有多少错可以重来

在数学学习中，数形结合是一种典型的几何直观方法。下面以数轴或绝对值为背景，对同学们出现的一些错误进行剖析。

例1 利用數轴可以解决生活中的实际问题：小英妈妈开车从家出发，向西开了500m，到健身馆游泳，然后向西开了400m到超市买菜，又向东开了1km到小英学校接她放学。（1）请以小英家为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m，画出数轴，并在数轴上标出健身馆、超市、学校、小英家。（2）小英家距超市多远？小英妈妈共行驶了多少m？

【错解】在第（2）问，有不少同学计算小英妈妈行驶的路程为：-500+（-400）+1000=100m。

【错解分析】本题要注意条件，题中的单位有m、km，首先要统一单位;这里向东为正，向西为负，所以“+”“-”只表示方向。一些同学在做题过程中，忘了路程不能为负数这一事实。小英妈妈行驶的路程应该是所有路程的和。

【正解】（1）规定小英家为原点，向东的方向为正，向西为负，一个单位长度表示100m，画出数轴如图1。

图1

（2）由图可知：小英家距超市900m。根据绝对值的意义，列出算式：[-400]+[-500]+[1000]=500+400+1000=1900m。小英妈妈共行驶了1900m。

变式1 某出租车从停车场出发，沿着东西向的大街行驶。到晚上6时，出租车一天行驶记录如下（向东记为正，向西记为负，单位：km）：+10、-3、+4、+2、+8、+5、-2、-8、

+12、-5、-7。（1）到晚上6时，出租车在什么位置？（2）若汽车每km耗0.2L油，则从停车场出发到晚上6时，出租车共耗油多少L？

参考答案：（1）出租车在停车场东面16km处;（2）出租车耗油13.2L。

例2 [4-1]表示4与1差的绝对值，也可以理解为4与1两个数在数轴上所对应的两点之间的距离;[4+1]可以看作[4--1]，表示4与-1的差的绝对值，也可以理解为4与-1两个数在数轴上所对应的两点间的距离。请根据以上表述，计算：

（1）[4--1]= 。（2）[5+2]= 。（3）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得[x+3]=5，则x= 。（4）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得[x+3]+[x-2]=5，这样的整数x是 。

【错解】（1）（2）较基础，正确率较高。

（3）中，一些同学只得出x=2，漏解x=-8。

（4）中，同学们的错误也是漏解，大多数同学会写出x=0、-3、2。

【错解分析】（3）中，同学们习惯于2+3=5，而忽略绝对值的概念。实际去掉绝对值符号，得x+3=±5。（4）有一定的难度，同学们会凑答案，而不会去画数轴，利用绝对值的几何意义解决。

【正解】（1）5;（2）7。

（3）[x+3]=[x--3]=5，这可以理解为：到-3所对应的点的距离为5个单位长度的整数点有哪些？我们利用绝对值的几何意义画出图2，从数轴上可直接得出，x=2或-8。

图2

（4）我们可以这样来变形：[x+3]+[x-2]=[x--3]+[x-2]=5，这可以理解为：到-3和2所对应的点的距离之和为5个单位长度的整数点有哪些？因为-3和2所对应的点的距离正好为5个单位长度，如图3所示，在A、B两点间的整数点有：A、C、D、O、E、B，都符合题意。所以符合题意的整数是：-3，-2，-1，0，1，2。

图3

变式2 已知[x+3]+[x-2]=7，x是整数，则满足该等式的x的值是。

【错解】x是4、-5。

【错解分析】设在数轴上，-3对应的点为A，2对应的点为B，x对应的点为D。一些同学没有正确理解题意，误认为AB+BD=7，或者AB+AD=7，导致错解。

【正解】我们在数轴上把A、B两点标出来，然后分情况讨论x。

（1）当D点在线段AB内部，即-3≤x≤2时，如图4，AD+DB=5，不合题意，舍去。

图4

（2）当D点在B点右侧，即x>2时，如图5。因为AD+BD=7，即AB+2BD=7，又AB=5，所以BD=1。此时x=3。

图5

（3）当D点在A点左侧，即x<-3时，如图6。因为AD+BD=7，即AB+2AD=7，又AB=5，所以AD=1。此时x=-4。

图6

综上，x的值是3、-4。

（作者单位：江苏省常州市武进区坂上初级中学）