论单位分数两项分拆的方法

陈申宝

（浙江工商职业技术学院， 浙江 宁波 315012）

0 引言

把一个单位分数分拆成另外两个单位分数的和叫单位分数的两项分拆。 单位分数的两项分拆的研究已有一些成果，有的给出了单位分数的所有两项分拆组数的计算公式[1]，有的给出了单位分数的两项分拆的三种方法：搜索法、平方因数法和互素因数法[2]，并给出了单位分数所有两项分拆组数的计算公式，即若则单位分数所有两项分拆组数为。

互素因数法明显缩小了搜索范围，故当很大时优于搜索法和平方因数法， 但仍有不足， 当n 或ej较大时，n 的互素因数较多，容易遗漏或重复且计算量仍较大，所以仍需加以改进。 为此，本文提出单位分数的两项分拆的新方法——对偶因数法。

1 对偶因数法

为叙述方便，先对“两项分拆”、 “对偶因数”等给以数学定义，并设置一些记号.文中出现的字母都是整数，p 代表素数，直接引用整数论中符号和简单结论。

如果m（m≠1）的两个因数s0和t0满足（s0，t0）=1，s0t0=m，则称s0和t0为m（m≠1）的一组对偶因数，同样约定s0＜t0。

定理1 如果n=F（b，a）是n 的一组分拆，则其惟一对应n 的某个因数m（m≠1）的一组对偶因数s0和t0。 反之也成立。

证明令（a，b）=d，则可设a=s0d，b=t0d，（s0，t0）=1。再令（n，d）=D，设n=mD，d=αD，且（m，α）=1。

由于n=F（a，b）是n 的一组分拆，则由

∴m（s0+t0）=αs0t0。下面用反证法证明（s0+t0，s0t0）=1。

若（s0+t0，s0t0）＝d0≠1，则且由得且或d0t0且与d0（s0+t0）矛盾！

由m（s0+t0）=αs0t0、（m，α）=1 及（s0+t0，s0t0）=1 得m=s0t0，α=s0+t0。

所以n 的一组分拆惟一对应n 的某个因数m（m≠1）的一组对偶因数s0和t0。 此时α=s0d=s0·αD=。

反之，若s0和t0是n 的某个因数m（m≠1）一组对偶因数，则（s0，t0）=1 且s0t0=m。 显然s0和t0都是n的因数， 令则a 和b 都是正整数，且有故s0和t0惟一对应n 的一组分拆。

定理1 说明：n 的某个因数m（m≠1）的一组对偶因数s0和t0与的一组分拆之间存在一一对应关系。

记n 的全部分拆的组数为Ω（n），它的某个因数m（m≠1）的所有对偶因数组数记为ω（m）.显然，Ω（n）≥ω（m）＞0，Ω（n）＜+∞，Ω（p）=ω（p）=1。

所以ω（m）=2r-1。

2 举例证明

例1 求由30=F（32，480）所对应的对偶因数s0和t0和所对应的30 的因数。

解由30=F（32，480），可得方程组：

此时m=s0t0=15 为30 的因数。

例2 用搜索法、 互素因数法和对偶因数法，分别计算36 的分拆。

解一搜索法：

令36=F（36+k，b），从这k=1，2，…，35 这35 个数中，搜索出能使是整数的k，即求得全部分拆。 计算结果如下表：

?

解二互素因数法：

36 的因数是1，2，3，4，6，9，12，18，36， 从中选出互素因数s 和t，再令即可求得36 的全部分拆F（a，b）。 计算结果如下表：

?

解三对偶因数法：

（1）Ω（36）=Ω（22×32）=（5×5-1）=12；

（2）36 的第一类因数为m=2，3，22，32，每个因数都有一组对偶因数，各因数的对偶因数和它们所对应的36 的分拆如下表：

?

（3）36 的第二类因数为m=2×3，22×3，2×32，22×32，每个因数都有两组对偶因数，各因数的对偶因数和它们所对应的36 的8 组分拆如下表：

?