一道模拟题的解法研究与思考

文/深圳市光明新区高级中学

本文以2017年深圳市一道模拟题为例，探讨了极坐标与参数方程选做题的多种解法.并对各种方法在本题中的优缺点、学生的易错点进行深入思考，还探讨了此类问题的一般性结论.

一、问题再现

深圳市2017年高三年级第一次调研考试，选做题第22题：

(Ⅰ)求曲线E的极坐标方程；

(Ⅰ)写出曲线E的普通方程和极坐标方程；

文理第一问数据略有差异，但第二问考察的数学问题却一模一样，所以这里仅以理科题为例，对该题的求解进行分析.

二、分析求解

第一问的求解主要考察了参数方程与普通方程的互化，以及直角坐标方程与极坐标方程的互化.属于基础知识，学生一般都能很好地完成.因此本题主要讨论第二问的解法.

解法一：极坐标求解.

解法二：普通直角坐标求解(解略).

解法三：参数方程求解(解略).

三、教学思考

1.几种方法的比较

因为在第一问的求解过程中，参数方程、普通直角坐标方程以及极坐标方程都有出现，因此不少学生不知道该选用哪一种来解决第二问.通过上述解法的探讨，我们也发现确实每种方法都能够求出答案，所以是不是考试时每种方法都鼓励学生使用呢？考试时间毕竟有限，只有选择合适的方法能才能避免大量复杂的计算，节约时间，提高效率.因此我们需要对方法进行取舍.

解法一是利用极坐标进行求解，参考答案中给出的正是这种求解方法.我们不难发现这正是出题人想要考察的方法，所以才会在第一问中设求曲线E的极坐标方程，以方便在第二问进行使用.这种方法的优点是可以直接用极径代替|OA|,|OB|的长，使得所求式的表示非常简洁.同时，由于垂直的关系，还可以得到A、B两点极角间的关系，利用诱导公式，进行转化.通过上述解答，我们也发现这种方法计算量最小，解答最简便，因此本题最好采用此种方法.

2.本题解法中的一些易错点

在此可以作一个简单的证明：

如图1，以O为圆心，分别以椭圆长半轴长a与短半轴长b为半径作两个圆(a>0，b>0)，过O作一条射线分别交圆于M，N两点，过M作MM1⊥Ox，垂足为M1设，过N作NA⊥MM1设为，垂足为A，设A点坐标为(x,y)，点M横坐标为xM，点N纵坐标为yN.其中以Ox为始边，OM为终边的角为α.

图1

图2

由三角函数定义，可知x=xM=OMcosα=acosα，

y=yN=ONsinα=bsinα．

3.本题的一般性结论

可用上述解法一快速给出证明：