对坐标的曲面积分方法探讨

张坤

摘要：多元函数积分学中，曲面积分是十分重要的内容之一。它不仅拓展了一元函数积分学，还有其特殊的实际应用。本文从对坐标的曲面积分的定义、投影面转化以及高斯公式三个方面出发，结合计算方法的复杂性，通过典型例题探讨对坐标的曲面积分的计算方法及应注意的问题。

关键词：对坐标的曲面积分;高斯公式;典型例题

中图分类号：G648     文献标识码：B    文章编号：1672-1578（2019）28-0183-02

1.问题的提出

在物理应用中我们常常碰到求稳定流动（流速与时间无关）的不可压缩流体在单位时间内流向有向曲面指定侧的流体流量问题。根据数学模型的建立我们得到了解决这一问题方法即使用对坐标的曲面积分。模型的建立是解决问题的第一步，如何正确计算这个积分是我们第二步。下面我们通过一个典型例题来构建我们计算对坐标曲面积分的方法。

2.对坐标的曲面积分方法

定义直接计算法：采用对坐标的曲面积分的定义直接计算。直接计算法思想直接，但可能计算较复杂。

投影面转化法：利用对坐标的曲面积分与对面积的曲面积分的联系，借助转化投影面，统一积分微元的方法。这一方法的特点是将对坐标的曲面积分化归到一个投影面上，而这个投影面的二重积分计算难度不大。

高斯公式计算法：当曲面积分中的三个三元函数和积分曲面满足高斯公式成立的条件时，我们可以使用高斯公式将对坐标的曲面积分转化为计算三重积分。该方法能将对坐标曲面积分转化为三重积分，计算难度有可能大幅度降低，但可能遇到不满足高斯公式条件的情况，此时我们需要构造条件让题设满足然后进行转化。

典型例题：计算对坐标的曲面积分∫∫∑（z2+x）dydz-zdxdy，其中∑是抛物面z=2（x2+y2）介于平面z=0及z=2之间部分的下侧，如图

解法一（定义直接计算法）：∑在yoz面投影为Dyz：12y2≤z≤2，-2≤y≤2

∑=∑1+∑2，∑1∶x=2z-y2，（y，z）∈Dyz，朝前，

∑2∶x=-2z-y2，（y，z）∈Dyz，朝后

则∫∫∑（z2+x）dydz=∫∫∑1 （x2+x）dydz+∫∫∑2（z2+x）dydz

=∫∫Dyz（z2+2z-y2）dydz-∫∫Dyz（z2-2z-y2）dydz=2∫∫Dyz2z-y2dydz

=2∫2-2dy∫212y22z-y2dz=4π

同理：∑在xoy面投影为Dxy∶x2+y2≤4，∑∶z=12（x2+y2），（x，y）∈Dxy，朝下

∫∫∑-zdxdy=∫∫Dxy-12（x2+y2）（-dxdy）=12∫∫Dxy（x2+y2）dxdy=12∫2π0dθ∫20r2·rdr=4π

所以原式∫∫∑（z2+x）dydz-zdxdy=∫∫∑（z2+x）dydz+∫∫∑-2dxdy=4π+4π=8π

此题使用定义法需要分别计算两个对坐标的曲面积分，而且这两个曲面积分再转化为二重积分时积分计算复杂度较大，容易出现计算失误，从而使整体计算错误。但此方法理解思路清晰简明。

解法二（投影面转化法）：利用两类曲面积分之间的联系，使用投影面转换法。

∑在xoy面投影为Dxy∶x2+y2≤4，∑∶z=12（x2+y2），（x，y）∈Dxy，朝下，则∑上任意一点处切平面的法线向量（朝下）为（2x，2y，-2），

可得cosα=xx2+y2+z2，cosy=-1x2+y2+z2

∫∫∑（z2+x）dydz=∫∫∑（z2+x）cosαdS=∫∫∑（z2+x）cosα·1cosydxdy=∫∫∑（z2+x）·（-x）dxdy

原式∫∫∑（z2+x）dydz-zdxdy=∫∫∑（z2+x）·（-x）dxdy-zdxdy

=∫∫Dxy（（12（x2+y2））2+x）·（-x）dxdy-（12（x2+y2））dxdy

=∫∫Dxy（x2+12（x2+y2））dxdy=∫2π0dθ∫20（r2cos2θ+12r2）rdr=8π

此题使用投影面转化法，首先需要将两个积分部份化归为一个，但是化归为哪一个需要做出选择，而选择的方向决定了后面计算的难度，所以需要经验判断。其次要将其中一个坐标面的积分化为另一个必须要清楚两个坐标面积分的转换关系，此处将引入空间曲面与其在坐标面的投影面之间的关系，而此关系又是使用曲面上一点处切平面的法线向量搭建的，需要学生有多元函数微分学的基础知识。第三转化为一个坐标面的积分时仍然要考虑二重积分的计算方法。此方法有几个非常关键但是又容易出错的步骤，只有通过多练习才能熟练掌握。

解法三（高斯公式计算法）：由于此题设不满足高斯公式中关于闭曲面的条件，则需要添加辅助面∑′∶z=2，x2+y2≤4（朝上），使得题设中∑+∑′成为一封闭曲面外侧且分片光滑，两个三元函数z2+x在-z封闭曲面所围区域Ω内一阶偏导存在并连续（其中Ω∶12（x2+y2）≤z≤2，x2+y2≤4），则

所以原式

此题使用高斯公式计算法，首先要判断题设是否满足高斯公式成立的条件，由于不满足光滑曲面封闭，添加辅助面成为关键，特别要注意添加辅助面的侧，这个侧与题设的曲面的側结合要构成封闭曲面的外侧，如果不是外侧是内侧那么要通过加符号改面侧度。其次添加的辅助面的曲面积分应方更计算，否则使用此方面不仅没有简化计算，反而增加了计算步骤使得计算过程更加复杂。

2.总结

我们可以看到三种方法都能有效的将对坐标的曲面积分计算完成，定义直接计算理解简单清晰但转化为二重积分后计算复杂度高，而投影面转化法和高斯公式计算法理解和构造有难度但转化为二重积分后计算复杂度低。在解决实际问题进行对坐标的曲面积分计算时，不能只单纯掌握一种方法，几种方法配合使用才能在理解和计算之间找到最适合问题的综合方法。

参考文献：

[1] 韩天勇叶建华 主编.高等数学（下）[M].第二版.北京：科学出版社， 2018.

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[3] 刘玉琏 编.数学分析讲义[M].第四版.北京： 高等教育出版社， 2003.

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