放缩法在高中数学数列中的应用

唐悦容

摘 要：数列与不等式在高中数学中占有举足轻重的地位，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。为了更好地掌握此部分相关内容，本文就通过高考的一些经历经验，以数列和不等式作为探讨对象，以放缩法作为基本方法，通过对高中数列与不等式的分析，阐述放缩法在其中的巧妙应用。

关键词：放缩法;高中数列;不等式运用

对放缩法的应用把握就是指对放缩力度的大小，以及放缩精细的程度，以达到预定的标准[1]。通过对迅速的找到解题突破口，逐渐培养学生严谨的思考能力和学习兴趣，发现数学中数列不等式的内在魅力，认识到放缩法在解决此类问题中的有效性。

1.放缩法在数列中的分类应用

1.1取舍的放缩形式

在实际计算中可以通过观察题目取舍一些项的放缩形式来达到预期结果，例如在使用放缩法处理多项式的过程中，就可以采用增添或舍去项的放缩形式来进行结果运算。

1.2通项公式的放缩形式

利用式子中通项式子的基本特点对式子的每一项进行放缩达到化简求和的目的。

1.3逐步放缩的形式

假如面临的是多个不同样式的放缩结果，并且出现了结果之间的互异性，最简便的办法就是对计算逐步进行，这种放缩方式可以最大限度的提升放缩的精度大小。

1.4部分放缩形式

为了避免在放缩过程中出现超出预期效果的大小范围，就采用了一部分另部分进行相应变化的部分放缩形式。

1.5利用基本不等式的放缩形式

基本不等式的放缩主要就是利用运算过程中存在可以推导得出的等式，或是利用已经存在的等式，对存在组合性质的元素进行等式重构，并对残留的部分执行放缩过程。基本不等式的放缩形式最大的优势就是对精度的提升，方便解题的准确性和便捷性。

1.6放缩法及常见的放缩技巧

放缩法总结以及实际题目中经常用到的放缩技巧。

放缩法：实则就是放寬或缩小不等式值的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其按要求证明题目的目的。

2函数单调性的放缩法形式

参照具体的题目类型和所提供的信息，对不等式架构进行重构，得到新的单调函数，并对其进行下一步放缩，从而得到结果。比如说：在某例题中为求任何正整数对于等式都成立的问题，就可以对其进行单调函数放缩，因为直接做差，难以找到切入点，而得到该函数的单调性能却是比较容易的，定义域的范围为正整数范围，排除导数的可能性，通过计算可以找到解题思绪，但是依然困难重重，很难下手。但是，数列有着特殊的函数性质，它呈现的是一种单调状态，就会得到函数存在的单调特点。[2]

以上例题运用了函数单调性来证明数列不等式，把数列转化为函数，通过求函数的单调性来呈现数列增减的特点，然后放缩达到证明的目的。

放缩变形在根本上区别于恒等变形，放缩变形无论是在形式上，还是空间上都给人们提供了更多的可能性，可以自由的创造更大空间和添加更多计算的局部内容。使得放缩后的计算形式达到简化效果，结构明了，具体一定的规律性，从而很好的解决问题，实现放缩形式作用的最大化。

3采用放缩形式的注意事项和方法

首先对于放缩法，我们要做到对于放缩的大小和方向要心中有数，无论是放大还是缩小都必须是根据要证明的结论而言，针对的大小数值呈现反向状态，也就是计算结果大于标准项则进行缩小，小于标准项则进行扩大。除此之外，针对放缩的项数可以分别从第一、二、三等项开始，也可以不必是针对所有的存在项进行统一放缩。在放缩法的一般形式与常用技巧中，第一种是对于根式的放缩形式;第二种是对于分式分子分母的大小缩放，适用的规律一般是真分数分子分母一起减掉同样的正数，呈现变大趋势，假分数的分子分母一起减掉某个正数，呈现的是递减趋势;第三种是在传统不等式的基础上进行放缩操作，第四种是对于二项式的定理收缩形式，第五种是针对特殊情况采用添加或者舍弃某些项数来达到证明的目的。

高中阶段所学习的证明数列不等式的方法包括：重要不等式法（例如运用均值不等式解决）、作差比较法（一般用于两个不能直接求出单调性的数列函数）、先求和再放缩（一般用于基本有规律的数列不等式求和）、先放缩再求和（一般用于直接可以看出放缩范围的两个数列通项）、数学归纳法、构造数列法，函数单调性法等等，都是基于“放缩”即放大和缩小的基础之上，对不等式进行变形，对原式子进行化简，以至得到我们想要的结果。所以，“放大”与“缩小”的“度”应该要做到不多不少，恰到好处。数学是精密而准确的学术学科，需要我们对于数学的一切讲究“有理可循，有据可依”，放缩法对数列不等式的证明是锻炼我们的思维能力和逻辑推理能力，需要我们严谨的逻辑思维和精密的计算能力。“放大”与“缩小”的“度”，更是我们思维是否严谨，计算是否精密的一个直观体现。

4结束语

综上所述，正确把握收缩尺度的大小，对于放缩法的正确运用具有极其重要的意义。必须通过不断的思考锻炼和思维逻辑训练，认识到题目本质的考察方向特性，才能对计算流程和放缩过程有一个足够的认识，把复杂的解题过程规模化、结构化。比如说在构建函数的过程中，如果前后的不等号出现差别，无法对其单调性进行准确判断，这时运用单调函数这个方法去解决该类问题就显得不合时宜。进行略微的调整，在同样的中心问题下，可以采取利用不同的方式进行解决不同的问题。

参考文献：

[1]朱占奎.放缩应适度证明就有路[J].中学数学月刊，2007（03）：23-25.

[2]董入兴.放缩“失控”的调整初探[J].中学数学，2007（01）：64-68.