初中“最值”全知晓

李雯

本文以题型的形式，将初中阶段的求最值问题作了汇总。

初中阶段最值问题包括：

1.一次函数类最值

解决原则：根据题意，列出相应的一次函数，将一次函数与一次不等式联合，求出自变量的取值范围。当函数值大于或等于a时，有最小值a，当函数值小于或等于a时，有最大值a;或者根据自变量的取值范围，结合一次函数的增减性确定最值。

2.二次函数类最值

解决原则：根据题意，列出相应的二次函数，将二次函数转化成顶点坐标式，再判断最值。

3.几何类最值

解决原则：利用①两点之间线段最短②垂线段最短③绝对值是非负数④三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等性质，画出符合最值的有关图形，再利用代数知识求解。

一、一次函数类最值

例1.为了鼓励居民节约用水，我市某地水费按下表规定收取：

1. 若某户用水量为x吨，需付水费为y元，则水费y（元）与用水量x （吨）之间的函数关系式为：y=  

1. 已知某住宅小区100户居民五月份交水费共1682元，且该月每户用水量不超过15吨（含15吨）求该月用水量不超过10吨的居民最多可能有多少户？

分析：（1）由表知水费与用水量成一次函数关系，且水费

y=1.3x（x≤10）

y=1.3× 10+2（x-10）（x>10）

（2） 有m户用水量不超过10吨，则有（100-m）户用水超过10吨，

13m+（100-m） [1.3× 10+2（15-10） ]≥1682

m≤61.8

最多61户。

如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。

（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围;

（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？

（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。

二、次函數类最值

例2.

分析：

（1） ∵ AB为x米、篱笆长为24米

∴ 花圃宽为（24-4x）米

∴ S=x（24-4x）

（2）当x=3时，S_最大值=36（平方米）

（3） ∵墙的可用长度为8米

∴ 0<24-4x ≤8       4≤x<6

∴当x=4m时，S_最大值=32 平方米

三、几何类最值

类型一：“线段之和最小”问题

作图原理：两点之间线段最短

如图在直线m上找一点P，使得“PA+PB最小”

类型二：“线段之差绝对值最大”问题

作图原理：三角形两边之差小于第三边

如图在直线m上找一点P，使得|PA—PB|最大

例3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= - x²+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点。

1. 求A、B、C、D的坐标。
2. 在x轴上是否存在一点P，使得P到C、D两点的距离之和最小。若有，求出点P的坐标，若没有，说明理由。

（3）在x轴上是否存在一点Q，使得|QD-QC|最大。若有，求出点Q的坐标，若没有，说明理由。

类型二“线段之差绝对值最小”问题

作图原理：绝对值是非负数。

如图在直线m上找一点P，使得|PA—PB|最小

直线m垂直平分AB，则PA=PB， |PA—PB|min=0

例4.如图抛物线y=-4/9x²+8/3x+2与y轴交于点A，顶点 为B，点P是x轴上的一个动点，当点P的坐标是（    ）时，|PA—PB|最小。

类型三“线段最短”问题

作图原理：垂线段最短。

例5.已知抛物线y=x²+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x²+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（C）