中国城乡最低生活保障标准的数学模型与测算

文/殷昊天 李子钰 胡浩博 黄昱星

1 前言

2013年11月习总书记作出了“精准扶贫”的指示，要求改变粗放的扶贫手段，用更高效合理的方式帮助群众脱贫减贫。其中，精准识别贫困是前提，精确帮扶是关键。落实在最低生活保障标准上，就需要制定合理科学的低保标准。如果标准过高，政府财政压力较大，且可能助长低保户的偷懒行为。如果过低，则难以满足低保户的基本生活需求。

本文拟通过单变量模型和多元线性回归模型研究各个因素对低保线的影响，期望给民政部门提供一些参考意见。

2 以收入水平为单一变量的模型

2.1 模型的建立

人均可支配收入与低保标准的相关性极强，收入分布是影响低保标准的最主要因素。在国家低保标准政策的制定中，一般将固定比例（国际通用5%，部分发展中国家取4%左右）的收入最少的人群认定为低保人群。故低保标准的制定问题可转化为求人群收入分布的问题。

唐昊[1]等把收入分布类比于人口增长模型中的人口总数，利用logistic 函数建立了收入分布函数的修正拟合曲线：

式中t代表居民收入，F(t)为某地区月收入不超过t的人占总人口的比例（即t的分布函数），s为一个修正变量。

图1：各市收入的修正Logistic函数拟合图

本文收集了2018年上海、南京、长沙和南昌市市民的薪资分布（表1）[2-5]，分别使用3%、4%和5%的比例，通过拟合函数来预测理论低保标准（图1、表2）。结果显示实际低保标准远远低于5%的国际通用比例，而与4%比例测算出的低保标准更加接近。使用4%比例，借助MATLAB软件预测4地的理论低保标准分别为每月1015.4元、763.2元、620.0元、399.0元，而4地2018年实际的低保标准分别为1070元、810元、550元、345元，仍然存在一定误差。

分析原因，发现上述模型在t比较大的时候拟合尚可，但在原点附近不可为零，故对低收入人群的收入拟合有较大的误差。而低保标准的制定的目标人群主要为低收入人群，所以用此函数拟合效果不佳。

为了在低收入人群的拟合中有较准确的结果，本文将最低收入水平考虑进来，参考刘黎明[6]等的方法，把它看成一个生存分析问题处理。得到收入分布函数：

其中t0为最低收入水平，t为收入，α、β为参数

2.2 模型的求解与检验

我们使用生存分析方法，采用公式2拟合南京市的数据，结果如图2。

图2：南京市收入分布拟合图

我们分别以3%、4%、5%的贫困人口，测得理论低保标准分别为763.3元、818.8元和874.8元。其中4%比例下的低保理论标准为818.8元，与2018年南京实际低保标准810元较为相符，理论测算值与实际值相差1.3%。

3 以支出为变量的扩展线性支出模型

3.1 模型的建立

1973年经济学家Liuch在扩展线性支出系统模型（ELES）基础上推出一个需求函数系统，以支出衡量需求；在一定时期内，给定价格和收入的前提下，消费者首先满足其基本需求支出。将基本需求支出的部分固定，其余收入则按比例在商品支出与储蓄之间分配，因此它也被称为消费者选择理论或消费者行动理论。

该系统有三个假设：

（1）一定时期内消费者对各种商品和服务的需求取决于它们的收入水平及各种商品和服务的价格；

（2）消费者对各种商品的需求分为基本需求和非基本需求；

（3）基本需求与收入水平无关，消费者在满足其基本需求后才会把剩下的收入按照一定的边际消费倾向安排各种非基本消费支出，即每个人完成最低生活标准的基本需求是一致的。

本文将达到最低生活标准的货币尺度作为最低生活保障线。

它的函数形式为：

式中，Ei为消费者对第i种商品或者服务的消费支出；Pi代表第i种商品的价格；Qi为第i种商品的需求量，包括基本需求和非基本需求；I代表可支配收入；βi为消费者在第i类商品或服务的支出占收入中除去各种商品和服务基本需求支出后的余额中的比例，称为商品或服务的边际消费倾向，

令

PM表示维持最低生活水平所需要的货币支出，我们可以把这个定义成低保线。

再令

于是

把人群按收入高低分布分成5类，分别代入他们的人均收入和消费额到I和Ei，使用最小二乘法回归得出

然后利用：

求出PM。

3.2 模型的求解与检验

本文根据2018年北京年鉴（表3）[7]，选取食品支出、衣着支出和居住支出作为其满足基本需求的支出计算PM、诸αi与诸βi之和。由前述方法回归得诸αi之和为0.7716,诸βi之和为0.2985，算得PM为1099.83元,而2018年北京现行低保标准为1000元。从预测结果看，北京市居民维持最低生活保障需1100元左右，比现行低保标准高100元。说明北京现行的低保标准无法满足低保人群的基本生活需要，有待提高。

4 不同经济因素与低保标准相关性的分析

表1：各城市薪资分布水平表

表2：修正Logistic函数拟合预测结果

表3：北京各项人均消费支出与可支配收入（单位：元）

表4：各指标与低保标准相关性

表5：各市影响因素及低保标准

居民的收入与支出确实是影响低保标准的两个主要因素，但人口年龄、受教育程度等因素也在一定程度上间接影响了低保标准。这些因素对低保标准的影响还不是很清楚。本文选取了人口、高龄人口占比、就业比、居民消费指数、平均每户人数、人均财政赤字、城镇人均支出、农村人均支出、人均GDP、市内最低工资标准，恩格尔系数等因素，抽取16个经济状况有梯度差的城市，查阅各市的统计年鉴建立数据库。使用SPSS软件分析了各指标间的相关性（表4）。

由可决系数知，城镇人均支出、农村人均支出、平均每户人数、市内最低工资标准的可决系数较大，对其有较大影响。

选取北京、杭州等9个发展程度不同的城市（表5），对以上4项指标进行线性多元回归分析，得以下回归函数：

D为现行最低生活保障线，l为市内最低工资标准，y为城镇人均支出，z为农村人均支出，w为户均人数。

从以上函数可得，其回归函数的系数均为正数，即以上4因素与最低生活保障线均呈现正相关。

5 结论

本文对收入分布函数的修正拟合曲线进行验证，发现其误差较大，于是将最低收入水平考虑进来，把它看成一个生存分问题处理，得到收入分布函数，预测低保标准较为准确。同时为了分析收入和支出以外的因素对低保标准的影响，本文分析了各指标对低保标准的可决系数，发现城镇人均支出、农村人均支出、平均每户人数、市内最低工资标准的可决系数较大，对低保标准有较大影响。对以上4项指标进行线性多元回归分析，发现这4项指标的系数均为正数，它们与最低生活保障线均呈现正相关。基于以上分析，为了使城市的最低生活保障线能够在一定程度上有所提高，更好地符合市民的最低生活保障需求，提出以下建议：

（1）适当提高最低生活保障线与最低工资标准；

（2）对父母为独生子女的家庭鼓励其生育，在每户人口不过量的情况下适当缓解老龄化；

（3）发展经济，提高GDP。