单管冻结温度场演变规律分析及试验验证

马芸 夏锦红 桂超

摘要：為了研究土中水相变（潜热）热传导过程中冻结温度场演变规律，构建了稳定线性冷源作用下单管冻结相变温度场模型，由变量替换法求得冻结温度场随冻结时间演变规律近似解析解，同时利用指数积分函数解析式表达了冻结区和未冻结区的温度场分布，并将理论解析解与冻结槽试验结果进行比对。研究表明：理论与试验结果误差在合理范围内，验证了瞬态冻结温度场分布近似解析解的有效可靠性;单管冻结锋面半径和冻结时间有着平方根关系;冻结温度场在时空维度上服从对数分布，且曲线曲率随冻结时间的增加而逐渐减小。研究成果对认识稳定线性冷源作用下冻结管周围不良地基土温度场演变规律和指导冻结法施工技术有重要意义。

关键词：冻结温度场; 相变; 冻结锋面半径; 理论解析; 冻结槽试验

中图法分类号： TD265.34文献标志码： ADOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2019.02.030

目前，限于对冻融过程、冻土参数、冻结区域的有限认识，导致在施工过程中为了所谓“绝对安全”而采取过大的冻结区和过低的冻结温度，从而引起冻结区土体过大的冻胀和融沉，最终导致过长的工期和能源浪费。因此，在保障冻结法施工安全的前提下，合理确定冻结区域和冻结温度就显得非常重要[1]。

目前，人工冻结温度场演变规律研究主要有理论解析、现场实测（冻结试验）和数值模拟3种方法。其中，在理论解析方面，不少学者[2-6]针对冻结温度场演变规律进行了研究。另外，文献[7-10]基于现场实测资料（冻结试验）方法及文献[11-14]基于数值模拟计算方法研究冻结温度场变化结果对于冻结温度场演变规律的理解、分析和解释也较为重要。然而，单管冻结温度场演变规律的准确解析表达是研究多冻结管温度场的基础前提。目前，考虑土中水相变（潜热）热传导过程的冻结温度场演变规律研究还不成熟，且已有研究结果大多未得到有效可靠验证。

由此，将单根冻结管简化为轴对称平面热传导问题，结合冻结锋面将受影响的土体温度范围划分为冻结区和降温区，采用变量代换法求解相变热传导方程，同时基于指数积分函数的级数展开式得到土体冻结区及降温区的温度分布表达式。结合天津地铁2号线机场延长线1号联络通道冻结工程现场资料，进行了单根冻结管冻结槽试验。最后将单根冻结管冻结温度场近似解析解与冻结试验结果进行比对，验证了理论分析的有效可靠性。

1轴对称热源温度场方程的解析解

1.1基本假定

本文主要对冻结区和降温区（冻结管引起的周围传热介质冻结区和降温区如图1所示）采用圆管稳定导热方程进行计算。为便于理论推导作如下假定：① 将研究问题简化为单管轴对称平面热传导问题;② 冻结管周围土体为均质连续体;③ 冻结管所吸收热量不随时间变化;④ 忽略冻结管径影响（为冷源点）;⑤ 远场土体温度为恒值。

1.2相变温度场控制方程

冻结区温度场如下

T1t=a1（ 2T1r 2+1r 2T1r 2）（ξ≤r<∞）（1）

降温区温度场如下

T2t=a2（ 2T2r 2+1r 2T2r 2）（r0≤r<ξ）（2）

边界条件

T1（r，0）=T0（3）

T1（∞，t）=T0（4）

1.3相变热传导方程

T1（ξ，t）=T2（ξ，t）=Td（5）

T2（R0，t）=Tc（6）

λ2T2（ξ，t）r-λ1T1（ξ，t）r=ψt（7）

式中，T1（r， t），T2（r， t）分别为冻结区、降温区的温度，℃;r是以冻结管中心为原点的圆柱坐标，m;t为冻结时间，d;T0为土体的初始温度，℃;Td，Tc分别为土体的冻结温度和冻结管外壁温度，℃;λ1，λ2分别为降温区、冻结区的导热系数，kJ/（m·d·℃），其中λn=an·cn;an为导温系数，m 2/d;cn为容积比热，kJ/（m 2·℃）;R0为冻结管布置圈半径，m;R为冻结影响半径，m;ξN为冻结锋面在N区域内的坐标，m，当N=1时，表示0≤ξ1≤R0，当N=2时，表示R0≤ξ1≤R;ξ=ξ（t）为冻结锋面半径，m;ψ为单位体积传热介质的结冰潜热，kJ/m 3，ψ=（W-WH）·Ω·ρs，W为土中总含水量，%;WH为冻土中未冻水含量，%;ρs为土体密度，kg/m 3;Ω为水的相变潜热，通常取336 kJ/kg。

引入替换变量x1，x2，即

x1=r 24a1tx2=r 24a2t（8）

由式（1）～（6），相变热传导方程解可表示为

T1=T0+Td-T0E1（β）E1（r 24a1t）（ξ≤r<∞）（9）

T2=Tc+Td-Tcg（aβ）g（r 24a2t）（R0≤r<ξ）（10）

式中，a=a1a2;β为待求参数，E1（x）=∫ ∞xe-xxdx，E1（x）为指数积分函数，用级数可表示为

E1（x）=-0.577216-lnx-∞i=1（-1） ix ii·i！（11）

为更容易求得函数值，E1（x）还用多项式表示为

E1（x）=-lnx-5i=0bix i+ε（x）|ε（x）|<2.0×10-70

式中，b0=-0.577 215 66，b1=0.999 991 93，b2=-0.249 910 55，b3=0.055 199 68，b4=-0.009 760 04，b5=0.001 078 57。

xe xE1（x）=x 2+d1x+d2x 2+d3x+d4+ε（x）|ε（x）|<5.0×10-51≤x≤∞（13）

式中，d1=2.334 733，d2=0.250 621，d3=3.330 657，d4=1.681 534。

β=ξ 24a1t（14）

将式（9）、（10）代入式（7），得

a1ψβ-λ1（Td-T0）E1（β）e-β-λ2（Td-Tc）e-aβg（aβ）=0（15）

进而有

ξ=2a1βt（16）

冻结能力Q为

Q=2πR0λ2T2（R0，t）r（17）

将式（10）代入式（17），则有

Q=4πλ2Td-Tc（R0，t）g（aβ）e-R 20a2（18）

由式（18）可知，对Q影响最大的是λ2和（Td-Tc），其呈现出正比例关系。基于计算误差不超过

1%，有

Q=4πλ2Td-Tcg（aβ）（t>25R 20a2）（19）

2解适用条件及无量纲表达

作变量替换如下

Tn=Td+（T0-Td）θnn=1，2t=R 20a1τR=R0rξ=R0bq=Qλ2（T0-Td）（20）

式中，θ1，θ2分别为未冻土和冻结土无量纲温度;τ为无量纲时间;r，b分别为无量纲径向坐标和冻结锋面半径;q为冻结管壁无量纲热流密度。

将式（20）分别代入式（9）和式（10）得

θ（r，τ）=1-f（r 24τ）f（β）（b≤r<∞）（21）

θ2（r，τ）=θc[1-g（ar 2/4τ）g（aβ）]（0

式中，θc=（Tc-Td）/（T0-Td）。

参数β为

β=b 24τ（23）

此时，确定参数β的超越方程式（15）为

Kβ+e-βf（β）-λθce-aβg（aβ）=0（24）

式中，K=ψ/[c1（T0-Td）];λ=λ1/λ2。

由超越方程（24），得参数β，将其再代入式（23）可得冻结锋面的无量纲半径b为

b=2βτ（25）

由此，无量纲热流密度为

q=-4πθcg（aβ）e-a4τ（26）

q=-4πθcg（aβ）（τ>25a）（27）

3温度场冻结槽试验

为验证理论推导的正确性，在冻结模型槽内进行稳定冷源作用下单根冻结管温度场演变试验。冻结试验土样取自天津地铁2号线机场延长线工程项目。联络通道底板以上位于含黏性土粉砂层中，通过对不同地层土样进行热物理力学参数试验[15]，所得冻土热物理参数如表1所列。

单根冻结管温度场试验槽如图2（a）所示，槽内加垫石棉纤维毯（厚度25 mm），如图2（b）所示。试验槽内部尺寸为1.1 m×0.25 m×0.8 m。在试验槽中央插入Φ42 mm×0.8 m的冻结管，沿试验槽长度方向0.4 m土层深度处每隔0.1m布置一个测温点，由冻结管径向边界测点编号分别为C1～C5。冻结试验中，室温为10℃，空气湿度为40%。使用盐水作为低温冷媒剂。冻结孔单孔流量为5 m 3/h，7d的积极冻结使盐水温度降至-20℃以下，去、回路的盐水温差控制在2℃以内，保证提供稳定冷源温度为-20℃，积极冻结时间为60 d。

4结果分析与讨论

据冻结资料及冻土和未冻土的热物理性质，计算参数取值如下：R0=0.08 m，T0=10℃，Td=0℃，Tc=-20℃，λ1=100 kJ/（m·d·℃），λ2=135 kJ/（m·d·℃），c1=2 900 kJ/（m 3·℃），c2=2 100kJ/（m 3·℃），ψ=2.0×10 5 kJ/m 3，ρs=1 600 kg/m 3，W=32%，WH=5.0%。由式（15）或（24）迭代计算求得β=0.2。由式（16）得ξ=0.058t。当t>3 d后，冻结管壁热流密度Q即处于稳定状态，此时Q=1.12×10 4 kJ/（m·d）。

图3为与冻结管间距为0.3 m的测温孔C3冻结温度随冻结时间变化曲线。由图3可知，测温孔冻结温度与冻结时间关系为瞬态温度演变，降温区和冻结区温度演变均符合对数变化规律，且在冻结初期，理论解析封闭解大于冻结试验实测值。

图4为冻结过程中分别为20，40 d和60 d时刻的冻土圆柱面内各测温点冻结温度分布情况。冻结瞬时冻土柱面内各测温点冻结温度为稳态的，冻结初期理论计算值下降较快，冻结后期其与冻结试验实测温度值接近。

图5位冻结锋面半径随冻结时间由冻结管径向向外边界扩展曲线。冻结锋面半径随冻结时间增长呈现出幂指数关系，冻结初期理论计算值大于试验结果，而冻结后期，冻结试验得出的冻结锋面半径略大于理论解析计算结果。

试验过程中土样的初始温度、冻结温度、土水耦合传热介质的相变潜热及盐水温度等因素的变化对冻结锋面均有显著影响，但理论解析解与试验结果总体变化规律和趋势基本一致。理论计算与冻结试验所得冻结锋面半径结果误差为10%以内，为可接受范围。由此可知，所推导理论计算结果是有效可靠的。由于冻结试验过程耗时较长，时间成本和经济成本均较高，可采用经由试验有效可靠性检验的理论解析解分析更多冻结温度场演变过程。

5结 论

（1） 针对稳定线性冷源作用下土体冻结过程中的瞬态温度场进行了解析表达，其中，单管冻结锋面半径和冻结时间有着平方根关系，并由凍结槽试验验证了理论解析解的有效可靠性。

（2） 由指數积分函数近似级数形式求得了距离冻结管不同测点的温度。冻结温度场在时间和空间上呈对数型函数分布，且曲率随冻结时间的增加而逐渐减小。

（3） 由冻结相变过程分析得出了冻结锋面半径与时间之间的理论解析表达式。基于冻结锋面半径随冻结时间变化规律参数化的敏感性分析，优化冻结参数，有效地评估冻结法对周围环境的影响。在保证满足冻结法施工要求的前提下，施工可做到节约能源、缩短工期。

今后研究应考虑多根冻结管不同布置方式（并行、交叉等），研究冻结温度场交圈、冻结管间距、冻结管排数等更为复杂因素引起的传热介质冻结温度场随冻结时间的变化规律。研究成果对认识不良地基土体冻结温度场分布瞬态演变规律和进一步指导冻结法施工设计等具有重要的工程意义。

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（编辑：郑 毅）

引用本文：马芸，夏锦红，桂超.单管冻结温度场演变规律分析及试验验证[J].人民长江，2019，50（2）：169-173.

Development law of soil temperature field caused by freezing pipe and its freezing test verification

MA Yun ， XIA Jinhong1，2， GUI Chao1，3

（1.School of Civil Engineering and Architecture， Xinxiang University， Xinxiang 453003， China;2.School of Civil Engineering and Architecture， Wuhan University of Technology， Wuhan 430070， China;3.School of Energy and Power Engineering， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract： A phase-transition temperature field model for artificial single pipe freezing with a stable linear cold source was established and approximate analytical solution for freezing temperature development with time was obtained by variable substitution method. The temperature distributions in the frozen and non-frozen fields were expressed by an exponential integral function， and the theoretical results were compared with the freezing model test. The research results show that the error between theoretical calculation and test result is within a reasonable range， which verified the effectiveness and reliability of the approximate analytical solution for transient freezing temperature field distribution; the relation between the freezing-front radius and freezing time follows square root equation; the temperature field for a single freezing pipe obeys a logarithmic function in time and space and its curvature decreases with time. The research results have an important engineering significance to understanding the temperature field evolution law of poor foundation soil surrounding a freezing pipe under a stable linear cold source and guiding the freezing construction technology.

Key words：freezing temperature field; phase change; frozen front radius; theoretical analysis; freezing tank test