追寻思维“通透”的课堂

吴冬冬

摘  要：“为思维的通透而教”致力于在教学中帮助学生灵活建立关联，深度理解本质。在此过程中，学生积极的情绪参与是前提，将抽象思维、动作思维和形象思维协同起来是路径，厘清基本概念和基本关系是核心，积极的认知体验是源泉。

关键词：思维;通透;儿童情感;认知体验;情境

“通，意在建立沟通联系;透，意在揭示本质。”“‘为思维的通透而教着力于激发儿童‘思的兴趣、动力以及行为，培养思维的清晰性和挑战性，在帮助儿童灵活建立关联，深度理解本质的过程中，使儿童获得属于自己的发现，拥有属于自己的理解，努力实现‘不同的人在数学上得到不同的发展的课程愿景。”

“二进制的奥秘”一课正是在“为思维的通透而教”理念观照下，对苏教版四年级下册教材第18页中的“你知道吗”二度开发的一节数学拓展课。

【片段呈现与解读】

一堂课当然是完整的，但它又是由一个一个关联的片段合成的。解读每个片段，有助于我们对教学实践进行审视，从中归纳出“為思维的通透而教”的一般性规律——

情感带入：推测年龄的秘密

课堂伊始——

师：咱们今天初次相见，你们知道我有多少岁吗？但是，我却能知道你们每个人是多少岁，信吗？谁来试试？

（一学生自告奋勇。）

师：这里有6张写着数字的卡片，如果哪张卡片上出现了你的年龄，你就回答YES。

（右起第二、四张上出现该生年龄。）

师：你的岁数是10岁，对吗？

（生惊叹。）

师：神奇吗？你们也想拥有老师这样神奇的本领吗？等上完今天的数学课，你就明白了。

课堂结尾——

师：当我们认识了二进制，回过头来看看课前所玩的游戏。现在你们能明白老师是怎么推算出刚才那位同学的年龄的了吗？

生：把“有”换成1，把“无”换成0，就得到了一个二进制数（1010）2，右起第一个1表示2，第二个1表示8，合起来就是10。

师：了解了这个游戏的奥秘，老师到底是多少岁，现在你们能知道吗？右起第4张和第6张有我的年龄。

生：40岁。

这是一个融入二进制位置原理的数学游戏，6张卡片分别对应着二进制六个不同的数位， 1、2、4、8、16、32分别是这6个数位的计数单位。十进制数“1-63”由哪些二进制计数单位组成，那么这一张（位）上就出现该数。课堂开始，老师竟然能够准确地判断学生甚至其家长的年龄，这激起了学生强烈的好奇心，求知的欲望和探索的热情驱动着学生加速进入主动思维的快车道。课尾解密游戏，首尾呼应，在运用中增进了学生对二进制位置原理的理解，“求知—满足”的平衡感使儿童感到学习的无穷乐趣。

诱发冲突：出乎意料的计数器

师：这是我们都很熟悉的计数器，目前上面的算珠表示的数是几？（999）如果增加1，那是多少呢？为什么会变成1000？

生：个位满十要向十位进一，十位满十要向百位进一……

师：他的回答中提到了一个很重要的计数法则——满十进一，这样的计数法叫作——十进制计数法。老师这里还带了一个计数器，想请你们亲手拨一些数，谁来试一试？请你在上面拨出1，接下来请拨出2。

（每个数位上只有1个珠子，学生没办法拨了。）

师：用这个计数器能不能拨出2？如果能，怎么拨呢？同桌之间商量商量。

生：第一位再拨一个珠就是2，满二进一，那就在第二位拨一个珠。

师：这时第二位上的这个算珠表示？

生：2。

师：满了二就向前一位进一，这种计数法就是——二进制计数法。

十进制计数法是学生较为熟悉，甚至是根深蒂固的认知，已有的认知经验既为他们认识二进制起到了支撑作用，同时打破常规的思维方式对学生也是莫大的挑战。“在每位只有一个算珠的计数器上能不能拨出2，如果能，怎么拨呢？”这个问题情境让学生出乎意料，激发起学生强烈的好奇心和探究欲，集体的智慧迸发出思维的火花，突破思维定式，不能“满十进一”，那就“满二进一”。

碰撞汇果：揭开二进制的面纱

师：根据计数器上拨珠的情况，“2”在二进制中该怎么写呢？

（学生尝试。）

短视频相机介绍：17世纪，德国数理哲学大师莱布尼茨创建了二进制体系。在他看来，0和1象征从无到有，而一切数都可以用0和1来表示。例如，2由1，0表示。为了将其与十进制中的10区分开来，括号放在1，0的两侧，并且在右下角标上2。读作二进制一零。

师：用二进制计数法，3该怎么拨呢？用二进制表示3跟表示2相比，有了什么变化？新增的算珠为什么要添在右起第一位呢？能不能添到其他数位上呢？3在二进制中怎么写？读作什么？

师：接下来，4用二进制怎么表示呢？结合屏幕上的计数器说说你的想法。（课件相机演示）

师：5、6、7、8用二进制怎么表示？同桌合作，在计数器上拨一拨，并在研究单（一）上记录你们的发现。

（集体交流拨法、想法和写法。）

师：在刚才的研究过程中，你们除了发现5、6、7、8用二进制怎样表示，还有其他发现吗？

生：从右边起，第一位一个算珠表示1，第二位一个算珠表示2，第三位一个算珠表示4，第四位一个算珠表示8。

师：那再往前一位，一个算珠表示多少？为什么呢？

师：位数多了，就可以拨出一些更大的数了。同桌合作，试着完成信封里的研究单（二）。

师：27是怎么拨的？介绍一下你是怎么想的？

生：先在右起第5位拨一个算珠表示16，接着在右起第4位上拨一个算珠表示8，然后在右起第二位和第一位各拨一个算珠，合起来就是27。

师：你们还拨出了哪些数？最大是多少？最小呢？

这里创设了连续的操作情境，由浅入深、由扶到放，引领学生在尝试操作中不断反思、修正，从而获得新的发现，产生更深刻的领悟。操作情境共分三个层次：第一层次，全班共同研究3和4，尝试操作，辅助多媒体演示，在分析比较中帮助学生认识“满二进一”;第二层次，同桌合作，独立研究5—8，在讨论交流中进一步加深对“满二进一”计数方法的理解，引向对二进制位值的思考;第三层次，数值变大且不连续，“逼”着学生思考如何在操作中快速准确地拨数，加深对二进制位值原理的理解。这三个层次的活动融入观察、操作、分析、比较、抽象等一系列活动，以合作学习、踊跃展示等学习方式来碰撞出思维的火花，建构出知识的完整意义。同时，这也是一个从感性到理性的阶梯，使得学习由浅入深。

打通畅径：领悟二进制的本质

短视频：以前，在一些国家，杂货商店通常使用砝码天平来称商品。如果有一个顾客要买一盎司的薄荷糖，老板会先放一个一盎司的砝码在秤盘上，另一边的秤盘上放一个袋子，用来装薄荷糖。如果有人要买三十一盎司的薄荷糖，你认为杂货店老板会有31个一盎司的砝码，或者一个三十一盎司的砝码吗？事实上，他只要准备几个砝码，就可以称出31盎司以内所有整盎司重量的商品呢？

生：5個，分别是1、2、4、8、16盎司。

师：那如果想称出更重的商品，接下来得添上几盎司的砝码？添加这个砝码就可以称出多少盎司以内的整盎司商品？如果还想称出更重的商品，接下来又得准备几盎司的砝码？

（相机出示：1、2、4、8、16……每一个数都是前一个数的两倍，这一组数有个特别的名称——二进制数列。用二进制数列中的数，可以拼出从1开始的任意一个自然数。）

师：认识了二进制数和二进制数列，现在我们把二进制和十进制做个比较，你有什么想说的？

一方面，因为“满二进一”，所以二进制计数时只需用到“1、0”两个数字，各个数位的计数单位合起来形成了一个二进制数列，这是易于理解的;另一方面，又因为“用二进制数列中的数，每个最多用1次，就可以组合出从1开始的任意一个自然数”，所以二进制计数时只需用到“1、0”两个数字，而其他进制的计数单位则不具备这样的特征，从这种逻辑顺序理解二进制，对学生来说是困难的。汉声数学绘本《二进制数》将之镶嵌在“最少准备几盎司的砝码”这一具有现实意义的问题情境中，这个问题本身是复杂的，但又让儿童觉得是可感的、容易理解的。

实践体悟：感受二进制的应用

（出示视频：像二进制这样，只需用“1、0”表示数的方式，对计算机来说非常方便。由于计算机使用电子开关来传输信号和处理数据，因此每个电子开关只能接受“开”或“关”的信号，电脑则根据不同开关的“开”和“关”来思考，组合出任何数。）

师：我们不妨这样想——在二进制计数器的每个数位上安装一个灯泡，要表示5，就要打开哪些灯呢？表示80呢？

“二进制”在应用领域最突出的就是计算机，但要让小学生了解计算机是如何运用二进制的，其抽象的表述是难以让学生读懂和理解的。我们从汉声数学绘本《二进制数》中受到启发，直观演示了在二进制计数器的每个数位上装上一个灯泡，开表示1，关表示0，不同的数位表示不同的位值，这样，不同的开关组合就表示不同的二进制数，生动形象，便于学生将抽象的信息处理原理和已认识的二进制数沟通起来。“表示5应打开哪些灯？表示80呢？”在沟通中引导学生运用二进制的位值原理进行了二进制和十进制之间的转换。

【教学透视和感悟】

以上跟大家分享的是“二进制的奥秘”一课的教学片段，事实上，在所有数学教学中都蕴含着儿童、数学、教学，更准确地说是教育的一般规律和法则，这样三个维度的认识需要我们去建立，而我们往往在怎么做和怎么想方面缺乏一个桥梁，缺乏建立起联系的清晰认识和价值愿景。追寻思维通透的课堂，在教学时应建立哪些一般性的认识呢？

认识1：思维的通透一定是与儿童情感的激发相伴随的

积极的情绪参与是学习的关键，是思维通透的强大驱动力。李吉林老师在《中国式的儿童情境学习范式的建构》中指出：“儿童学习‘快乐、高效的核心秘密，就是情感活动与认知活动的结合。”因为“当知识镶嵌在多姿多彩的情境中，儿童会因美感、因好奇、因探究、因与经验相关、因情感共鸣……形成一种关注、探究而要学的需求。”“由于笼罩了积极情绪，思维得以进入最佳状态”，这样，“用无意识导引有意识”“用情感伴随理性”，促使儿童的潜能转化为“思维的力量”。

课堂伊始，我们通过“猜测年龄的秘密”“计数器上一定‘满十进一吗？”这样连续的“不可思议”去引起儿童无意识的心理倾向，激起他们强烈的好奇心。而后，对于“二进制的认识”，是在尝试操作、碰撞交流中去获得新的发现的，这样的活动情境没有任何压力，同时又充满着探索意味。具有挑战性的问题引发了认知冲突，认知的不平衡推动着儿童去琢磨、去求取自己的发现，新发现带来的快乐又会积淀为更稳定的学习情感。课堂最后，“现在你能准确地知道吴老师的年龄吗？”首尾呼应，学以致用。“关于今天的学习，你还有什么疑问？你还想研究什么问题呢？”又鼓励着学生产生新的学习动机。

认识2：思维的通透需要协同抽象思维、动作思维和形象思维

“数学是抽象的、逻辑的，但儿童学习数学并不意味着就是抽象，并非仅仅是逻辑。”我们都知道，儿童的思维是以具体形象思维为主要形式，所以儿童学习数学，应该是伴随着直观动作、生动形象的，这样为抽象逻辑思维提供支撑和依托。同时，基于直观的、感性的经验基础，透过现象研究数学本质，感性经验就上升为理性的认识。因此，直观动作思维、具体形象思维和抽象逻辑思维往往相互交织，相互补充，协同作用构成了儿童思维从感性到理性的通道。

仔细剖析，课堂上每一个概念的建构都是基于学生操作或直观观察基础上的。比如，抽象的“二进制”符号系统对于儿童来说是难以理解的，我们把它镶嵌在“拨珠计数”的活动情境中，起初以直观动作思维和具体形象思维为主，后来自然过渡到以抽象逻辑思维为主，不是简单地用一种思维去替换另两种思维，而是通过这样的组合协同，引领儿童摸索出一条通往未知世界深处的求知路径。又比如，在认识二进制计数单位时，我们把它镶嵌在“最少要准备多少种不同质量的砝码？”这一问题情境中，依托具体的、可感的学习资源，促进儿童把形象思维与抽象思维结合起来。再比如，在认识“二进制在计算机中的运用”时，又把抽象的运算原理通过生动形象的方式进行演示。对小学生的思考来说，直观的形式、多样的视角，容易达成数学抽象，顺利形成理性认识。

认识3：思维的通透在于厘清基本概念、打通基本关系

数学研究首先是把生活中與数量、图形有关的内容抽象成概念，然后再设法抽象出概念间的关系。若想达成思维的通透，就必须抓住基本概念和基本关系，灵活建立概念的关联为“通”，深度理解概念的本质为“透”。

学生从字面上理解“满二进一”的含义是容易的，但具体到如何用“满二进一”来计数就没想象中那么轻松了。比如，在2的基础上，用计数器拨3时，有学生认为在右起第一位再拨一个算珠，有学生认为将右起第二位算珠去掉，在右起第三位拨一个算珠。意见不一致暴露了学生真实的认知状态，在交流碰撞中，学生逐渐达成共识，增加的1应拨在右起第一位上，右起第一位一个算珠表示“1”，右起第二位一个算珠表示“2”。趁热打铁，“‘4怎么拨？你们是怎么想的？”此后，在交流“5-8”的拨法时，先在电子计数器上拨，再结合实体计数器比较前后两个数的变化，使得学生对二进制的计数法则逐渐熟练起来。

当然，教学止步于此，学生对“二进制”概念的认识还不算真正吃透。二进制属于位值制计数法，还需进一步探索二进制的位值原理。在此，教学从三个层次依次揭示：第一层次，在自主探索“5-8”用二进制如何表示的过程中，学生交流发现右起第一位到第五位的计数单位;第二层次，所表示的数值变大，“逼”着学生运用计数单位组合来快速拨数;第三层次，在思考“最少准备几盎司的砝码”时，感悟用二进制的计数单位可以组合出从1开始的任意一个自然数，而且每个计数单位只需要用一次。这也就从本源上揭示了二进制计数法只需用0和1即可表示出所有自然数。

概念重要，关系更为根本。“认识了二进制数和二进制数列，现在我们把二进制和十进制做个比较，你有什么想说的？”有了透彻理解概念的基础，学生从计数方法、计数单位、读写法、数字组成等不同的角度进行了比较，不仅厘清了区别，同时也建构起两者之间的联系，形成了知识的网络结构。

认识4：思维的通透形成于积极的认知体验

李吉林老师将“中国式儿童情境学习的范式”概括为：择美构境，境美生情，以情启智，把情感活动与认知活动结合起来，引导儿童在境中学、思、行、冶。笔者是这样理解的：“学、思、行、冶”作为情境学习的四个维度，它们彼此间是密不可分的。没有纯粹的“学”，“学”一定是与“审美陶冶”相伴，通过“思”和“行”的方式来达成的;也没有纯粹的“思”，“思”一定是以“学”为载体，以“行”为途径，以“冶”为境界的。

教学中，引导儿童在操作情境中主动建构二进制的计数方法，在“最少要准备多少种不同质量的砝码”这个生活情境中感悟二进制计数单位的独特性，在联系生活中感受二进制的价值，在“猜年龄”游戏中体验数学的奇妙。我们将知识嵌入各种情境中，引导儿童经历尝试操作、逻辑推理、抽象概括，这样，儿童的“学”不再是孤立的、抽象的符号，而是有场景、有角色的，儿童的“学”也不只局限于认知的活动，更有了情感的融入、实践的体验、思维的激发、审美的陶冶，这使得认知活动成为积极的体验过程。

当然，思维的发展最终指向的还是儿童的全面发展。儿童在课堂上为求知而乐，为探究、发现而兴奋、激动，活动其间，儿童的收获远比教学设计预期目标还要丰富得多、广阔得多，呈现出生命的多元色彩。