以简驭繁 退而促思

浙江省常山县实验小学 蔡水华 丁群俐

华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够地“退”，退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。华罗庚先生的这段名言，道出了解决数学问题的一个重要策略，“以简驭繁：从最简单的开始想起”。 数学教学中，我们不仅要丰富过程，还要将教材教薄。将数学“精简之美”借助于数学思想体系反映出来。

“退”是解决问题的一种策略和方法，要“退”到事物的最起点再换一个角度思考，让“退”成为更好的“进”。虽然“以简驭繁”作为一种隐性方法，但是，教师仍可以结合实际教学，引领学生经历“融化——感应——碰撞——挖掘”的过程，使学生对于“以简驭繁”能逐步走近、美丽邂逅、体验触碰，最终实现深度对话。

一、思有“起点”：激发“以简驭繁”的学习需求

通过创设一些难度适当的问题情境，有意识地制造一些悬疑，当学生面对着一道纷繁复杂的题目毫无头绪、束手无策时，自然产生“知难而退”的需要。使学生产生认知上的冲突，激发数学探索的好奇心和求知欲，变机械思考为主动思考。

1.明显的新旧关联可以激活“退”的需求

数学的系统性决定了数学知识与方法间是相互联系的，将“新知”与需要用到的“旧法”关联呈现，引导学生产生对原有思考模型进一步拓展与延伸的需求。

例如，学生学习了《搭配中的学问》等相关组合问题的研究，教师可以并列呈现以下新旧关联的三个问题，启发学生的思考。

新知问题原有思考模型六年级四个班进行拔河比赛，每两个班赛一场，一共要赛多少场?各图中有多少个长方形?images/BZ_54_1933_1471_2274_1495.png各图中有多少个角?images/BZ_54_1963_1518_2224_1622.png

原有的思考模型启发学生进一步“检索”“提炼”方法，在新知问题的运用中进一步清晰化，产生了更好的数学思考。

2.强烈的认知冲突可以激活“退”的需求

通过呈现与学生原有知识、经验相矛盾的现象，设置悬念；或提供几个相互矛盾的方案、解答，由外在的情境冲突，引发认知的不平衡，从而激起学生的“退”需求。

例如：教学探索规律相关内容（题如下图）时，教师可以将原有的规律探索改为“你通过计算器计算出的结果吗”？当学生遭遇了计算器上数位有限，不能直接解决这个问题时，教师可以引导学生从简单的情况或从小一点的数入手：

9×9＝81

99×99＝9801

999×999＝998001

……

由易到难，从中获得某些启示后，再来考虑原题的解答。在活动中体验，在体验中领悟，自然过渡、水到渠成。

3.独特的数学排列可以激活“退”的需求

独特的数学排列就是一种良好的认知结构，数学排列的元素可以是数、符号、式或者图形。可以给学生一种强烈的数学冲突，便于学生去“检索”，引发“退”的需求，启动有序化的思考。

数的排列：3，5，7，9，……，_____（第2014 个数）

式的排列：1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+……+1/1024=

图的排列：求下图中红色部分的周长是多少？

由单一到序列，让学生自己动手操作，通过列一列、猜一猜、数一数、比一比、说一说，激发学习兴趣，探索数学规律。

二、思有“结构”：掌握“以简驭繁”的技术范式

毋庸置疑，学生“化繁为简”的思考水平和技术能力的培养，离不开教师的引导和点拨。为此，我们在教学实践摸索中，初步构建了“化繁为简”的阶段层次和基本技术范式（如下图），经过精心设计、合乎逻辑的技术范式不仅能使学生获得知识，而且有利于提高学生的逻辑思维能力，增强其对“以简驭繁”思想方法的感应能力。

下面，就以“一个大正方形用十字形连续均分：连续均分20次，能得到几个小正方形？”为例，具体阐述教师在课堂教学中，对于学生的数学思考如何进行“适时介入”和“合理引导”，帮助学生构建、掌握化繁为简的基本技术范式。

1.简约阶段：化繁为简，简化探究素材

简约阶段是指把繁杂的问题简单化、条理化，能够清晰地表达。如此题，可以引导学生画图分析，“退到”从第一次均分开始研究，记录基本规律。

均分1 次均分2 次均分3 次均分次数images/BZ_55_1485_540_1580_634.pngimages/BZ_55_1650_543_1744_636.pngimages/BZ_55_1825_540_1920_634.png均分4 次 ……小正方形个数4images/BZ_55_1550_676_1615_710.png7images/BZ_55_1729_680_1792_713.png10 13 ……images/BZ_55_1897_680_1962_713.png

2.符号阶段：化数为式，探索数学模型

符号阶段时，可以引导学生去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物在内的一类事物。如根据数学规律，将“结论数”改写成“算式”，用数学符号的方式搭建数学模型。

均分1 次均分2 次均分3 次均分次数images/BZ_55_1494_1265_1590_1360.pngimages/BZ_55_1659_1267_1754_1362.png4均分4 次 ……images/BZ_55_1835_1265_1931_1360.png小正方形个数4+3 4+3+3 4+3+3+3 ……4 4+3×1 4+3×2 4+3×3 ……

3.普适阶段：无中生有，优化数学模型

普适阶段是指通过假设和推理建立法则、模型或者模型，并能够在一般意义上解释具体事物和复杂问题。比如引导学生在均分一次的前面再增加一种初始状态，数形结合，完善数学模型。

均分0 次均分1 次均分2 次均分3 次均分次数images/BZ_55_1425_1986_1520_2079.pngimages/BZ_55_1575_1986_1671_2079.pngimages/BZ_55_1725_1988_1820_2080.pngimages/BZ_55_1865_1986_1961_2079.png均分4 次 均分n 次小正方形个数1 4 4+3×1 4+3×2 4+3×3 1+3×n 1 1+3×1 1+3×2 1+3×3 1+3×4

让学生从最简单、也是从最小的情况出发，去发现、探究较复杂的问题，即大的本质的内涵。相信，通过对复杂问题的猜想、思考、验证，在学生的眼中已不再成为困难。

三、思有“延伸”：形成“以简驭繁”的思维惯性

“前延后展”的学习方法能够让学生“触景生思”，诱发学生数学思维的积极性，引起他们更多的数学联想，逐步向数学思想的掌握靠近。

1.解决了，不妨再“瞻前”议一议

数学里有很多模式，简洁的数学模式就像知识的“胚胎”，等待被酝酿和呵护，我们应该像浇花一样的去渗透，更多数学问题解决后需要我们再引导学生回头想一想，体验其中更简洁的结构，更系统的联系。

例如：《列方程解决问题》

师：同学们用方程解答了这么多不同的问题，整体看一看，你能发现其中相同的地方吗？觉得哪几个问题可以归为一类？

生1：除了（3），其余可以归为一类，都是ax+bx=c 形式。

生2：（1）（2）（4）的数量关系可类似表示在线段图（5）里。

生3：（3）也可以和它们归为一类，因为它们的数量关系都是：部分+部分=总量。

师：如果我们尝试着把这些题都用一个式子来概括的话，你觉得可以怎么来写？

生：ax+by=c，不同的是，有些问题当中的x 与y 相等，有些x 与y 不相等。

如果学生在每节课里获得的知识是散装的，一定有“管中窥豹”的狭隘感。及时地“瞻前”，在整体知识背景下对所学知识的重组和构建，将原先分散的、彼此分割的知识联系成一个整体，从而帮助形成由点、线、面筑成的立体式的知识结构网络。

2.学会了，不妨再“顾后”想一想

如果只重视局部训练而淡化整体联网的教学，就会使学生缺少高瞻远瞩的解决谋略和随机应变的解决智慧。所以我们应有这样的意识：将前后知识进行融合，不同的领域内容互相渗透，恰当“顾后”，既是学生掌握知识的张力，也是数学知识本身的魅力，还是学生应用数学知识的活力。

例如：《整理与复习：小数的意义和加减法》

同学们已经对《小数的意义和加减法》单元的学习内容及相关知识进行整体回顾，体会了“小数意义”在其中的核心价值，构建起了具有结构性的知识树。

师：太棒了，知识可以像一棵树一样，形成联系。那么，学了这么多小数的知识，有什么用呢？

师：小数的加减法和小数意义有什么联系呢？

生：其实，小数的加减法要求相同数位进行相加减，就是运用了小数的意义及小数部分的计数单位。

师：接下来，我们还将学习《小数乘法》，它们会不会与这个单元的知识有联系呢？（学生的眼睛开始发亮，翻阅书本后，学生们纷纷说：哦，知道了！原来小数乘法这样就行了。）

师：同学们，《小数的意义》的学习内容仅仅只是给我们提供了一棵知识树吗？

生：老师，我看到了，这棵知识树的背后还有和它有联系着的更多的知识树！不，那是一片森林……

在学生对小数意义的知识整体联系后，教师不妨再引导学生恰当“顾后”，提前剧透后面的学习内容《小数加减法》《小数乘法》《小数除法》，引导学生进一步体会所学知识的重要意义，简化未来学习的经验储备。

数学学习是一个动态的过程，教学中要具有“四两拨千斤”的从容和智慧，不断扩大课堂的张力，让学生感受到有些数学问题比较复杂，直接解答过程会比较繁琐，如果在结构和数量关系相似的情况下，从更加简单的问题入手，找到解决问题的方法或建立模型，并进行适当检验，用正确的方法或模型去解决问题，“退”出海阔天空，“简”出优质高效，让思维碰撞出的智慧火花，彰显“以简驭繁”的教学魅力。