多项式曲面高程拟合方法探讨

吴扬扬

摘要：本文主要介绍了多项式曲面法的基本原理，然后分别采用一次、二次、三次多项式曲面法对具体区域的高程数据进行计算，通过对高程拟合的精度进行对比和分析，总结多项式曲面高程拟合方法的应用特点。

关键词：多项式曲面； 高程拟合；精度

GPS高程拟合是大地水准面精化的主要内容，是大地测量学研究的基本内容。GPS高程拟合涉及到三类高程系统，分别为正高系统、正常高系统和大地高系统。正高是以大地准面为基准的高程，正常高是以似大地水准面为基准的高程，大地高是以参考椭球面为基准的高程[1]。我国通常采用正常高系统。

正常高和大地高之间的差距叫做高程异常。大地高H、正常高h和高程異常之间的关系为：

H=h+ε

（1） 本文主要结合具体算例，分别采用一次、二次、三次多项式曲面法进行高程拟合，总结多项式曲面拟合方法的特点。

1 多项式曲面拟合法

多项式曲面拟合的数学模型为：

（2）

式中εi为i点的高程异常值，其坐标为（ ）， （ ）为模型参数。式（2）对应的误差方程为：

（3）

其中 为已知联测点i的高程异常值。如果有n个已知点，那么m次多项式可以改写成矩阵形式：

（4）

其中m，n需满足条件 ，令 ，在式（3.12）中，

， ，

，根据最小二乘原理可得：

（5）

根据式（5）求出模型参数后即可确定模型式（2），然后根据式（2）即可求出待求点的高程异常。

有时实际计算中为了保证计算的稳定性，我们采用区域中心点的坐标（x0，y0）作为原点，用坐标差来代替原始坐标参与计算，即将模型表示成（△xi，△yi）的函数，其中 ， 。

常用的多项式曲面拟合方法有一次曲面拟合（平面拟合）、二次曲面拟合、三次曲面拟合。

2 算例分析

某区域大约50km2，该区域联测了21个控制点，其正常高和大地高都是通过观测计算获得的，那么该区域的高程异常数据可以通过计算获得。采用多项式曲面拟合法（一次，二次，三次）拟合该区域的控制点，针对区域内的9个点，10个点，11个点，12个点，13个点作为参加拟合的已知的控制点，其余的点作为检核点，计算各自的内符合精度和外符合精度，因为三次曲面模型的必要条件是10个点，所以三次曲面模型不参与9个点和10个点的拟合，如表1，表2，表3，表4，表5所示。

综合上述各表可以看出，对于该区域来说，相比一次曲面拟合法和二次曲面拟合法，多项式三次曲面拟合法的内符合精度和外符合精度较高，高程异常的残差比较小，拟合效果会更好。

3结束语

已知控制点的个数的选择对于拟合精度有着一定的影响，从本文算例各表的比较中可以发现点数的不同对内符合精度和外符合精度的影响。测区中联测GPS水准点的点数，应根据实际测区的大小，测区内控制点的密度情况而决定，但布设的点数不能少于选用计算模型中未知参数的个数。多项式曲面高程拟合方法根据区域的具体情况选择适合的次数，高程拟合的精度可以达到厘米级。

参考文献：

[1] 刘大杰，施一民.全球定位系统（GPS）的原理与数据处理.上海：同济大学出版社，2006，15～16

[2] 刘谊，汪民主.GPS高程二次曲面拟合及其程序[J].矿山测量，2004，（2）：12～14

[3] 郑红晓，雷伟伟.二次曲面拟合法在区域似大地水准面精化中的应用[J].铁道勘察，2008，（2）：24～27

（作者简介：沈阳市勘察测绘研究院有限公司）