有趣的1 2 和 2 3

刘金龙

数学的趣味有时候在于它看起来像是这么一回事，实际上却是另一回事。不动动脑筋，可别想一下就答对。不信，我们就和这两位小伙伴一起做做游戏，体味其中的奥妙吧！

球的颜色

周末，张宇去找李晨玩，他将三个一模一样的盒子摆开，往三个盒子里分别放入了两个球。一个盒子里放入两个黄球，一个盒子里放入两个白球，一个盒子里放入黄球和白球各一个。

“这是要干什么？抽奖吗？”李晨好奇地问。

“等一下你就知道了。你转过身去，等我打乱盒子的摆放顺序后，你再转过来。”张宇煞有介事地说。

待李晨转身后，张宇调整了盒子的摆放顺序。

“准备工作完毕，你可以转过来了！”张宇指着三个盒子说，“现在请你随机选择一个盒子，并随意从中拿出一个球。”

虽然李晨不知道张宇要做什么，但是还是很配合地取了球。

“黄球！有没有中奖呀？”李晨打趣地问。

“哈哈，恭喜你，中了一道数学题！”张宇笑着说，“请问这个盒子里的另一个球也是黄色的概率是多少？”

李晨仔細想了想，如果自己从选定的盒子里拿出的球是黄色的，那么说明这个盒子里装的就不可能是两个白球，只能是两个黄球或者一个黄球和一个白球。而装有两个黄球的盒子和装有一个黄球、一个白球的盒子被自己选中的概率是一样的，各为。所以，他能够拿到装有两个黄球的盒子的概率就是 1 2 。

“1 2  ！”

“厉害，果然难不倒你！”张宇向李晨竖起了大拇指。

这个概率问题对我来说也是小菜一碟，不过听说有人得出了2 3  的答案。

哈哈，那你得问问他是怎么得到这个答案的。

课本的分类

张宇出的题目李晨已经解答出来了，这回该轮到李晨给张宇出题了。

李晨将自己存放东西的三个一模一样的柜子摆放出来，每个柜子都有两个隔档，中间用一块木板隔开。他在第一个柜子的两个隔档里各放入一本语文课本，在第二个柜子的两个隔档里各放入一本数学课本，在第三个柜子的两个隔档里分别放入了一本语文课本和一本数学课本。为了便于张宇思考，李晨给课本贴上了标签，如下图：

打乱柜子的摆放顺序后，李晨让张宇先从三个柜子里随意选出一个柜子，再从选中的柜子里随意打开一个隔档。

“如果看到的是语文课本，那么在同一个柜子里的另外一个隔档中放的也是语文课本的概率是多少？”李晨问。

张宇仔细想了想，这个问题和刚才自己给李晨出的题有点像，但绝不会那么简单。于是，他开始分析。

抽取情况有以下几种：

所以，当在其中一个柜子的一个隔档里看到的是语文课本时，这个柜子里的另一个隔档中同样也是语文课本的概率是2 3。

“2 3  。”张宇自信地报出答案。

“看来你也很强，本以为你会被误导呢！”李晨说道。

概率之异

这两个问题乍一看很像，其实它们是不同的。

张宇提出的问题强调的是盒子的完整性，是先选定盒子后才能分析盒子中球的颜色。这就是说，选定了一个盒子，不知道里面是什么颜色的球，直到摸出一颗黄色的球，我们才获得了这个条件的限制，那么这个盒子要么是“黄球+白球”，要么是“黄球+黄球”，但一定不是“白球+白球”。如果是“黄球+黄球”，则满足了另一个球也是黄色的条件;如果是“黄球+白球”，则不满足条件。因此，概率为 1 2 。

李晨提出的问题强调的是课本的特性，跳过放课本的柜子直接分析柜子中课本的类别。这就是说，在选定的柜子里，“其中一个隔档里放的是语文课本”是一个限制条件，但是没有说明在哪一个隔档，打开的有可能是隔档1，也可能是隔档2。也就说，当打开一个隔档看到语文课本时，有三种情况：“语文课本（隔档1打开）+语文课本（隔档2关闭）”“语文课本（隔档2打开）+语文课本（隔档1关闭）”“语文课本（隔档打开）+数学课本（隔档关闭）”。如果是前两种情况，则满足了另一个隔档里也放着语文课本的条件;如果是“语文课本（隔档打开）+数学课本（隔档关闭）”，则不满足条件。因此，概率为 2 3。