超声电机变摩擦三向接触模型的输出特性分析

柳江 滕杨磊 王政皓 张业 刘双双

摘要：针对传统电机的纯滑动平面接触模型分析结果与行波超声电机定转子接触面表现出的实际输出特性存在一定偏差的问题，利用摩擦形变角来阐述定转子在接触面不同性质的摩擦状态，据此分析两者相对运动趋势，并提出一种异于传统纯滑动摩擦状态平面接触模型的变摩擦三向接触模型;在该模型的基础上，构建定转子在接触面的运动、受力及能量损耗状况的数学模型，通过MATLAB仿真获得电机驱动力矩、接触点切向速度以及电机输出效率，计算摩擦界面效率等参数随定转子间距变化的特性曲线，并利用测功机通过实验验证，与传统模型相比，所述模型更加准确地反映了电机的实际工况。

关键词：行波超声电机;接触面三向空间模型;变摩擦;摩擦界面输出效率

DOI：10.15938/j.emc.2019.09.015

中图分类号：TM 301.3

文献标志码：A

文章编号：1007-449X（2019）09-0115-08

Output characteristic analysis for ultrasonic motors with  variable friction spatial contact model

LIU Jiang，TENG Yang lei，WANG Zheng hao，ZHANG Ye，LIU Shuang shuang

（School of Automobile and Traffic， Qingdao University of Technology， Qingdao 266520， China）

Abstract：

For a traveling wave ultrasonic motor， the contact between the stator and the rotor is usually described by the plane contact model with a simple sliding. But the theoretical analysis using this traditional model may have an inevitable deviation from the motor′s real output. Therefore， a variable friction spatial contact model is proposed. The friction deformation angle was used to define the friction state in different contact properties. By the kinematics and dynamics analysis on this 3 dimensional model， the mathematical functions for the motion， force and energy loss were derived. Using software MATLAB， the motor′s drive torque， the tangential velocity on the contact point， and the output efficiency were simulated. Besides， the relationship between the friction interface efficiency and the stator rotor distance was analyzed. The test results indicate， that this new model offers a more accurate reflection to the motor′s actual working condition than the traditional one.

Keywords：Traveling wave ultrasonic motor; variable friction spatial contact model;variable friction;efficiency of the friction interface

0引言

超声电机工作原理是利用压电材料的逆压电效应将电能转化成弹性体的机械能。它与传统电磁电机相比，具有转矩密度大、功率密度高、结构紧凑、定位精度高、响应速度快等众多优点。基于此，超声电机在航空航天、光纤通信、科学仪器、微机电系统等领域具有广阔的发展前景。目前绝大多数超声电机的动力传递都是通过接触面将定子的微观振动转化为转子的宏观运动来实现。因此，定子和转子接触表面的摩擦层的输出特性对于超声电机的性能来说尤为关键。

1993年Hiroshi Hirata等 在国际上首次提出了行波超声电机定转子摩擦层的平面接触模型，极大的简化了定转子接触面运动及受力的分析过程。2003年赵淳生院士等在该平面模型的基础上建立了一种更为准确的纯滑动摩擦接触界面模型，这个模型对于电机定转子摩擦界面设计优化来说具有极大的参考价值。2014年，相关研究表明由纯滑动摩擦接触界面模型计算出的摩擦界面能量损耗与电机实际损耗存在一定的偏差，在电机运行过程中定转子的速度差波动时，此偏差尤为明显。为解决上述偏差问题，本文提出了一种新的变摩擦三向接触面模型。并在所述模型基础上，研究定转子相对速度波动所造成的摩擦—形变接触状态的变化，进而计算接触摩擦界面的受力、运动以及能量损耗状况。

1定转子接触面摩擦形变角

超声电机定子和转子的接触面是一层刚度相对较小的摩擦材料，超聲电机正是通过这个接触面摩擦层来进行动力传递和能量传输的。在接触面上定子和转子的相对运行速度存在瞬时差异。故接触面状态所包含的形变（摩擦形变角）以及摩擦性质也不相同，形变示意和接触状态如图1（定转子接触区域摩擦状态图）所示。

图1（a）中点A′位于转子上;点B′位于定子上（点A、B分别是摩擦层上与点A′、B′相重合的点）。电机运行过程中点A、B之间产生的相对速度差必然导致摩擦层的切向变形，记该速度差为（|Vr|-|Vs|）。对于此切向变形本文引入一个摩擦形变角S进行描述。（定义矢量AB与ef坐标轴负向所成夹角即为S）。S的瞬时变量S与定转子速度差成正比，即S∝（|Vr|-|Vs|）。摩擦形变角S是由于切向摩擦力而产生的，其求取方法如下：

任意选取一段接触面摩擦层材料，沿该材料的切向截取一微段，记为x。假定该微段材料的起始两端分别是x1和x2。则存在x1-x2=x，本文认为摩擦材料在切向上产生的是为线性变形。由胡克弹性定律可知

xS=fτGm。（1）

当x0时，limx0xSS=S。

式中：Gm是接触面摩擦层材料的剪切模量;fτ是该段材料接触面所受切向作用力。

当S较小时，该微段的形变可视为形变角和切向长度的乘积。而电机的接触面摩擦层材料是同性均质材料，故可认为各处形变保持一致，即有S=xS。记S平均值为S，则有

S=∫x2x1fτGm（x2-x1）dx。（2）

式（1）中，当x=1时，S=fτ/Gm。将其带入式（2），则

S=∫x2x11（x2-x1）Sdx=S。（3）

又由S=xS，x=1时S=S，所以S=S。故可知，S与选取位置（x1，x2）无关，即沿所取方向材料的特性相同。当接触面摩擦层材料所受切向摩擦力fτ增大到最大值fτmax时，定义此时产生的摩擦形变角为该微段的最大摩擦形变角，记为Smax，则

Smax=fτmaxGm。（4）

Fτmax是单位面积该材料所受最大切向力，则

Fτmax=μ（t）fn。（5）

式中：μ（t）是接触面摩擦系数随时间变化的函数;fn是定转子接触面上的法向作用力。

假定长度x所对应的摩擦材料面积为U，摩擦层宽度为bm，则有

U=xbm。（6）

单位面积该摩擦材料上的法向作用力为

fn=fnU

接触面摩擦材料各特性关系公式为

Km=Embmhm，

EmGm=2（1+V）。（7）

式中：Km为材料的等效弹簧刚度（已在下文中推导验证）;hm是接触面摩擦材料的厚度;Em为接触面摩擦层材料杨氏模量;V是泊松比。

联立式（4）～式（7）则有

Smax=2μ（t）U（1+V）bm。（8）

由公式（8）可知，最大摩擦形变角Smax除了与摩擦系数的时变函数μ（t）有关外，还分别与材料本身的力学参数、结构参数有关。

图1（b）中， 最大摩擦形变角Smax是动/静摩擦性质转变的临界点，因此摩擦系数也是一个时变参量，对瞬时摩擦系数μ（t）（不同时刻的摩擦系数）分析如下：

1） S（t）>Smax时，定转子接触面处于相对滑动状态，即图1（b）中滑动区，此时产生的摩擦力是动摩擦力，是一个定值，记为μ0。

2） S（t）

综合以上2种工况，则有μ（t）的表达式为

μ（t）=μ0，S（t）≤Smax;

μ0S（t）Smax，S（t）

当定子和转子在接触面上处于相对静止状态时，不产生相对滑动，即在给定的工作/运动时间t内，A点与A′点保持重合，因此摩擦生热Vf=0。此时摩擦层形变处于一种高频的交变状态，其阻尼发热损耗Vd在整个电机的损耗中所占比重极小，所以在作能量损耗分析的时候可忽略不计。

2定转子在摩擦层的接触模型分析

基于行波超声电机的运动机理，定子表面的轮廓线呈正弦波形状。由于定、转子基体刚度相对较大，故可以忽略由预压力所引起的变形。因此，本文认为电机定、转子接触面只有摩擦层材料产生相应变形，且该变形与定子表面的正弦波轮廓线保持一致。

定转子接触面是多个平面线弹簧并联的平面模型形式。针对上述平面模型中某一行波段进行拆分，则可获得线弹簧模型如图2（定转子接触面线弹簧模型图）所示。对整个接触面上所有的接触点积分，便是接触面垂向预紧力F。

依据胡克定律，只要获得摩擦层材料的等效弹簧刚度即可就得预紧力F。等效弹簧刚度求取方法如下图3摩擦材料形变示意图所示。

假设从摩擦层沿切向截取长度为x的一小段材料，沿垂直方向施加外力Fm，因受压而产生形变量记为hm。则有：

Fmxbm=Emhmhm。（10）

变形得

Fm=Emhmhmxbm。（11）

所截取这段材料的等效弹簧刚度记为K0，则

K0=Embmhmx。（12）

定义该段摩擦材料的等效弹簧刚度Km，有K0=Kmx，

故

Km=Embmhm。（13）

该微段处，定子所受摩擦层的正压力记为P（x），有

P（x）=KmAm（cos2πγx-W）。（14）

式中：Am为定子行波幅值;γ为定子行波频率;W摩擦层材料未发生形变时下表面距波形中轴线的距离。由于P（x）是沿着接触面連续分布的，则在1个行波周期内，有

F=2n∫a0P（x）dx。（15）

式中n是行波波数。

分析线弹簧模型图分析W和Wz绝对值的关系，可得图2中半接触长度a的数学表达式如下：

a=12πγcos-1W，W>|Wz|;

λ2，W≤|Wz|。（16）

联立式（12）～式（15）可得

F=2n·KmWz（12πγsin2πγa-acos2πγa）。（17）

在传统接触平面模型基础上，本文构建沿柱坐标单位矢量er，eθ，ez的三向接触模型。如图4定转子接触面上的相对运动趋势模型图所示，用以分析电机接触面沿轴向之外的径向和切向的动力学特性。

图4中，点QR是转子上与摩擦层的接触点;点Qs为定子上与摩擦层的接触点;VQR是转子在点QR处的周向速度;VQs-r、VQs-θ和VQs-z分别表示定子表面质点在点Qs处的径向速度投影、切向速度投影和轴向速度投影。定子上接触点的径向速度，切向速度和轴向速度分别为：

VQs-r=-2πγAmφrsin（2πγt-nθ）。（18）

VQs-θ=-2πγAmφθcos（2πγt-nθ）。（19）

VQs-z=-2πγAmφzsin（2πγt-nθ）。（20）

式中：参数φr、φθ和φz是定子表面与摩擦层接触点所处径向、切向和轴向位置相关的函数;θ为对应位置时的初相角。计算可得φr=0.277，φθ=0.748，φz=-0.719。

据定子与转子接触面的相对运动趋势模型，拆解出定子受力如图5定子受到摩擦层的接触作用力示意图所示。

图5中，fn，fτ表示定子所受接触面的轴向作用力和切向作用力（fn沿着纵轴ez的负向）;fτ位于单位矢量er和eθ所组成的坐标平面内，显然fτ和eθ所成夹角即为瞬时摩擦形变角S（t）。分析整个电机的受力可知轴向作用力fn和预紧力F平衡，则：

fτ=μ（t）fn，

fn=-F。（21）

將fτ分别沿切向和径向进行投影，所得投影分量大小记为fτθ和fτr。同理可得，f′n和f′τ（f′n和f′τ表示转子受到来自摩擦层的沿轴向和切向的接触面作用力）。由牛顿第三运动定律，有（fn=-f′n、fτ=-f′τ）。

定子所受来自摩擦层作用力矢量形式为

f=-gvrfτrer-gvθfτθeθ-fnez。（22）

同理，转子所受接触面作用力为

f′=-f=gvrfτrer+gvθfτθeθ+fnez。（23）

公式（21）、公式（22）中，定子接触接触面作用力fτθ的反作用力即为转子运动的驱动力，径向分量fn则被做功全部损耗掉。公式（21）中fn前的负号表示定子所受的轴向作用力是沿着轴坐标系ez轴的负向，gvr和gvθ为符号函数，此符号函数的定义是由定子和转子之间的相对速度来确定：

gvr=-1，VQs-r<0;

+1，VQs-r≥0。（24）

gvθ=-1，VQs-r

+1，VQs-r≥VQR。（25）

由图5可知，fτθ和fτr与fτ之间的定量关系为

fτθ=|fτ·cosS（t）|，

fτr=|fτ·sinS（t）|。（26）

摩擦形变角S（t）是由定子跟转子的相对速度确定

S（t）=arctan|VQs-r||VQs-θ-VQR|。（27）

可知，当fτ一定时，形变角S（t）越大，则fτθ越小、fτr越大，与之对应的转子所受驱动力矩也减小，径向的磨损增大。

在整个行波周期内进行二次积分可获得接触面对转子的驱动力矩和所受的轴向作用力分别为

Tτθ=sσhθfτθrds。（28）

Fn=sσfnds。（29）

式中：Sσ表示在整个接触面积分;r为定子齿轮半径。

3能量损耗及电机的有效输出功率

由第2节可知，定子跟转子之间在接触面上存在相对滑动，产生的滑动损耗Pdc包括径向Pdr和切向Pdθ2个方面（轴向可忽略），即：

Pdc=Pdr+Pdθ。（30）

式中径向滑动损耗Pdr为

Pdr=1T∫t+Tt（Sσ（fτr|VQs-r|ds）dt）。（31）

切向滑动损耗Pdθ为

Pdθ=1T∫t+Tt（Sσ（fτθ|VQs-τ-vR|ds）dt）。（32）

式中： t表示电机稳定工作时的任意某时刻;T为交流电压周期。

根据能量守恒定律，在一个行波周期内分别求得电机输出功率Pout和损耗功率Pw的表达式为

Pout=1T∫t+TtTloadvrdt，（33）

Pw=Pds+Pdk+Pdc。（34）

式中：Pdc表示整个接触界面上的摩擦损耗;Pds为定子的阻尼损耗;Pdk为转子的阻尼损耗。而电机在稳态下工作时得损耗主要来自摩擦层的摩擦能量损耗，即Pw≈Pdc，故电机输出效率为

ηm=poutpdc+pout。（35）

4实例计算

4.1参数设置

针对所述三向空间接触模型，本文根据某型号超声电机得实际参数，进行摩擦损耗等相关计算。表1为超声电机主要结构参数。

具体计算流程如图6算例流程图所示，主要包括定转子摩擦接触面的运动状态、受力分析及电机功率计算3部分内容，图中接触面切向力、滑动损耗等6个关键的输出特性用深灰色背景标记，虚线框为负载模型。

4.2结果分析

根据仿真结果可获得电机在一个波长范围内的摩擦层接触面输出特性。其中切向速度vτ，摩擦形变角S以及驱动力矩T三项指标如图7W<|Wz|时接触面接触状态、图8W>|Wz|时接触面接触状态所示。图中的虚线部分表示理论最大摩擦形变角，实线部分表示实际摩擦形变角。

分析图7可知，当W<|Wz|时：

1）vτ随时间基本呈正弦函数相关，并且在0.012 5 μs附近出现极大值。

2） 在整个波长周期内，摩擦驱动力与摩擦形变角两条实线得变化趋势基本保持一致，表现出较好的线性相关。

3） 实际摩擦形变角和理论最大摩擦角在0～0.007 μs、0.009～0.013 μs以及0.016～0.025 μs 3个时间段内相吻合，此时定转子实际处于相对静止区域;而在0.007～0.009 μs段内，摩擦形变角实际值大于理论值，此时定转子处于滑动区域;在0.013～0.016 μs段内，实际值小于理论值，此时定转子也处于相对静止区域。

4） 分析实际摩擦驱动力矩曲线，在0～0.002 μs以及0.014～0.025 μs 2个时间段内出现负扭矩，此区域工作状态超声电机无法避免，做电机参数优化设计时应尽量减小该区间的跨度，并降低该区间电机转矩绝对值的大小。与此同时，在系统结构上增加离合器或换向器也可使该问题得以优化;在0.002～0.014 μs之间，转矩大于零，电机实现正向驱动，曲线得表现形式类似阶跃函数，做电机参数优化设计时应使得该曲线尽快达到稳态值。

从图8可知，当W>|Wz|时，结论基本类似，两者不同的地方在于形变角和驱动力矩中该段区域的范围明显增大。

综合分析图7和图8，可知间距W表征了不同性质摩擦状态，对接触面驱动力矩等重要的动力学参数影响至关重要。本文取5个等差的W值（W=0.6，0.8，1.0，1.2，1.4，单位μm），并针对不同的间距W取值计算接触面的输出效率、滑动损耗和输出功率随驱动力矩的变化特性，分别获得不同特性曲线如图9接触面部分性能指标随间距W变化的特性曲线所示。

分析图9可知：

1）整体看来，输出效率ηm、输出功率Pout二者表现出较强的非线性特征，其中输出功率Pout在低扭状态时近似线性，且与间距W取值的变化关联不大（图中虚线L表示其渐近线，斜率≈0.1）;滑动摩擦损失Pdc的非线性特征较弱，原因在于摩擦损失与滑动摩擦力成正比，而此时滑动摩擦力占据驱动力的较大比例。

2）随着间距W的增大（即相对静止区域增大），摩擦界面效率ηm和输出功率Pout随着驱动扭矩变化的值也不断增大，且随着W的线性增加，ηm和Pout增大程度逐渐趋缓;

3）滑动摩擦损失Pdc则随间距W的增大而減小。此外，随着W的线性增加，滑动摩擦损失Pdc的减小呈平缓趋势，并且，当W取值增大到一定程度后（约W>0.3 μm），Pdc的变化即可忽略不计。

对W=0.8 μm时进行实际工况实验数据采集，比较传统纯滑动平面模型与本文所述变摩擦三向模型的滑动损失功率特性。实验数据整理如图10不同模型滑动损失功率特性。图中离散点*是实际通过测功机所得实验数据，细实线表示传统纯滑动平面模型特性曲线，粗实线为本文的变摩擦三向模型输出特性曲线。

采集各个点的横纵坐标，将值代入和方差SSE、离差平方和SST计算公式，计算拟合优度R2，根据所得拟合优度定量分析实验数据点与仿真特性曲线的拟合程度，计算结果如下：

SSE=0.005 617;SSE′=0.024 731;

SST=0.110 860;

R2=0.949 34;R2′=0.776 92。

R2和R2′分别为三向模型仿真和平面模型仿真数据。对比发现R2较R2′取值更趋近于1，则表明实验数据与本文所述模型仿真数据拟合程度较高，从而验证本文所建模型可以更为真实的反映电机的实际特性。

5结论

1）依据理论摩擦形变角和实际摩擦形变角的大小将定转子接触面划分为相对静止区域和滑动区域两种不同状态，进而分析获得不同接触区域的瞬时摩擦系数，更为精确得表达了电机的实际摩擦状态。

2）基于接触面的不同摩擦性质，构建变摩擦三向接触模型，分析定转子得相对运动，动力传递及能量传输，获得不同接触点的速度、受力以及能力损耗的瞬时取值。

3）最后，针对不同间距W取值的电机实际工况进行电机输出功率和摩擦界面效率等关键特性的实验验证和仿真分析。将实际工况所得实验数据分别与传统平面模型和变摩擦三向接触模型两种模型进行拟合优度对比，发现本文所述模型R2取值更接近1。论证所提变摩擦三向接触模型与电机实际特性更为接近。

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