高温作业专用服装设计

郑钰亭 唐祖江

摘 要：本文主要对高温作业下专用服装设计进行研究，根据模拟实验给出的条件为环境温度75℃、Ⅱ层厚度6mm ，Ⅳ层厚度5mm 、工作时间为90分钟，所测假人皮肤外侧的温度见附件2。通过建立数学模型，计算专用服装每层的温度分布。

首先，以附件2中外层皮肤温度与时间的数据为依据，并根据热量在相同时间内，热流速率相等的条件下，物质所吸收热量相等原理，推导出一维热传导偏微方程，然后利用逆向思维法即就是以第Ⅳ层为起始点来推导出前三层的温度分布情况，建立第Ⅰ层、第Ⅱ层、第Ⅲ层和第Ⅳ层各自的一维热传导偏微方程组模型，利用MATLAB 软件对模型进行求解得出每层的温度分布情况（见支撑材料中Excel 文件），求出第Ⅰ层与外界环境交界处的温度为74.11℃ ，而该温度与题中环境温度75℃ 有一定误差，误差率为0.011% 。

关键词：一维热传导偏微方程

一、基本假设

1.专用服装的每一层处处都是均匀分布的。

2.专用服装的每层之间的温度是连续的变化不会发生突变情况。

3.外界温度与专用服装的传递过程视为温度垂直于隔热服传递，即为一维热传递。

二、问题模型建立与求解

2.1问题分析

专用服装并不是由单一的材料组成而是由三层织物材料构成，且在附件2中可知每层材料的密度、厚度、比热和热传导率的数值。由于环境温度大于专用服装的温度则会发生热传导。热传导的规律是从高温流向低温，因此环境温度中的热量必然会流向专用服装并依次穿过每层。

为了简便问题，只考虑热量垂直穿过服装。因为温度与时间、位置有关，由于外层皮肤温度已知，每层材料的密度、厚度、比热和热传导率已知，利用逆推思想先对第Ⅳ层建立一维热传导偏微方程模型，之后把所求的第Ⅳ层偏微方程作为求第Ⅲ层的偏微方程条件，依此类推，求出第Ⅰ、Ⅱ层的偏微方程。通过所求出的一维热传导偏微方程计算出第Ⅰ层的温度，并把该温度与温度 为做比较，最后进行误差分析。

2.2热方程的推出

首先，假设所研究的对象是一根由单一材料组成的细杆，记杆的任意一点为x，杆的总长记为L，则：0≤x≤L 。t时刻△V内的热量Q为：△Q=cρu△V

由于温度u与位置x、时间t有关，设截面积为s，初始位置为a，末位置为b，长度元为△x=b-a，得到热量的积分式：

因温度u的热流速度跟u的长度成反比，与截面积s成正比，所以记 时刻的位置为a，在t+△t时刻的位置为b，且a位置的温度大于b位置的温度。由此得出热量的表达式： ，令 ，根据微分基本定理可得：

2.3 一维热传导偏微方程建立

由于构成每一层的织物材料是不相同的，因此每层的属性不同其吸收的热量也就不同则隔热效果就会有差异。分析可知，环境温度中的热量与专用服装进行热传导的过程是大面积的发生，为了使问题简单化，把穿过衣服的一条直线作为研究对象。已知Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ的密度、厚度、比热和热传导率，根据推出的一维热传导偏微方程建立第Ⅰ层、第Ⅱ层、第Ⅲ层和第Ⅳ层的每个一维热传导偏微方程组。

根据上面的分析，当第Ⅳ层与外层皮肤的交界点温度趋于稳定时，温度为48.08℃ 。

k4——第Ⅳ层的导热系数与比热和密度的比值

把第Ⅳ层所求的结果作为求第Ⅲ层的偏微方程的条件，则可推出第Ⅲ层的偏微方程组，把第层Ⅲ所求的结果作为求第Ⅱ层的偏微方程的条件，则可以推出第Ⅱ层的偏微方程组，又把第Ⅱ层所求的结果作为求第Ⅰ层的偏微方程的条件，其中边界条件为，当则l=0时，t=75℃，则第Ⅰ层的偏微方程组为：

2.4模型求解

經过分析，第Ⅰ层与第Ⅱ层交界点处的温度，正好是热量穿过第Ⅰ层末的温度也是热量穿过第Ⅱ层初始时的温度；第Ⅱ层与第Ⅲ层交界处的温度，正好是热量穿过第Ⅱ层末的温度也是热量穿过第Ⅲ层初始时的温度；第Ⅲ层与第Ⅳ层交界处的温度，正好是热量穿过第Ⅲ层末的温度也是热量穿过第Ⅳ层初始时的温度；第Ⅳ层与外层皮肤交界点处的温度，正好是热量穿过第Ⅳ层末的温度也是热量穿过外层皮肤初始时的温度。因此，把每一层的偏微方程进行合并，成为一个偏微分方程组，并把该方程组看成一个整体求解。求解如下：

1、根据附件所给出第Ⅰ层、第Ⅱ层、第Ⅲ层和第Ⅳ层的密度、厚度、比热和热传导率。可以求解出ki 的数值。

2、通过泰勒展开式处理技术得到离散化计算公式：

3、由 ，令上述两个方程组对应相等，利用MATLAB 软件对偏微方程进行求解，求解出最外层与环境交界点的温度为：74.11℃ 。

2.5误差分析

实际环境温度：75℃ ，所求出的环境温度74.11℃ ，误差率0.011% 。

把逆推求出的外界初始度与原初始温度相互比较，发现有误差 ，通过对建模和求解过程的思考，发现除了采用差分法计算产生的误差外，还有在计算过程中产生的误差，在热传导过程中，能量从第Ⅰ层到第Ⅱ层以及传到第四层时有一定的传导时间，在逆推计算时，从第四层推到第三层时，我们是从0时刻就开始逆推，所以会有误差。

参考文献：

[1]张艳，黄震，叶萌，李泽妤.利用分数阶微分方程模拟一维热传导问题[J].北京建筑工程学院学报，2013，29（04）：62-64.