一类四维超混沌Lorenz型系统的动力学行为

谈鑫杰 李丽洁 覃凤梅 景瑶昊

摘 要：本文通过构造李雅普诺夫函数，借助最优化理论，讨论一种四维超混沌Lorenz型系统的全局渐近稳定性、全局指数吸引集、正向不变集等问题，并运用数值模拟验证结果。

关键词：全局渐近稳定;全局指数吸引集;正向不变集;超混沌Lorenz型系统

1 绪论

上世纪80年代末，R.Mhatews提出混沌加密思想后，混沌序列加密方法迅速成为现代密码学的研究热点，[1]现在其应用前景最广领域为图像大数据加密处理.近年来，混沌控制与同步成为混沌保密通讯实用化研究的热点，我国也在《国家中长期科学和技术发展纲要（2006-2020）》将其列为重点研究领域.

自Rossler首次报道超混沌后，其在加密处理、安全通讯、流体混合、非线性电路、生物网络等领域相继显现巨大应用潜力[2-3].在混沌加密方面，考虑到高维混沌系统在大数据加密方面生成超混沌密钥的时间开销较大，故建立更为复杂的混沌系统模型，也就成为了提高大数据加密性能的思路之一。[4-5]

2014年Yuming Chen等在文献[2]中研究了一类四维超混沌Lorenz型系统：

x·=a（y-x）， y·=bx-cy-xz+w， z·=-dz+xy， w·=-ky-rw， （1）

其中 x，y，z，w 是系统状态变量， a，b，c，d，k，r 是实参数。[2]

当 a=12，b=23，c=1，d=2.1，k=6，r=0.2 时，取初始值 （3，5，30，10） ，则李雅普诺夫指数分别为 λ LE 1=0.1740，λ LE2 =0.1314，λ LE3 =0.0000，λ LE4 =-15.6059 ，这意味着系统（1）处于超混沌状态，该系统超混沌吸引子MATLAB模拟如图1所示。图像与Lorenz系统吸引子图像类似，因此称其为Lorenz型四维超混沌系统。[2，6]

文献[2]研究分析了超混沌系统（1）平衡点的稳定性，分岔和Hopf分岔等局部动力学行为，以及同宿轨道和异宿轨道的存在性。[2]

本文将研究超混沌系统（1）的全局渐近稳定性、全局指数吸引集、正向不变集等问题，并运用MATLAB R2017a进行数值模拟仿真以验证结果的准确性。

2 全局稳定性

定理1

当 a>0，d>0，k>0，r>0，a+bk

x·=a（y-x）， y·=bx-cy-xz+w， z·=-dz+xy， w·=-ky-rw，

（2）

证明构造广义正定、径向无界的李雅普诺夫函数

V（x，y，z，w）=12（x 2+ky 2+kz 2+w 2） ，

则

V·=x[a（y-x）]+ky（bx-cy-xz+w）+kz（-dz+xy）+w（-ky-rw）

=-ax 2-kcy 2-kdz 2-rw 2+（a+kb）xy

=-（xyzw）a-a+kb200 -a+kb2kc00 00kd0 000rx y z w

=-（xyzw）Ax y z w

当 a>0，d>0，k>0，r>0，a+bk

根据文献[8]定义2.6及定理2.1，可得系统（1）的平凡解是全局渐近稳定的，定理1成立。

[2，6-8]

取参数 a=1，b=12，c=3，d=1，k=2，r=1 ，初始值为 （3，5，30，10） ，系统（1）随时间变化轨迹曲线如图2所示，平凡解确为全局渐近稳定。

3 全局指数吸引集和正向不变集

定理2

当系统（1）在 a，b，c，d，k，r>0 的情况下，令

V（x，y，z，w）=12x 2+ky 2+ kz-a+bkk 2+w 2 ，

其中 l1=d2k （a+bk） 2 ， L=l1l0 ，存在全局吸引指数集估计式： V（x（t））-LSymbolcB@

（V（x（t0））-L）e -l0（t-t0） ，特别地，

Ω  = xV（x）SymbolcB@

L，tt0

=x12[x 2+ky 2+k （z-a+bkk） 2+w 2]SymbolcB@

L，tt0

为系统（1）的全局指数吸引集。

证明 构造广义正定、径向无界的李雅普诺夫函数

V（x，y，z，w）=12[x 2+ky 2+k （z-a+bkk） 2+w 2]

则

V·=x（ay-ax）+ky（bx-cy-xz+w）+k（z-a+bkk）（-dz+xy）+w（-ky-rw）

=-ax 2-cky 2-dkz 2-rw 2+（a+bk）dz

=-12[ax 2+cky 2+dk （z-a+bkk） 2+rw 2]  -12ax 2-12cky 2+12dk （z-a+bkk） 2-12rw 2-dkz 2+（a+bk）dz  SymbolcB@

-l0V+F（z）SymbolcB@

-l0V+l1

其中

l0= min {a，c，d，r}，l1=F （z） max =12dk （a+bk） 2，L=l1l0 ，

F（z）=12dk （z-a+bkk） 2-dkz 2+（a+bk）dz

根据微分方程比较原理得：

VSymbolcB@

e -∫l0dt（∫Le ∫l0dtdt+c1）=l1l0+c1e -l0t=L+c1e -l0t

从而当 V（x（t））>L，V（x（t0））>L 时，有全局指数估计式 V（x（t））-LSymbolcB@

（V（x（t0））-L）e -l0（t-t0） 。

对估计式取极限可得   lim  t→SymboleB@

V（x（t））SymbolcB@

L 。

因此可得到系统（1）的全集吸引指数集及正向不变集为

Ω  = xV（x）SymbolcB@

L，tt0

=x12[x 2+ky 2+k （z-a+bkk） 2+w 2]SymbolcB@

L，tt0 。

即系统的吸引子轨线被 12[x 2+ky 2+k （z-a+bkk） 2+w 2]SymbolcB@

L 的椭球包裹着。

定理3

当系统（1）在 a，b，c，d，k，r>0，h<-b4 的情况下，令 V（x，y，z，w）=12（2b+8ha）x 2+y 2+ （z-4h） 2+1kw 2 ， l1=16dh 2 ， L=l1l0

存在全局吸引指数集估计式 V（x（t））-LSymbolcB@

（V（x（t0））-L）e -l0（t-t0） ，特别地，  Ω  = xV（x）SymbolcB@

L，tt0

=x12（2b+8ha）x 2+y 2+ （z-4h） 2+1kw 2SymbolcB@

L，tt0 為系统（1）的全局指数吸引集。

证明

令

V（x，y，z，w）=12（2b+8ha）x 2+y 2+ （z-4h） 2+1kw 2

为广义正定，径向无界的李雅普诺夫函数，则

V·=（2b+8ha）x（ay-ax）+2y（bx-cy-xz+w）+（z-4h）（-dz+xy）+2kw（-ky-rw）

=-2（2b+8h）x 2-2cy 2-2dz 2-2rkw 2+8dhz

=-[12（2b+8ha）ax 2+cy 2+d（z-4h） 2+1krw 2]-（b+4h）x 2-cy 2-dz 2-1krw 2+16dh 2SymbolcB@

-l0V+l1

其中 l0= min {2b+8h，2c，2d，2rk}，l1=16dh 2，L=l1l0

根据微分方程比较原理得：

V·SymbolcB@

-l0V+l1

VSymbolcB@

e -∫l0dt（∫Le ∫l0dtdt+c1）=l1l0+c1e -l0t=L+c1e -l0t

当 t=t0 时，

V（x（t0））=c1e -l0t0+L ，

可得 c1=（Vx（t0））-L）e l0t0 ，

从而当 V（x（t））>L，V（x（t0））>L 时，有全局指数估计式 V（x（t））-LSymbolcB@

（V（x（t0））-L）e -l0（t-t0） 。

對估计式取极限可得：   lim  t→SymboleB@

V（x（t））SymbolcB@

L 。

因此可得到系统（1）的全集吸引指数集及正向不变集为

Ω  = xV（x）SymbolcB@

L，tt0

=x12（2b+8ha）x 2+y 2+ （z-4h） 2+1kw 2SymbolcB@

L，tt0 。

即系统的吸引子轨线被 12（2b+8ha）x 2+y 2+ （z-4h） 2+1kw 2SymbolcB@

L 的椭球包裹着。

[2，9，10]

4 数值模拟

取 a=12，b=23，c=1，d=2.1，k=6，r=0.2 ，初始值为 （3，5，30，10） 时，根据定理2知

l1=3937.5，l0=0.2，L=19687.5 ，那么 x 2+6y 2+6 （z-25） 2+w 2SymbolcB@

（198.43） 2 。

从而 x 2+6y 2+6 （z-25） 2SymbolcB@

（198.43） 2 ，

x 2+6y 2+w 2SymbolcB@

（198.43） 2 ，

6y 2+6 （z-25） 2+w 2SymbolcB@

（198.43） 2 ，

下面模拟x-y-w的相图及其全局指数如图3所示。

取 a=12，b=23，c=1，d=2.1，k=6，r=0.2，h=-08 ，初始值为 （3，5，30，10） 时，根据定理3知 l1=21.50，l0=007，L=322.56 ，那么 1.65x 2+y 2+ （z+3.2） 2+16w 2SymbolcB@

（17.96） 2 。

从而

1.65x 2+y 2+ （z+3.2） 2SymbolcB@

（17.96） 2 ，

1.65x 2+y 2+16w 2SymbolcB@

（17.96） 2 ，

y 2+ （z+3.2） 2+16w 2SymbolcB@

（17.96） 2 ，

下面模拟x-y-w的相图及其全局指数如图4所示。

比较定理2和定理3条件下，系统（1）混沌吸引子的界的范围的模拟仿真结果，可直观得出定理3条件下：

当 a，b，c，d，k，r>0，h<-b4 ，令

V（x，y，z，w）=12（2b+8ha）x 2+y 2+ （z-4h） 2+1kw 2 ， l1=16dh 2 ， L=l1l0 ，

系统（1）的界  Ω  =

x12（2b+8ha）x 2+y 2+ （z-4h） 2+1kw 2SymbolcB@

L，tt0 更优。

5 结论

本文在Chen等构建的四维混沌系统的基础上，利用李雅普诺夫函数方法研究了该系统的全局稳定性和全局指数吸引集，得到了四维椭球估计，最后应用MATLAB模拟仿真验证了结果。

参考文献：

[1]R.Mhatews.On the derivation of a chaotic encryption algorithm，Cryptrologia，1989，29-42.

[2]Yuming Chen，Qigui Yang.Dynamics of a hyperchaotic Lorenz-type system[J].Nonlinear Dynamics，2014，77（3）.

[3]廖晓昕，徐炳吉，YU Pei，陈关荣.Chen混沌系统全局指数吸引集和正向不变集的构造性证明及应用[J].中国科学：信息科学，2015，45（01）：129-144.

[4]C.Zhu，C.Liao，X.Deng.Breaking and improving an image encryption scheme based on total shuffling scheme.Nonlinear Dynamics，2013，71（1-2）：25-34.

[5]C.Zhu，S.Xu，Y.Hu，K.Sun，Breaking a novel image encryption scheme based on Brownian motion and PWLCM chaotic system.Nonlinear Dynamics，2015，79（2）：1511-1518.

[6]杨洪亮，张付臣，舒永录，李云超.一个新三维类洛伦兹系统的最终有界集和正向不变集及其在同步中的应用[J].山东大学学报（理学版），2010，45（09）：83-89.

[7]鞠培军.广义Lorenz系统全局稳定的充要条件及其在混沌控制中的应用[J].山东大学学报（理学版），2012，47（10）：97-101.

[8]刘春美.Lyapunov方法在系统稳定性理论上的应用[D].东北师范大学，2010.

[9]Aimin Liu，Lijie Li.Global dynamics of the stochastic Rabinovich system.Nonlinear Dynamics，2015，81：2141-2153.

[10]张付臣，舒永录，李云超.论类洛伦兹混沌系统的全局指数吸引集及应用[J].计算机工程与应用，2011，47（25）：245-248.

[11]Gao T，Chen Z.A new image encryption algorithm based on hyper-chaos.Physics Letters A，2008，372（4）：394-400.

[12]Luo Qi，Liao Xiaoxin，Zeng Zhigang.Sufficient and necessary conditions for Lyapunov stability of Lorenz system and their application[J].Science China（Information Sciences），2010，53（08）：1574-1583.