面向实例的概率论教学方法的探索与设计

李琳

摘要：在概率论知识的教学中，学生很难深刻理解概念的内涵和外延，难以建立起利用概率解决问题的思维模式。本文将生活中的几个应用问题渗透于教学过程之中，提高学生对概率教学中抽象概念的理解和能力，同时利用Python代码进行编程模拟验证，加强学生对概率的直觉认识，帮助利用概率统计知识解决实际问题的能力，取得良好的教学效果。

关键词：概率;Python;教学改革

中图分类号：G642 文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2019）27-0135-02

现实世界中许多问题充满混沌和不确定性，如天气情况、疾病的发生、生产线上产品合格率等等，这些问题中存在着一些不确定性因素的干扰，我们无法获得精确的结果。概率论是研究随机现象规律的科学，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，学习概率论基本知识可以帮助我们以科学的态度评价身边的一些随机现象。

1概率和频率及其实例

随机事件的概率是其发生可能性大小的度量，我们用概率来衡量各种随机事件发生的可能性。一方面，事件发生的可能性是可以量化的，如人们常说的，明天下雨的可能性为80%，某队夺冠的可能性有50%等等，另一方面，它又不像一些有形的事物，可以直接测量，因此又是难以量化的。在实际问题中，究竟如何确定随机事件发生的可能性？

最常见的度量方法是利用频率来度量概率大小。对于一类能在相同条件下多次重复的随机试验，一个随机事件A发生概率的大小，可以粗略地通过一系列的重复试验中A发生频率来估量，当试验的重复次数很大时，A发生的频率往往会呈现出一种稳定的状态，这时，随机事件A发生的概率，可以用该事件发生的频率代替。即用多次重复试验的样本去无限接近概率真实值。下面通过两个实例来加深对概率的认识。

实例1.在生活中每个人偶尔会遇到与自己同一天生日的人，但这种缘分似乎并不经常遇到。猜猜在50个人当中出现这种缘分的概率有多大？

解：概率的定义告诉我们：一个随机事件A发生概率的大小，可以用多次重复试验样本从而无限接近概率真实值。我们利用计算机来重复模拟事件发生1000次，Pvthon中的random模块用于生成随机数。函数randint（a，b）返回一个位于区间[a，b]内的整数。

结果：50个人中日相同的概率高达97%

50个人中日相同的概率高达97%，这恐怕超出了绝大多数人的意料，跟我们的直觉不一样，体现的是理性计算与日常经验的矛盾，该问题被称为生日悖论，但还算不上严格意义上的悖论。下面再看一个概率的悖论问题。

实例2.有一个抽奖节目，台上有三扇关闭的门，一扇门后面停着汽车，其余门后都是空的，只有主持人知道每扇门后面是什么。参赛者选中了其中一扇门，记做1号门。主持人会开启另外一扇门，记做3号门，门后是空的。然后他问你，“你是否想换成.2号门？”此时转换选择是明智的选择吗？

解：通常估算某事件发生的可能性一般用概率来表达。利用计算机来重复模拟事件发生106次，Pvthon中的random模块用于生成随机数。函数randint（a'b）返回一个位于区间[a，b]内的整数。

该问题的具体代码如下：

分析：通过模拟多次重复试验，“换一扇门中奖的概率”均在2/3附近。这个结论是有些反直觉的，一般直觉认为该问题相当于两扇门选一扇，应该是1/2。

当选择了一扇门的时候，选择的这扇门有车的概率是1/3，那么其他两扇门有车的概率是2/3。这时主持人会在后两扇门中打开一扇有山羊的门，那么此时的2/3的概率会收缩到最后一扇门上，所以在后一扇门上的出现汽车的概率为2/3，因此换门会提高获得汽车概率。

当然这一论据并不能说服所有人，很多人坚持认为：无论转不转换选择概率都是1/2。对这个问题人们有很多争论，很多情况下都是因这个问题的模糊表述所引起的，关键点在于主持人对于门后的情况是否知情。如果主持人事先知道山羊位置，并且特意选择了有山羊的门打开了，那么参赛者应该换另一扇门，这样可以将他胜利的概率从1/3升到2/3。如果主持人事先不知情，這时候参赛者没有换门的必要，胜利概率总是1/2。

2条件概率及其问题实例

一个随机事件发生的概率并非是一个绝对的概念，事实上，当另一个与其相关的随机事件发生后，该事件再发生的概率往往会随之改变。如对于某球队，赛前夺冠的概率是0.1，但如果已知该球队已经小组出线了，那么该球队夺冠的概率就会大大增加，这时的概率称为条件概率。

设A，B为随机事件，且P（A）>0，称P（B1A）=（P（AB））/（P（A））为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

实例3：考虑一个抛硬币的例子，一个盒子里装了三个硬币，这三个硬币抛出正面的概率分别为0.3，0.5，0.7。假设我们从盒子中随机取出一个硬币，抛出了49个正面，31个反面，那么抛哪个硬币的可能性比较大？并利用Python代码实现求解过程。

分析：首先建立问题的概率模型，抛80次硬币相当于做80重伯努利试验，以x记为抛出正面的次数，根据二项分布的概率公式，那么抛出正面的概率为：

从运行结果可知：当抛出49个正面时第3个硬币的可能性最大。

3结束语

概率论不仅包括一些基础理论知识，还能培养我们分析随机现象的能力，这种能力在大数据时代是一种必备的素质，通过上面几个实例，帮助大家体会概率在实践中的应用，培养和激发对概率论的兴趣和热爱。