基于变换光学的旋转黑洞模拟

周梦颖，陶思岑，杨福宝，陈焕阳

(厦门大学电子科学与技术学院，福建 厦门 361005)

在计算爱因斯坦引力场方程时，德国天文学家Schwarzschild求得一个真空解，这个真空解能够证明，当质量非常大的物体坍缩成一点(这一点被称为“奇点”)后，周围会产生奇妙的光学现象，即存在一个“视界”，当光线进入这个“视界”范围时无法逃逸[1].这种物质后来被美国物理学家Wheeler称作“黑洞”[2].与此同时，我们都知道利用变换光学可以控制光按任意的弯曲路径传播，那么能否将两者结合起来对黑洞周围光学现象进行模拟呢？

2009年，Narimanov等[3]基于在超构材料中的光传播设计出一个中心对称的折射率分布来模拟光学黑洞；同年张翔教授团队[4]利用特殊折射率分布，对行星动力学进行了模拟；2010年，崔铁军教授团队[5]用超构材料实现了一个全方位电磁吸收体，该吸收体可以捕获和吸收来自所有方向的电磁波，而不会产生反射，并在微波段实现了电磁黑洞.同年陈焕阳等[6]，通过已知的度规对应求解相应电磁参数，从数值上利用所求得的超构材料模拟了Schwarzschild黑洞周围的光线行为；2013年，南京大学的祝世宁院士和刘辉教授课题组[7]将50 nm的银膜沉积在二氧化硅衬底上，用聚焦离子束在银膜上钻周期为310 nm的光栅，再将直径32 μm的微球体组成的粉末加入聚甲基丙烯酸甲酯(PMMA)抗蚀剂与荧光成像混合物中，微球体使PMMA层厚度变换从而导致了一个梯度折射率波导，从而来模拟引力透镜捕获光线，实现了对大质量星体附近光线行为的模拟.在上述工作中，大部分均为模拟没有旋转效果的黑洞.2017年，来自巴西的Pires等[8]将旋转器件包裹在一个吸收体外，对旋转黑洞进行仿真模拟，然而光线在进入旋转器件后仍然能回到原来的介质中，即如果用旋转器件模拟黑洞，光线在进入黑洞模拟器件后仍可逃逸，这与已知的黑洞性质有区别，所以在模拟旋转黑洞方面，还需引入其他参数使光线无法逃逸.

本文中将Narimanov等[3]提出的折射率分布和已知参数的旋转器件结合起来构成一个新型的旋转器件，使光线进入该新型旋转器件之后进行旋转并无法逃逸.同时将吸收体内置在新型旋转器件中，共同形成一个旋转吸收的效果，以此来模拟一个旋转黑洞周围的光学现象.

1 新型旋转器件的设计

如图1所示，将使光线无法逃逸的折射率分布和使光线旋转的器件结合起来构成新型旋转器件.

图1 新型旋转器件的概念设计图Fig.1 Conceptual design of the newly rotation device

Narimarov等模拟黑洞时设计的中心对称的折射率分布为[3]

(1)

其中,n为折射率，C为常数,r为径向距离.这样的折射率分布使得在虚拟空间中沿直线行走的光线在物理空间向圆心部分弯曲前进而不能逃出圆的区域.

对于旋转器件，介电常数和磁导率应满足表达式[9]

(2)

μzz=1.

将两者结合可以得到新型旋转器件的参数：

(3)

μzz=1.

接下来将式(3)代入到旋转黑洞中进行数值模拟.

2 旋转黑洞模拟器件

旋转黑洞模拟器件的模型如图2所示，用上节设计的新型旋转器件包裹一个吸收体，达到一个光线被旋转吸收的效果，以此实现对旋转黑洞的模拟.

为了边界的连续性，对于上节求得的新型模拟器件的电磁参数，将其中的常数C取为R2(如图2所示)，就得到本案例所需参数.

图2 旋转黑洞模拟器件的示意图Fig.2 Schematic diagram of rotation black hole analogue device

本文中，取定R1(见图2)与a相同，数值为2 m，R2与b相同，数值为4 m，同时选取角度θ0为π/2.内部吸收体的参数设置为：

ε=4(1-i)，

μ=1.

其中i为虚数单位.由所选参数可确定模拟黑洞的线元为：

(4)

接下来对基于变换光学原理设计的旋转黑洞模拟器件进行数值仿真模拟，将上述电磁参数代入数值仿真软件COMSOL Multiphysics进行仿真.为了能够更为清楚地评估设计出的旋转黑洞模拟器件的性能，使用高斯波作为入射源，在不同位置分别打在模拟器件上，并与单一的旋转器件模拟的黑洞和单一折射率分布模拟的黑洞进行对比，采用TM模式，得到磁场强度仿真结果如图3所示.可以看到，图3(a)中，单一旋转器件模拟黑洞除了在正入射的情况之外都无法锁住光线，光线都会发生逃逸，而图3(b)中，单一折射率分布能够成功捕获光线，却无法使其进行大幅度旋转，图3(c)中，将两者结合起来的旋转黑洞模拟器件能够在捕获光线的同时使光线旋转，基本满足了对旋转黑洞进行模拟这一设计要求.

图3 不同位置发射的高斯波打入3组模拟器件的波动结果Fig.3 Wave results of 3 sets of devices with Gaussian beam originate from different positions

本文中除了在波动光学中模拟了旋转黑洞的性质，还在几何光学中进行验证，通过对光线轨迹的描绘，进一步直观地展现了旋转黑洞的效果.

在各向异性介质中，度规与介质材料具有如下关系式[10]：

(5)

由式(3)可以得到

(6)

其中εzz=1.将式(6)代入式(5)可以得到度规表达式：

(7)

为了追踪光线的路径，应用哈密顿光学作为理论基础，得到哈密顿方程

(8)

其中，xi代表光线行径的坐标x或y，ki代表光线的前进方向kx或ky,ω为角频率.

在各向异性的材料中，色散关系可表示为

(9)

这里及后续公式均采用爱因斯坦求和约定.根据式(8)，分别求ω对xi和ki的偏微分，得到

(10)

结合度规表达式(7)，将式(10)代入科学计算软件Mathematica中，在给定初始方向的条件下，即可绘出所求的光线轨迹图.

如图4所示，将光源发射位置设置为与高斯波相同的发射位置，可以得到与之一致的结果.

图4 不同位置发射的光线打入3组模拟器件的光线追踪结果Fig.4 Ray tracing results of 3 sets of devices with light transmitted from different positions

从光线图中，能够更直接地看出规律.图4(c)中旋转黑洞结合了图4(a)和(b)的优势，实现了光线既旋转又被吸收的现象，说明本设计具有更接近真实黑洞的效果.

3 总结与展望

本研究主要立足于变换光学与天文学的交叉，设计了一个基于变换光学的旋转黑洞模拟器件.主要是将折射率分布n=c/r和旋转器件结合起来，计算出了新型旋转器件所需要的电磁参数;再将其包裹住一个吸收体，把所得的参数代入数值模拟软件COMSOL Multiphysics中进行模拟;同时，利用Mathematica对光线轨迹进行追踪，从几何的角度充分直观地展现了光在黑洞周围的运行轨迹.从模拟结果中可以发现，将新型旋转器件和吸收体结合起来的结构能够大体上模拟一个旋转黑洞的工作行为，达到让光线旋转进入并吸收的效果.但是本研究并不是针对具体的黑洞来设计参数，在过程中也产生了一些近似，整个模拟效果和真实黑洞相比还是有一定的差别，且本文中得到的各向异性参数过于复杂，想要实现十分困难.

所以在未来的研究中，首先可以考虑如何在实验上实现复杂的电磁参数，并且本文中目前使用的坐标变换都是空间的坐标变换，而在天文学领域里通常还要加上时间这一变量，如果在计算中做一些时空变换，也许会得到更有趣的结果.