全概率公式的课堂教学设计

陈洁

全概率公式是概率论的重要公式之一，也是教学中的重点与难点。本节课由实例出发，利用启发式的方法对全概率公式进行研究，最后通过例题讲解加以巩固。

1 引言

全概率公式应用广泛，是概率论中一个非常重要的公式。它是加法公式和乘法公式的综合运用，也是贝叶斯公式学习的基础。将由一个简单实例引入样本空间的划分，进而引出全概率公式，加以解释，并通过典型实例来介绍全概率公式的应用技巧。

2 课堂设计

2.1 引例

科学研究表明，遗传对智力是有很大影响的，根据医学统计，生男孩和生女孩的可能性各为50%，而智力遗传因素都来自X染色体。现在问在孩子智力遗传因素中，来自母亲的可能性有多大？

在考虑孩子智力时，父亲和母亲都有影响，但仅仅从染色体方面来考虑，谁的影响更大呢？这是我们要考虑的问题。

2.2 展开研讨

通过这个有趣的例子，引起学生的兴趣，展开研讨。在此过程中，由教师引导，学生自主讨论，来引出样本空间的划分。

设B={智力因素来自母亲}，A₁={生的是女孩}，A₂={生的是男孩}。事件B发生，有两种情况，或者生的是女孩（事件A₁）或者生的是男孩（事件A₂），当B发生是当且仅当发生，即.通過这个式子，启发学生将样本空间划分为A₁和A₂，从而复杂事件B划分为互不相容的事件的并集，再进一步利用加法公式和乘法公式，抽象出全概率公式。

因此在孩子智力遗传因素中，来自母亲的可能性是0.75.也就是说母亲相比父亲，在智力遗传的影响中，母亲的影响大多了。

2.3 公式的理解

通过一个生活中的实例，引出全概率公式：

其中是样本空间的一个划分，满足，并且是互不相容的。

公式的证明中，有两个主要的运算过程：

一个是加法公式

一个是乘法公式

公式应用中，核心是样本空间的划分，划分中有两个要点，互不相容和不能遗漏。也就是使用全概率公式，必须找到样本空间的一个分割，而这些事件可以理解为事件B产生的n个原因，将产生B的每一个原因都找出来，这就是“全”的含义，即A_i是B产生的各个原因，公式可以看成是“知因求果”。

2.4 联系实际，给出例题

为了加强加强公式的实用性，给出与实际生活相关的例子，摒除了传统教学中枯燥的教学方式。

例1. 某人去外地开会，乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别是0.3， 0.2， 0.1， 0.4，迟到的概率分别是0.25， 0.3， 0.1， 0，求他迟到的概率。

拿到例题之后，不要急着套公式，而是先分析，事件“开会迟到”所有可能的原因是乘坐的交通工具为火车、轮船、汽车、飞机，构成了样本空间的一个分割，可直接应用全概率公式。也就是在这个例子中，我们先从导致结果发生的若干个原因入手划分。

解：令B={开会迟到}，A₁={乘火车去}，A₂={乘轮船去}，A₃={乘汽车去}，A₄={乘飞机去}，A_1，A_2，A_3，A₄是样本空间的一个划分。

由全概率公式，

例2.甲乙两文具盒内分别装有二枝蓝色笔和三枝黑色笔，丙从甲文具盒中任取二枝放入乙文具盒内，然后从乙文具盒中任取两枝笔，求最后取出的二枝笔都是黑色笔的概率。

在实际教学中，可引导学生进行分析，所求概率的事件与前一次实验的结果有关，可以将前一次实验的可能结果作为样本空间的一个分割。第一次取出两枝笔，有三种结果：2枝蓝色笔，1枝蓝色笔1枝黑色笔，2枝黑色笔。第一次实验的结果构成互不相容的事件，所有可能结果作为Ω的一个分割。

解：令B={最后取出的2枝笔都是黑色笔}，A_i={从甲文具盒放入乙文具盒的黑色笔数为i} （i=0，1，2）， A₀，A₁，A₂构成样本空间的一个分割。

2.5 知识小结

在课堂的末尾，根据本节讲授内容，让学生做一个知识小结：要求复杂事件的概率，先寻找样本空间的一个分割。样本空间的划分一般有两种情形，如例1中，导致结果的各个原因构成样本空间的一个分割，如例2中，实验分2个阶段进行，第一阶段中的所有可能结果构成样本空间的一个分割。

3 结语

在本节课的教学中，以一个实际生活例子引入全概率公式，引起了学生的兴趣，也让学生了解到全概率公式是为解决复杂事件的概率产生的。在后面的两个例子中，引导学生讨论如何找到样本空间的一个分割，加深学生对全概率公式的理解。以学生为主体，通过启发性的教学方式，逐步培养学生独立思考和解决问题的能力。

（作者单位：湖北工业大学）