多元函数连续、偏导数存在、可微、偏导数连续关系的探讨

高雄飞

【摘要】本文介绍了多元函数在一点处连续、偏导数，可微分的定義，并通过具体反例来说明多元函数在一点处连续、偏导数存在、可微、偏导数连续的关系.

【关键词】多元函数;连续;偏导数;可微

一、引言

理工科专业在高等院校中一直是重点建设专业，其中《高等数学》这门课更是作为重点基础课程来进行.这门课对学生的数学知识掌握和后期的专业课学习提供一个很好的基础.高等数学课程中对一元函数和多元函数的教学是作为重点内容对待，也是基础内容之一.学生在学习这一部分时容易产生很多困难，比如，把导数和偏导数、可微的定义和关系弄混.导致这一问题的原因主要是教师在阐述多元函数时没有讲解清楚其之间的关系，可通过反例举证，进一步来理解它们之间的关系，使学生在学习这一部分内容时受到启发.

二、多元函数连续与偏导数连续等的联系

通过多元函数在一点处偏导数存在，可微，连续的定义，我们可以推导出它们之间存在的关系，《高等数学》教材给出了相关的定理[1]，在这里不再做详细说明，本文直接给出它们之间相互关系的逻辑图，如图1所示，并给出不成立情况下的反例，来加深学生对它们之间关系的理解.

图1多元函数偏导数存在、可微、连续的关系逻辑图

1.函数可微与偏导数存在的关系.通过图1，可以看出函数在一点可微，则偏导数存在，反之，偏导数存在，函数不一定可微.

反例函数f（x，y）=xyx2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0， 在点（0，0）处有fx（0，0）=0及fy（0，0）=0，说明函数在（0，0）处偏导数存在，但函数在（0，0）点处不可微.

根据函数在一点可微的定义有：

Δz=fx（0，0）Δx+fy（0，0）Δy+ο（ρ），

即Δz-fx（0，0）Δx-fy（0，0）Δy=ο（ρ），

又因为fx（0，0）=0，fy（0，0）=0，

所以有Δz=Δx·Δy（Δx）2+（Δy）2=ο（ρ）.

即 limρ→0Δx·Δy（Δx）2+（Δy）2ρ=limρ→0Δx·Δy（Δx）2+（Δy）2=0，

事实上，考虑p′（Δx，Δy）沿着直线y=x趋于（0，0）时，limρ→0Δx·Δy（Δx）2+（Δy）2=limρ→0Δx·Δx（Δx）2+（Δx）2=12，因此，函数在点（0，0）处不可微分.

2.偏导数存在与函数连续的关系.由图1，我们可以看出由函数在一点处偏导数存在不能推出函数在该点连续，反之，由函数在一点连续也不一定推出偏导数存在.

反例偏导数存在但不连续，如函数f（x，y）=xyx2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0， 在点（0，0）处有fx（0，0）=0及fy（0，0）=0，说明函数在（0，0）处偏导数存在，但函数在（0，0）点处不连续.因为lim（x，y）→（0，0）x·yx2+y2=limx→0y=xx·xx2+x2=12≠f（0，0）.

反例函数连续但偏导数不存在，如函数f（x，y）=|x|+|y|在点（0，0）处连续，但函数在（0，0）处偏导数不存在.根据偏导数定义：fx（0，0）=limΔx→0f（0+Δx，0）-f（0，0）Δx=limΔx→0|Δx|Δx极限不存在，所以函数在（0，0）点关于x的偏导数不存在，同理，可证函数在（0，0）点关于y的偏导数也不存在.

3.函数可微与函数连续的关系.通过图1，我们可以看出函数在一点可微则一定连续，但函数在一点连续不一定可微.

反例[2]函数f（x，y）=xyx2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0， 在点（0，0）处连续，因为0

lim（x，y）→（0，0）xyx2+y2=0=f（0，0），但该函数在（0，0）点处不可微，前面已证明.

三、小结

理解多元函数在一点处连续、偏导数以及可微的定义，并掌握它们之间存在的联系和区别，对研究多元函数具有重要的意义，也是我们在高等数学教学过程中要求学生必须理清楚的知识点.本文系统总结了它们之间的关系，并通过举反例，使学生能够对多元函数偏导数、连续性、可微的定义以及它们之间的关系有进一步的理解.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学·下册（第7版）[M].北京：高等教育出版社，2016.

[2]毛羽辉，韩士安，吴喂.数学分析学习指导书·下册（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2011.