退化的C型量子群Uq(sp2l,2m)

陈学鑫 成 锦

( 山东师范大学数学与统计学院，250358，济南 )

1 引 言

量子群[1-4]是近年来新兴的数学分支,是在研究量子力学中的量子可积系统时提出来的.其表示理论可以产生Yang-Baxter方程的解，进而来构造扭结不变量.量子群理论在许多数学领域和数学物理领域都有广泛的应用[5-8]，例如：可积模型，共形场论，低维拓扑[9,10]和表示理论[11]等.我们在本文中提出了量子群Uq(sp2n)的退化形式Uq(sp2l,2m)，研究了它的Hopf代数结构和元素间的交换关系.

2 退化量子群Uq(sp2l,2m)的定义

任意给定一组正整数m,n，其中n>m+1，令l=n-m.设集合I={1,2,…,n}，且令p=-q-1，当a≤m时，令qa=q；当m

(1)

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eaeb=ebea，fafb=fbfa，若|a-b|>1,

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(10)

emEm-1,m+2-Em-1,m+2em=0 ,

(11)

fmEm+2,m-1-Em+2,m-1fm=0,

(12)

其中Em-1,m+2和Em+2,m-1是由以下关系来定义的：

Em+2,m-1:=fm+1Em+1,m-1-qm+1Em+1,m-1fm+1,

Em+1,m-1:=fmfm-1-qmfm-1fm.

3 Uq(sp2l,2m)的Hopf代数结构与元素间的交换关系

Δ(ea)=ea⊗ka+1⊗ea,Δ(fa)=fa⊗1+ka-1⊗fa,Δ(kb)=kb⊗kb;

令

Q+:=emEm-1,m+2-Em-1,m+2em，Q-:=fmEm+2,m-1-Em+2,m-1fm，

fbQ+-Q+fb=0，ebQ--Q-eb=0， ∀b∈I,

(13)

(14)

(15)

为了更进一步的分析Uq(sp2l,2m)的结构，我们用惯用的记法来表示x-交换

[A,B]x=AB-xBA，

对于∀A,B∈Uq(sp2l,2m)和x∈C(q).显然这也包含了李代数中[A,B]=[A,B]1的情况.

给出量子伴随表示的定义：

ad:Uq(sp2l,2m)⊗Uq(sp2l,2m)→Uq(sp2l,2m)，

(16)

x⊗yadx(y):=∑(x)x(1)yS(x(2)).

现在对于任意的1≤i

Eji=Ej,j-1Ej-1,i-qj-1Ej-1,iEj,j-1，对于j>i+1.

基于当|a-b|>1时，fa与fb可交换的事实，有

Eji=EjkEki-qkEkiEjk=[Ejk,Eki]qk，其中j>k>i+1,

进一步观察到：

[fi,fi-1]qi=fifi-1-qifi-1fi=-qiadfi-1(fi),

通过定义中的Serre关系，可得到任意两元素之间的交换关系[13].

引入一个自同态ω：

根据定义1，显然可以得到定理1.

定理1F(θ)K(η)E(θ)是代数Uq(sp2l,2m)的一组生成元.

4 结 语

通过对退化量子群Uq(sp2l,2m)的研究，我们得到了其较好的代数性质，这为以后量子超群的研究提供了新的思路.接下来的工作是继续研究在特殊点(比如在长根处)退化的情况，进一步搞清退化版本与相应的量子超群间的区别与联系.另外将C型退化量子群的定义推广到B型和D型中，我们可以进行更深入的研究.