MATLAB在求解常微分方程积分因子中的应用

邓丽莹 梁倩倩 罗媚 李丽洁 冯瑜

摘要：积分因子法是解一阶微分方程的有效的方法，本文利用MATLAB编程求解四种常见的一阶微分方程的积分因子，继而快速地求解微分方程，提高解题效率.

關键词：常微分方程;积分因子;MATLAB

1 概述

在自然科学中，一般地，与导数相关的问题都可用微分方程来描述。但只有极少数的常微分方程中可求出解析解，不过，若求得微分方程的解析解，便可获取函数性质，因而寻找微分方程的解析解占有重要地位。[1]一阶常微分方程的求解没有一般的方法，针对各种类型方程可用一些技巧，如分离变量法、常数变易法、积分因子法、变量替换法等可化为可积分的方程而求得解析解。

在常微分方程课程中，为解决非恰当微分方程转化为微分方程求通解的问题而引入了积分因子，积分因子的求法传承了偏导数在方程中的运用，为微分方程的求解结果创造了条件。[2]鉴于积分因子的不唯一性和求解过程的复杂性，因此在求解积分因子的过程中有效地利用数学软件Matlab来求解是很有必要的。

MATLAB自身强大的计算和绘图功能使得它在数学专业课程中具有广泛的应用。它不仅在数学分析、高等代数等课程中会应用到，在常微分方程课程中同样也会应用到。

本文将对利用Matlab提供的功能和计算机的速度对求解常微分方程（组）积分因子的算法进行总结和归纳，试图提高求解常微分方程的效率。下面介绍积分因子的定义和几类积分因子存在的充要条件，并通过应用MATLAB编程求解微分方程几类常见的积分因子，并辅以实例说明。

3 总结

本文首先介绍微分方程积分因子的定义和几类常见微分方程积分因子存在的充要条件，之后利用Matlab编程，试图快速求解微分方程几类常见的积分因子，继而求解微分方程提高解题效率，最后辅以实例说明。

参考文献：

[1]耿翊翔.具有5次强非线性项波方程的解析解[A].云南：曲靖师范学院学报，2005.5.

[2]寸得偶.积分因子求法探讨[J].云南：文山学院学报，2016.

[3]王高雄，周之铭.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1983：5556.

[4]唐洪浪.用MATLAB符号工具箱编程求常微分方程的通解[J].河南：洛阳师范学院学报，2005.

[5]潘鹤鸣.几种特殊类型积分因子的求法及在解微分方程中的应用.安徽：巢湖学院学报，2003.5.

[6]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M]第三版.高等教育出版社，2007.

项目：该论文由玉林师范学院大学生创新创业项目（201710606146）和玉林师范学院校级教改项目（2017XJJG23）资助完成