分析法和综合法

高慧明

北京市中学数学特级教师，现任教于北京市第十二中学;教育部课程改革“全国先进工作者”，教育部“国培计划”全国中小学教师培训、班主任培训、校长培训特邀主讲专家，受邀为教育部“国培计划”做有关数学课堂教学、班级管理、教师专业成长等专题报告多场;在《教育研究》《中国教育学刊》《数学教育学报》《数学通报》等学术期刊上发表论文500余篇，其中100余篇被中国人民大学复印报刊资料《中学数学教与学》《中小学教育》全文转载;已出版个人专著《高中数学思想方法及应用》《高考数学命题规律与教学策略》《让高中生学会学习》《高慧明数学教学实践与研究》（丛书）等多部，应邀主编、参编教材和教学著作30余部。

分析与综合都是思维的基本方法，无论是研究和解决一般问题，还是数学问题，分析和综合都是最基本的具有逻辑性的方法。分析与综合是两种思想方法，但因二者具有十分密切的联系，以下把二者结合起来阐述。

分析是把研究对象的整体分解为若干部分、方面和因素，分别加以考察，找出各自的本质属性及彼此之间联系的思维过程。综合是把研究对象的各个部分、方面和因素的认识结合起来，形成一个整体性认识的思维过程。分析是综合的基础;综合是分析的整合，是与分析相反的思维过程。在研究数学概念和性质时，往往先把研究对象分解成几个部分、方面和要素进行考察，再进行整合，从整体上认识研究对象，形成理性认识。

所谓综合法，是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的方法。初中的平面几何题大多是用综合法加以证明的。综合法的基本特点是由因导果，可用框图表示为：

证明数学命题时还经常从要证的结论Q出发反推回去，寻求保证Q成立的充分条件[p1];为了证明[p1]成立，再去寻找[p1]成立的充分条件[p2];为了证明[p2]成立，再去寻求[p2]成立的充分条件[p3]。如此循环，直至找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

所谓分析法，指从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直到把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。分析法的基本特点有两个，一个是逆推证法，另一个叫执果索因，其框图表示为：

成立的条件]   分析法和综合法的教学，历来都受到重视。大纲时代的小学数学教育比较重视逻辑思维能力的培养，在教学过程中重视培养学生的分析、综合、抽象、概括、判断和推理能力，其中培养学生分析和综合的能力、推理能力是很重要的方面。如：解答应用题时重视分析法和综合法的运用，也就是说可以先从应用题的问题出发，找出解决问题需要的条件中哪些是已知的，哪些是未知的，未知的条件又需要什么条件解决。这样分析了数量关系和解题思路后，再利用综合法根据已知条件列式解答。再如学习概率统计时，需要先整理和描述各种统计数据，并进行分析和综合，然后做出合理地判断和预测。新课标虽然没有明确提出逻辑思维能力的培养，但在推理能力方面仍然提出了“能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据;在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑”的要求。其中就包含了对学生逻辑思维、分析和综合能力的要求。分析能力不仅是逻辑思维能力的重要方面之一，也是其他思维能力的基础。分析法和综合法是培养学生分析问题、解决问题和推理等能力的重要思想方法，所以分析法和综合法在课标时代仍然是培养逻辑思维能力和解决问题能力的重要思想方法。

以小学数学教学为例。首先，在四大领域的内容中，无论是低年级的数和计算、图形的认识，还是中高年级的方程和比例、统计与概率，分析法和综合法都有较多应用。如：数的计算法则的学习就是一个先分析再综合概括的过程，即先引导学生一步一步地学习法则的不同方面，再综合概括成一个完整的法则。其次，贯穿于整个数学学习过程中的问题解决、判断和推理证明等方面，分析法和综合法也无所不在。如：判断某个概念或者性质时，必须先进行分析，然后才能做出判断。

分析能力和综合能力作为培养逻辑思维能力和解决问题能力的重要方面，在教学中应注意以下两点。

第一，在学习一般的数学概念和性质时，注重分析能力和综合能力的培养。中小学数学的很多知识，学生往往经历先分析再综合的过程，即先认识局部特征，再从整体上认识或者形成抽象概念。如：图形的认识，在第一学段，学生通过操作、观察，初步感知图形的一些特征，第二学段则可以从整体上认识或者抽象成概念。教师从低年级开始就应注重分析能力的培养，为后续的学习打下较好的基础。

第二，在解决问题时注重分析法和综合法的结合运用。简单的问题，往往直接应用综合法便可解决;复杂的问题，往往需要把分析法和综合法结合起来。例如：一件衬衫的标价是150元，現在因换季按标价打八折的优惠价格出售，还能在进价的基础上获利20%。这款衬衫的进价是多少？解答这道题，首先要进行分析：要想求进价是多少钱，需要知道进价加上获利的20%一共是多少钱，进价加上获利的20%等于优惠价，优惠价等于标价的80%。然后，根据分析法找出的数量关系和解题思路，用综合法列式如下：（1）进价加获利20%一共的钱数是150×80%=120（元）;（2）这款衬衫的进价是：120÷（1+20%）=100（元）;（3）列成综合算式是：150×80%÷（1+20%）=100（元）。

再比如：设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a³+b³>a²b+ab²。证明这个问题，首先要用分析法理清思路。即：要证明 a³+b³>a²b+ab²成立，只需要证明（a+b）a²-ab+b²）>ab（a+b）成立，即需要证明a²-ab+b²>ab成立，因为a+b>0;而要证明a²-ab+b²>ab成立，只需要证明a²-2ab+b²>0成立，即需要证明（a-b）²>0成立;由已知可得，a≠b，有a-b≠0，所以（a-b）2>0显然成立，由此命题得证。这个分析的过程，如果用综合法思路来表示，即：因为a≠b，所以a-b≠0，所以（a-b）2>0，即a²-2ab+b²>0，亦即a²-ab+b²>ab;由题设条件可知，a+b>0，所以（a+b）（a²-ab+b²）>ab（a+b），即a³+b³>a²b+ab²，由此命题得证。

下期内容预告：数学思想方法系列讲座（10）

责任编辑  姜楚华