在这部分内容的撰写上，并没有体现一个统一的思路，所列出的几个例题往往会穿插使用不同的解题方法予以解决，而不同的方法之间既没有很好地比较也没有总结.导致学生在初学书本的时候感觉无所适从，没有经验的教师也会抓不到教学的重点，甚至会通盘“灌输”给学生.基于此，本文将讨论和比较其中的两种主要方法，并将“直接法”配以实例予以重点介绍.

二、方 法

问题的一般形式：设X为连续型随机变量，其概率密度为f（x），给定某个函数g（x）使得Y=g（X）为连续型随机变量，那么如何求Y的概率密度？

对此类问题，很多书上都会介绍两个定理，并辅以例题“套公式”训练，兹列举如下：

定理1 设X为连续型随机变量，其概率密度为f（x），而y=g（x）严格单调有反函数，且反函数x=g-1（y）h（y）有连续导函数，则Y=g（X）是连续型随机变量，其概率密度为

fY（y）=f[h（y）]|h′（y）|，h（y）有意义，0，h（y）无意义.

定理2 设X为连续型随机变量，其概率密度为f（x），而y=g（x）在互不相交的区间I1，I2，…上逐段严格单调，其反函数分别为h1（y），h2（y），…，而且h′1（y），h′2（y），…均为连续函数，则Y=g（X）是连续型随机变量，其概率密度为

fY（y）=∑if[hi（y）]|h′i（y）|.

这两个定理虽然一目了然，但是实际上难学难记且难用.难记就不必说了，难学体现在这两个定理的证明过程对初学者颇有难度，一般在课堂上至多只能讲授定理1而放过定理2，难用是最让人头疼的，对定理1要小心地确定fY（y）的分段定义区间，对定理2要小心地合并不同的f[hi（y）]|h′i（y）|项，稍有遗漏就会导致结果出错.

其实，在笔者看来，除非是面对数学专业的学生，否则这两个定理没有深入学习的必要，或者说，理工类的一般学生对此只是泛泛了解即可.因为我们有更简单实用的方法——“直接法”.此方法分为三步：

1.利用分布函数的定义，将FY（y）P（Y≤y）用X的分布函数F（x）表示;

2.两边求导，将Y的密度函数fY（y）用f（x）表示;

3.代入f（x）.

这个解题程序也适用于证明定理1和定理2.在实际的求解过程中，直接法最好辅以一种简单的解题技巧——“移花接木”，即应用以下的简单事实：

引理 设（Ω，F，P）为概率空间，A，B∈F.如果P（A）=1，则P（B）=P（A∩B）.

下面，我们以一道典型题目为例介绍直接法的具体实施过程.

问题 设随机变量X的密度函数f（x）=2xπ2，0

因为g（x）=sinx，所以这道题目可以用定理2来求解.但是由于f（x）是一个间断函数，而sinx又是一个周期函数，所以f[hi（y）]|h′i（y）|项并不易求，容易漏求或者多求，导致最终归并得到的fY（y）有误.相比之下，直接法显得既简单又有条理.

解 第一步，FY（y）P（Y≤y）=P（sinX≤y），则

FY（y）=0，y≤0，1，y≥1.

因此，只需考虑0

FY（y）=P（sinX≤y）=P（sinX≤y，0

=P（0

=F（arcsiny）-F（0）+F（π）-F（π-arcsiny）.

至此，第一步完成，我们转入第二步，两边求导得

fY（y）=f（arcsiny）11-y2+f（π-arcsiny）11-y2.

最后一步是代入f（x）.这里需要注意的是，如果f（x）是定义在整个数轴上，那么将其表达式直接代入即可;如果f（x）是分段定义的，我们需要考虑此时f（·）内的式子的容许范围，以确定y的有效定义域.对本题目，由于0

fY（y）=2arcsinyπ211-y2+2（π-arcsiny）π211-y2=2π1-y2.

总结以上结果，我们有

fY（y）=2π1-y2，0

三、结束语

如果将上面的分析过程略去，此题的解算过程将十分简洁.感兴趣的读者也可以将此题用其他方法计算并比较，可以看出直接法具备好学又好用的特点.在最近几年的教学实践中，我们的处理方式是重点讲授直接法，而对围绕定理1和定理2的套公式方法一带而过，其他方法不予介绍.事实证明，学生在明确了教学重点后，教学效率有了显著的提升.而且结合“移花接木”技巧的直接法，既对所有的类型题目游刃有余，也与后续学习形成了很好的关联.本文旨在推广这一方法，也希望广大师生积极探讨并完善一维连续型随机变量函数的分布的教学方法.

【参考文献】

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