运动物体经凸透镜所成实像的运动轨迹探讨

(1.安徽省太和县宫集镇中心学校，安徽 太和 236652；2.山东省阳谷县西湖中学，山东 阳谷 252311)

图1

例1：如图1所示，焦距为f的凸透镜竖直放置，现有一点光源S在凸透镜左侧，以凸透镜两倍焦距处为中心，在经过主轴的竖直平面内作顺时针方向运动，运动轨迹是边长为D的正方形，正方形的一组对边平行于主轴，且f

解析：我们结合凸透镜成像的特点，采用作图法分析一组对边平行于主轴的矩形物体经凸透镜所成实像的形状。

如图2所示，矩形ABCD的一组对边AB和CD均垂直于主轴，AB边在凸透镜的一倍焦距和二倍焦距之间，CD边在凸透镜的二倍焦距之外，所以，AB边经凸透镜所成的像是倒立放大的实像，即图2中的线段GE，CD边经凸透镜所成的像是倒立缩小的实像，即图2中的线段MN。而AD边平行于主轴，从AD边上任意一点发出的平行于主轴的光线都重合在一点，所以，AD边经凸透镜所成的实像一定在过凸透镜右侧焦点F的直线NG上，即AD的实像是线段NG，同理，BC边的实像是线段ME。这就是说，位于主光轴所在平面内的矩形发光体经凸透镜所成实像的形状不再是矩形，而是一个梯形。由图2可知，点光源S在其运动轨迹上由D点运动到A点时，其实像点由N点运动到G点，所以，满足例题1条件的点光源，经凸透镜所成实像的运动轨迹是选项D所示的情形。

图2

如果点光源运动的轨迹不是正方形，而是圆形，实像的运动轨迹又将是什么形状？

图3

例2：如图3所示，焦距为f的凸透镜竖直放置，现有一点光源S在凸透镜左侧以凸透镜两倍焦距处为圆心，在经过主轴的竖直平面内作顺时针圆周运动，轨迹直径为D，且f

初次见到这道题目的感觉是难度不大,比较新颖，跟上面的例题1相似但又有所不同，点光源的运动轨迹由直线变成了曲线。开始包括笔者在内的几位老师对点光源通过凸透镜所成实像运动轨迹的形状是这样分析的：将发光体的运动轨迹竖向分成左右两个半圆，显然，这两半圆圆弧虽然一样高，但除了最高点和最低点之外，两段半圆圆弧上等高的两点其物距不等，跟左侧半圆弧上某一定点的物距相比，右侧半圆弧上等高的对应点的物距较小，根据物体通过凸透镜所成实像一定是倒立的，根据“物近像远像变大”的成像特点，很容易判断该选择题的正确选项应该是D。

该题源自2008年上海市大同杯第22届初中物理竞赛(初赛)中的第24题，但原题给出的四个选项中图片跟上面例2给出的图形不一样，前两个是转动方向相反的圆形，后面两个是转动方向相反的椭圆。例2和原竞赛题目的四个选项对应的图形相比，只有一个圆形是相同的图形，如果在凸透镜左侧做圆周运动的点光源经凸透镜所成实像点的轨迹不是圆形的话，那么，例2和原竞赛题所给的4个选项中一定有一个题目给出的图出现了问题，究竟哪一题存在问题？我们不妨从实像点运动轨迹的解析式来进行分析。

实际上，如果我们对满足例2条件的点光源的运动轨迹圆形增添一个辅助图形——圆的内接正方形，使内接正方形的一组对边平行于凸透镜的主轴，如图5所示，并将该圆及其内接正方形作为整体进行分析，更容易看出实像与物体各部分的对应关系，从而理解在主轴平面内圆形物体通过凸透镜所成实像是椭圆的道理。

图5

从以上分析还可以看出，判断点光源经凸透镜所成实像点运动轨迹的形状，需要用到较多的高中数学知识，初中阶段还没有学习到涉及椭圆及其形状判断的内容，而单凭作图又无法体现满足这道竞赛题目条件的实像的形状，所以，这道选择题不适合初中学生，作为高中物理竞赛题倒是非常合适。