解压缩：将“学术数学”转化为“教育数学”

佟茂峰

【摘要】数学知识在教材中是以“压缩形态”存在的，这种形态遮蔽了知识诞生时的鲜活样态，遮蔽了人类探索知识时的关键步子。数学教学就是对数学知识进行“解压缩”，将“学术形态”的数学转化为“教育形态”的数学。教学中，教师要恢复数学知识的原始形态、史学形态和思考形态。只有将“学术形态”的数学转化为“教育形态”的数学，才能有效地发展学生的数学学习力，培育学生的数学核心素养。

【关键词】学术数学 教育数学 解压缩

从某种意义上说，数学教学就是对数学知识进行“解压缩”，将“学术形态”的数学转化为“教育形态”的数学。只有将“学术形态”的数学转化为“教育形态”的数学，学生才能真正理解知识、掌握知识、运用知识。解压缩，是将“学术形态”的数学转化为“教育形态”的数学的一个有效路径。

一、道而弗牵：恢复数学知识的“原始形态”

在数学教材中，数学知识是以一种简约化、压缩化的学术形态出现的。作为教师，要引导学生去认识数学知识诞生时的原始历程，去揭示数学知识背后的诞生背景，去领悟数学知识蕴含的思想方法，去触摸人类探索数学知识的关键步子，等等。这些最为原始的过程性、历史性、思想性的数学知识所包含的人文、思想、文化等元素，对学生的数学精神来说更具有教育意义，这就是数学知识的教育形态。

北师大版数学二年级上册《课桌有多长》一课，直接出示测量物体长度的工具——直尺，尽管学生习得了技能，如将物体的一端直接对准直尺的零刻度，读出另一端的读数等，但在这样的学术形态的数学面前，学生没有理解测量的本质。教学中，教师有必要引导学生恢复测量物体长度的原始形态，让学生经历“厘米尺”的发明、诞生过程。远古时代，人类没有任何测量工具，他们是怎样测量的呢？（出示一搾、一庹）引导学生进入活动一。活动中，不同的学生用自身的身体尺来进行测量，由于每个学生一搾、一庹的长度不一，因此导致同一件物体长度的测量结果不同。据此，学生就想到要统一测量单位。人类首先想到了用小棒来进行测量。在测量较短长度的物体时，人们用这样一根小棒（出示一厘米小棒，帮助学生建立厘米的表象）。引导学生进入活动二，学生在用一厘米小棒测量物体长度时发现，用一根一根小棒去测量物体长度比较麻烦，有学生想到应当用长一些的小棒来测量，有学生想到可以将这些小棒一根根串联起来，于是建构了这样的测量工具（厘米尺的雏形）。这样的活动，教师道而弗牵，学生却经历了数学知识创生时的原始形态，感悟到测量一个物体的长度，就是看这个物体长度里有多少个测量单位。当学生形成这样的学习感悟后，为学生学习面积测量、体积测量奠定了坚实的基础。

如何恢复数学知识诞生时鲜活的“原始形态”，一个重要的方法就是引导学生重走人类探索数学知识的关键步伐。只有经历了数学知识的诞生过程，才能真切地感受、体验到数学知识的本质。这个过程可能是缓慢的，但却是必需的。要知道，学生的数学学习是一种慢速度的精彩，在数学教学中欲速则不达。

二、精心设问：恢复数学知识的“历史形态”

著名数学史家克莱因深刻地指出：“历史是教学的指南。”将数学史融入数学教学中，变数学知识的学术形态为历史形态，有助于学生的数学理解。一般来说，数学教学对接数学史，有两种基本形态：其一为显性形态，即直接对接，比如：直接链接人类探索某一数学知识的数学史过程;其二为隐性形态，即间接对接，将人类探索知识的历史过程融入数学教学中。这样一种润物无声的教学，能让学生在不知不觉中感受、领略到数学知识的本质。

如教学《用字母表示数》（北师大版数学四年级下册）时，教师要帮助学生实现从具体、真实的数字向抽象的字母的认知转变。为此，教师要认真研读数学史，把握人类“代数思想”的发展历程，从而进行用字母表示数的设计，发展学生的符号化思想。我们知道，人类代数知识的发展大致经历了三个具体阶段，即文辞代数、缩写代数和符号代数。在学生身上，也会出现历史上人类认知提升曾经遭遇的障碍。首先，笔者出示“一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，乒乒乓乓跳下水”，学生纷纷仿说。说不完，能不能用一句话概括地说呢？于是，有学生就是简单地用字母代替文字，比如a只青蛙b张嘴，c只眼睛d条腿，乒乒乓乓跳下水。显然，这样简单地用字母代替文字的过程，就是人类代数发展史上的“文辞阶段”“缩写阶段”。为此，笔者这样启发学生：如何看出青蛙的只数与嘴的张数、眼睛的只数、腿的条数之间的关系呢？在学生思维出现障碍时，笔者这样启发学生：青蛙的眼睛的只数与青蛙的个数有怎样的关系？青蛙的腿的条数与青蛙的只数有怎样的关系？从而引领学生超越文辞代数、缩写代数，进入符号代数的层面。只有当学生认识到青蛙的只数与眼睛的只数、腿的条数之间的关系，并能用符号表征这种关系时，学生才能深刻认识到，符号不仅可以表示确定的数，而且还可以表示变化的数;不仅可以表示未知数，而且还可以表示已知数;等等。

根据“历史发生原理”，学生的数学学习历程会重走人类探索数学知识的历程。因此，教师有必要研究数学史、运用数学史。数学史中那些原始的、客观的数学探究过程即是数学的“史学形态”。恢复数学知识的史学形态，其根本目的在于充分发挥数学史的教育功能，在数学教学中融入数学史，从而让数学史更好地服务于学生的数学学习。

三、授之以渔：恢复数学知识的“思考形态”

著名教育家弗赖登塔尔说：“没有一种数学思想，以它被发现时的那个样子发表出来。一个问题被解决以后，相应地发展成一种形式化的技巧，结果使得‘火热的思考变成了‘冰冷的美丽。”将学术形态的数学知识转化为教育形态，要恢复数学知识的思考形态，比如数学家的思考形态。这种思考形态是鲜活的，富有生命力的。授之以渔，就是要点燃学生数学思维的火花。

比如：教学北师大版数学四年级上册《运算律》时，学生遇到了这样一道习题：1+2+3+…+98+99+100=？这不就是著名的“高斯问题”吗？如何启发学生运用加法交换律、结合律？笔者在教学中，力图恢复、引导学生揣摩数学家高斯的“思考形态”：一个一个相加，太麻烦了。这一串数字有怎样的特征呢？学生发现，从左往右，每一个数依次增加1;从右往左，每一个数依次减少1。如果从两端往中间看，每一组中两个数的和都是101。这样一共有50组101，也就是用101乘50。或者，以小见大找规律。比如：1+2;1+2+3;1+2+3+4;……1+2+3+……+100。学生发现，每一组数都是“末位数”乘“末位数加1”然后除以2。在这个过程中，学生还原了一般的探索历程，还原了数学家的思考品格：思维的变通性，思维的简洁性。授之以渔，就是要引导学生展开火热的数学思考，寻找数学知识背后的规律。借助这样一种恢复数学思考形态的数学学习过程，可以培育学生的数学直觉力、数学理解力和数学创造性。经历了这样一个过程，学生不仅可以完整而深刻地理解数学知识的本质内涵，也能感悟、领悟到数学的文化价值，即一种信念、兴趣，一种文化的积极启蒙、创造。

数学不仅是一种工具，更是一种思维模式。通过对数学知识思考形态的恢复，学生在数学学习中能获得一种观念性、思想性的突破。正如古希腊著名思想家普罗泰戈拉所说：“头脑不是一个要被填满的容器，而是一把要被点燃的火炬。”在恢复数学知识思考形态的教学中，学生“火热的思考”正是点燃“火炬”的火种！

数学知识是一种压缩形态的知识，通过对数学知识的“解压缩”而展开的数学教学，不仅能被学生主动地激活，而且能让学生主动地建构、创造。通過“解压缩”，教师引导学生将严密、抽象、冰冷的“学术形态”的数学转化为生动、活泼、形象的“教育形态”的数学，这是一门科学，也是一门艺术。通过这样的数学教学，学生能理解数学知识、感悟数学思想方法，能领悟数学的精神、文化。由此，有效提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

【参考文献】

[1]魏雪峰，崔光佐.小学数学问题解决认知模型研究[J].电化教育研究，2012（11）.

[2]薛芳.小学数学教学中思维训练的应用[J].教书育人，2018（22）.