从艺术到数学

王菲菲　王芳

【题记】对称是一种思想，人们毕生追求，并创造次序、美丽和完善。

——赫尔曼·外尔

在自然科学和数学中，对称意味着某种变换下的不变性，即“组元的构形在其自同构变换群作用下所具有的不变性”，通常的形式有镜像对称（或者叫左右对称、侧对称）、平移对称、转动对称和伸缩对称等。

人们在创作艺术作品时通常会从对称角度考虑。对称性蕴含在许多事例中，它从简单到复杂的表现形式，是大自然形式的基础。初步掌握对称的奥妙，不仅可以帮助我们发现一些图形的本质特征，还可以使我们感受到自然界的和谐之美。赫尔曼·外尔在《对称》一书中，从艺术品中的对称性出发，介绍了双侧对称性、平移对称性、旋转对称性、装饰对称性、晶体对称性等几何概念，逐步深入，最后上升到作为所有这些特殊形式基础的普遍的抽象数学思想。

不过，有的人却认为重复的图案会显得单调无趣。英国数学家罗杰·彭罗斯是一位大胆而充满豪情的学者，他对单一的图形和重复不那么感兴趣，而对无穷的变化兴趣盎然。他想要的是能以永不重复的方式铺满无穷平面，也就是说用若干图形拼合在一起，永远不会出现重复的图案。

彭罗斯贴砖最有名的一套称为“风筝”与“飞镖”（图1）。两者都能干净利落地由对称轴一分为二，它们的表面绘有兩条简单、对称的弧线。彭罗斯制定了一条平铺规则：“合法”的拼贴必须能使弧线对接，连成连续的曲线。在这条规则之下，图案永远都不会出现重复。风筝和飞镖，永恒地舞动在五条对称轴周围，组合出满天星、十边形，蜿蜒的长线则绘成蝴蝶与花朵的形状。形态似是而非，蕴藏无穷变化。这样利用对称图形构造出来的图案向人们展示了不同寻常的和谐美。

（作者单位：江苏省海安市城南实验中学）