非贯通裂隙岩体损伤演化率相关性及变形特征*

邓正定，向 帅，周尖荣，王观石，王月梅

（1. 江西理工大学建筑与测绘工程学院，江西 赣州 341000；2. 江西理工大学江西省环境岩土与工程灾害控制重点实验室，江西 赣州 341000；3. 深圳勘察测绘研究院有限公司，广东 深圳 518000；4. 江西理工大学应用科学学院，江西 赣州 341000）

天然岩体和工程岩体中均普遍存在成因不同的节理、裂隙等软弱结构面，其结构面几何特征对岩体的变形破坏机制具有较大影响[1]。同时，应变率效应对岩体的力学特性也影响显著[2]。因此，建立同时考虑应变率效应及裂隙几何特征影响的力学模型，对相关岩体工程的安全与稳定具有重要意义。

针对非贯通裂隙岩体，已有较多研究：张平等[3]对断续裂隙砂岩试件进行单轴静、动载实验，发现动载下分支裂纹扩展及贯通具有惯性效应，裂尖翼裂纹易在两预制裂隙内端部产生直接贯通；刘红岩等[4]、李地元等[5]分别通过对含裂隙岩体试件进行SHPB 动态冲击实验，发现裂隙的几何特征及应变率对岩体的强度及破坏模式均影响显著。在实验基础上，针对裂隙岩体已构建了动态本构模型：李夕兵等[6]在模型实验基础上，将幂函数模型描述节理面动态闭合变形，又在此基础上建立了考虑应变率效应的裂隙岩体本构模型；张力民等[7]、刘红岩[8]对已有TCK 模型进行改进，综合考虑宏细观缺陷的复合损伤变量(张量)，建立了节理岩体动态损伤本构模型；李杰等[9]基于断裂力学，建立了微裂纹动态扩展与体积扩容的方程，较好地描述了加卸载过程岩体的动态破坏过程。

已有裂隙岩体本构模型虽考虑了宏细观初始缺陷对岩体的动态力学特性的影响，但对裂隙闭合且裂纹扩展过程中的损伤演化研究仍不尽完善。主要表现为：（1）针对裂隙对岩体的影响大多考虑初始裂隙对岩体的宏观损伤，而对裂隙翼裂纹动态扩展引起的岩体损伤考虑不足；（2）目前基于断裂力学与能量理论所构建的损伤模型，其附加应变能大多按裂隙面有效滑动驱动力作用下复合断裂模式计算[7-8]，计算显然结果会偏大，但按纯Ⅰ型或Ⅱ型断裂扩展模式计算结果会偏小；（3）通常裂隙倾角较缓时，裂隙面有效滑动驱动力为零，已有模型中裂隙存在对岩体损伤也为零，但实际上初始裂隙即使没有扩展，岩体强度仍较完整岩石强度更低[4]。因此，针对上述问题，引入合适的率效应动力演化方程表征岩体宏细观缺陷的发展对岩体力学特性的影响，具有较好的学术和工程应用价值。

1 裂隙岩体动态损伤本构模型的建立

采用分离式Hopkinson 压杆装置对含非贯通裂隙岩体进行动态冲击的实验结果表明[4-5]：裂隙岩体宏观损伤对岩体力学性能存在明显软化效应，应变率对岩体力学性能存在明显硬化效应。因此，将裂隙岩体动态破坏过程视为具有复合损伤、静态弹性特性、动态黏滞特性的非均质点组成。对黏弹性响应的Maxwell 体进行改进，将细观损伤体D1与裂隙宏观损伤体D2根据应变等价原理并联组成宏细观复合损伤体D12，在此基础上再并联Maxwell 体构造一个非贯通裂隙岩体动态损伤模型，如图1 所示。

图1 中，Maxwell 体具有瞬时变形、等速蠕变和松弛的性质，其主加载方向上的本构方程为：

式中：σM为Maxwell 应力，EM为Maxwell 弹性模量，为 应变率，为加载率，η 为实验参数。

结合边界条件，ε(0)=0，σM(0)=0，式（2）变换为：

对式（3）进行Laplace 逆变换，则有：

现假定岩体中未扩展的初始裂隙引起的岩体损伤定义为D0，岩体中微孔洞、微裂纹等细观损伤定义为损伤变量D1，初始裂隙及其翼裂纹扩展后引起的岩体损伤定义为宏观损伤变量D2，宏细观综合引起岩体的复合损伤变量为D12，根据Lemaitre 应变等价原理[7-8,10]：

式中：σD为损伤应力，E0为无损伤岩体的初始弹性模量。

通过对式（5）化简，得裂隙岩体宏细观复合损伤变量表达式为：

假定损伤体元件服从胡克定律，则损伤体元件本构方程为：

根据模型中各元件的串并联关系，可知：

式（4）、（7）～（9）联解，可得裂隙岩体动态损伤本构方程：

对于岩体细观损伤，结合袁小清等[10]的研究成果，细观损伤D1服从Weibull 分布：

式中：ε(t)为应变，ε0、m 为拟合常数。

下面，主要讨论岩体初始裂隙及翼裂纹动态扩展所引起的宏观损伤变量D2的计算。

2 裂隙岩体宏观动态损伤演化

2.1 含裂隙岩体翼裂纹起裂与扩展

由实验结果[11-12]可知：在压剪状态下，对于含不同倾角的非贯通裂隙岩体，当裂隙倾角较小时，裂隙面上的切向应力不足以克服法向应力产生的摩擦阻力，此时裂隙面主要发生闭合变形，不会产生沿裂隙面的滑移，整个裂隙岩体试件主要发生与完整岩石相似的张拉破坏模式，但岩体弹性模量及峰值强度均有一定程度的弱化；当裂隙倾角较大时，裂隙面除发生闭合变形外，主要发生沿裂隙面的剪切变形，裂隙尖端产生应力集中，进而导致裂纹扩展。

图 2 裂隙扩展简化模型Fig. 2 Simplified model for crack propagation

如图2 所示，设双轴应力σ3=kσ1=kσ，在远场应力作用下，作用于倾角为α 的裂隙表面法向应力σα和切向应力τα分别为：

切向应力τα迫使裂隙上下表面相对滑动，但由于裂隙面是接触或含充填物的，会产生一个摩擦力来抵抗这个滑动，此有效滑动驱动应力 τe应为：

式中： µ为裂隙面摩擦因数。

式（14）表示在远场应力作用下的裂隙面上的滑动驱动力。当裂隙面上的切应力不足以克服正应力产生的摩擦力时，有效滑动驱动力为零。当有效滑动驱动力达到一定值时，在主裂纹尖端沿最大周向应力方向产生张拉翼裂纹，最大周向应力产生的应力强度因子为[13]：

式中：a 为原裂隙半长，θ 为与原裂隙呈一定角度的起裂扩展角。

由式（15）可知，KⅠ(θ)随τe增大而增大，达到断裂韧度KⅠC时，裂纹开始起裂，则有：

由式（14）、（16），则可得起裂强度：

结合Lee 等[14]的研究，裂隙扩展后翼裂纹尖端应力强度因子为：

式中：l 为翼裂纹扩展长度。

式（18）表示，在滑动驱动应力作用下，翼裂纹扩展后尖端的应力强度因子。式（18）右边的前半部分表示有效滑动驱动力促使裂隙翼裂纹扩展，而后半部分表示翼裂纹面的法向压应力阻止翼裂纹扩展。

在压剪作用下，岩体裂隙在初始阶段沿最大周应力方向扩展，但沿一个弯曲路径后很快趋于最大主应力方向[15]。因此，可将翼裂纹扩展路径简化为与主加载方向平行的直线，则式（18）可简化修正为：

当翼裂纹尖端应力强度因子KⅠ(l)减小到KⅠC时停止扩展，据此可得到翼裂纹最大扩展长度lm：

将式（20）中的前半部分幂级数展开并取前两项，可解得：

2.2 裂隙岩体准静态损伤演化能量机制

如图2 所示，主裂隙扩展前，闭合裂隙的Ⅰ型应力强度因子为零，对于平面应力问题，单裂隙引起的附加应变能为：

式（22）表示翼裂纹扩展前主裂隙尖端Ⅱ型应力强度因子引起的附加应变能，其隐含的条件为加载应力小于或等于起裂强度σ0，因此式（22）可改写为：

当σ＞σ0时，翼裂纹开始扩展，主要为Ⅰ型扩展，其由翼裂纹扩展所引起的附加应变能U2为：

联解式（15）、（17）、（24），并考虑翼裂纹起裂应力，可得翼裂纹扩展引起的附加应变能：

由式（23）、（25）所得的应变能，均考虑了有效滑动驱动力。如裂隙倾角较小时，裂隙面的有效滑动驱动力为零，按以上方法计算所得的附加应变能显然也为零，但主裂隙尖端即使不能扩展，裂隙的存在仍对岩体的变形及强度有一定程度的影响，说明它仍储存一定应变能。许多文献采用Ⅰ型应力强度因子来计算应变能，在拉剪状态下，此方法较为适合，但在压剪状态下，显然计算结果会偏大[15]。因此，本文中采用闭合变形的方法计算裂隙受压应力作用下引起的附加应变能。

裂隙的闭合变形主要由裂隙间充填物法向压缩变形所致，其法向变形规律可遵循衰减法则[16]，即：

式中：dεα为偏应变，dσα为偏应力，Eα为充填物弹性模量，εm为最大法向应变，εα为法向应变。

对式（26）进行积分，可得：

将式（12）代入式（27）中，可得：

则在法向压应力作用下储存在裂隙中的弹性应变能U3为：

式中：H 为试件高度。

2.3 裂隙岩体动态损伤演化能量机制

式中： V为翼裂纹扩展速度。

对于裂速函数，Freund 等[18]提出了简化的近似公式：

其中 cR为瑞利波速度，表示为[19]：

式中：E0、 ν、ρ 分别为岩石弹性模量、泊松比、密度。

宁建国等[20]认为翼裂纹扩展速度与翼裂纹扩展长度、应变及应变率有如下关系：

式中：εcr为临界应变。

根据应变等价原理，翼裂纹扩展长度在形成的同时伴随岩体应变，通过对式（33）观察，翼裂纹扩展长度l 与应变ε 实际上是呈正相关的，这也表明裂纹扩展速度与应变率也呈正相关关系。潘红宇等[21]通过应变率和裂纹扩展速度的实验数据拟合也发现了相似规律，因此裂纹扩展速度可定义为：

式中：β 为实验拟合参数。

联解式（30）～（31）、（34），可得翼裂纹扩展尖端的动态强度因子：

根据式（35）所得动态强度因子，式（21）所示的静态扩展长度lm修正为翼裂纹动态扩展长度：

2.4 裂隙岩体宏观动态损伤变量

假定完整岩石的弹性模量为E0，则双轴平面应力下储存在岩体内的弹性应变能U0为：式中：L 为试件直径，H 为试件高度。

根据能量互易定理，岩体因裂隙存在而引起附加应变能，同时导致岩体的等效弹性模量的弱化，假定裂纹扩展后的宏观损伤变量为D2，则有：

式中： ∆U为初始裂隙及裂隙翼裂纹扩展后的附加应变能。有：

则根据式（39）～（40），可得主加载方向上宏观损伤变量：

结合式（6）、（10）～（11）、（41），可得到裂隙岩体动态损伤模型：

3 裂隙岩体动态变形特征

3.1 模型验证

为验证模型的合理性，讨论裂隙几何特征及应变率效应对岩体力学特性的影响。以文献[22-23]实验资料为例，采用的岩石相似材料[4]，采用单轴加载的方式（即k=0），试件尺寸高50 mm，直径50 mm，应变率近似取恒应变率75 s−1，裂纹扩展速度V=0.3cR[24]，非贯通裂隙倾角α 分别为0°、30°、45°、60°，裂隙长度均为11 mm。岩石的弹性模量E0=8.7 GPa，泊松比ν=0.28，断裂韧度KⅠC=0.25 MPa·m1/2；裂隙结构面的弹性模量Eα=198 MPa，最大应变εm=0.02，摩擦因数 µ=0.3。

从岩体动态损伤模型可知，模型中的参数ε0、m、η、EM需通过实验数据拟合才能得到，其取值对岩石力学性能具有重要影响。采用文献[22-23]中完整试件的数据资料，将岩体力学参数代入本构模型中，可得应力应变曲线，以此分析各参量对岩体动态本构关系的影响。

图3 为参量m、η、EM均为常量，改变参量ε0时的岩石本构关系。由图3 可知，岩石的峰值强度及其所对应的应变均随参量ε0的增大而增大，且ε0对本构关系的影响主要表现在非弹性的微元体破裂发展阶段，说明参量ε0是岩石内部微元强度平均大小的反映[25]。

图4 为参量ε0、η、EM均为常量，改变参量m 时的岩石本构关系。由图4 可知，参量m 对岩石的峰值强度的影响较小，且对岩石在弹性变形阶段的影响也较小，而对岩石峰前非弹性变形阶段及峰后变形阶段的曲率影响显著。随着m 的增大，岩石本构关系曲线在峰前及峰后阶段的曲率均相应增大，即更为陡峭，说明参量m 是岩石内部微元强度集中程度的反映。

图5 为参量ε0、m、EM均为常量，改变参量η 时的岩石本构关系。由图5 可知，参量η 对岩石的峰值强度及峰前非弹性变形阶段影响显著，而对岩石的峰值应变及弹性变形阶段的曲率影响较小。随着η 的增大，岩石峰值强度及非弹性变形阶段的曲率均增大，岩石的动态黏滞效应也相应增强，且η 越大，粘滞效应的增长幅度也相应更大，说明参量η 是岩石应变率效应相关度的反映。

图6 为参量ε0、m、η 均为常量，改变Maxwell 弹性模量EM时的岩石本构关系。由图6 可知，参量EM对岩石的峰值强度及本构关系曲线的曲率均有一定影响，而峰值应变基本未受影响，表明EM也是岩体黏滞效应的重要参数，但与参量η 的影响不同，岩石峰值强度增长幅度随EM的增大而减小。同时，随着EM的增大，本构关系曲线峰前、峰后阶段的曲率均相应更大，表明参量EM还反映了黏滞效应的集中度，以上分析说明参量EM是岩石应变率效应相关度及集中度的综合反映。

图 3 参量ε0 对本构关系的影响Fig. 3 Influence of parameters ε0 on constitutive relation

图 4 参量m 对本构关系的影响Fig. 4 Influence of parameters m on constitutive relation

图 5 参量η 对本构关系的影响Fig. 5 Influence of parameters η on constitutive relation

图 6 参量EM 对本构关系影响Fig. 6 Influence of parameters EM on constitutive relation

图 7 裂隙岩体的实验结果与理论计算结果比较Fig. 7 Comparison of experimental and theoretical results of fractured rock mass

综合以上理论分析可知，各拟合参量对本构关系的影响规律。将文献[22-23]中的完整岩石实验数据及力学参数代入式（42），则可拟合得到参量：ε0=0.029 4，m=1.28，η=0.23，EM=3.2 GPa。再将其他裂隙岩体物理力学参数代入式（42），即可得到不同裂隙岩体的理论模型曲线。图7 为单轴动荷载下用本文理论模型得到的岩体应力应变曲线与文献[22-23]中的实验数据对比。如图7 所示，完整岩石、含30°、45°、60°非贯通裂隙岩体的实验结果与模型计算结果基本吻合。模型计算所得的岩体动态应力曲线较好地反映了岩体变形的全过程，说明本文模型能较好地描述非贯通裂隙岩体的冲击力学特性。

3.2 裂隙几何特征对岩体动态力学特性的影响

计算模型和参数与第3.1 节相同，应变率均为75 s−1，通过改变非贯通裂隙倾角α 及贯通度，研究单轴冲击荷载作用下非贯通裂隙几何特征对岩体动态力学特性的影响。图8～9 为贯通度分别为50%、80%，不同倾角裂隙的存在对岩体初始宏观损伤变量D0及岩体起裂强度σ0的影响规律。图10 为非贯通裂隙倾角为45°时，不同裂隙贯通度情况下岩体的动态应力应变曲线。

图 8 初始损伤变量随裂隙倾角的变化Fig. 8 Variation of initial damage with slit angle

图 9 起裂强度随裂隙倾角的变化Fig. 9 Variation of fracture strength with slit angle

由图8 可知，当裂隙倾角较小时，岩体初始损伤变量D0随裂隙倾角增大而增大；当裂隙倾角较大时，岩体初始损伤变量D0随裂隙倾角α 增大而减小。值得注意的是，由于计算模型考虑了裂隙结构面闭合产生的附加应变能，因而裂隙倾角α 即使为0°，仍会产生初始损伤，岩体强度较完整岩石强度会降低，这也跟诸多文献实验结果较一致。当裂隙倾角α 达到90°时，由于裂隙表面法向正应力和切向应力都为零，岩体初始损伤变量D0也为零，因而含90°裂隙岩体与完整岩石力学特性无明显区别。

图 10 不同裂隙贯通度的岩体动态应力应变曲线Fig. 10 Dynamic stress-strain curves of rock mass with different fracture penetrability

由图9 可知，岩体裂隙起裂强度σ0随裂隙倾角呈“凹”型分布。当裂隙倾角小于裂隙面摩擦角时，作用于裂隙表面的切向应力不足以克服正应力产生的摩擦力，因而裂隙面有效滑动驱动力为零。因此裂隙倾角较小时，岩体裂隙起裂强度σ0无穷大（图中虚线部分），岩体主要产生张拉破坏及微裂隙、微孔洞裂纹扩展。当裂隙倾角大于裂隙面摩擦角时，有效滑动驱动力大于零，随着应力的增加，裂隙尖端应力强度因子达到断裂韧度。由图9 可知：裂隙倾角45°时，起裂强度最小，这也与实验结果较为吻合；当裂隙倾角继续增大时，裂隙有效滑动驱动力又逐渐较小，直至宏观裂隙起裂强度σ0又达到无穷大。

由图10 可知，裂隙贯通度对岩体的动态力学特性有显著影响，岩体峰值强度随裂隙贯通度的增加而显著减小。通过应力应变曲线可发现，不同贯通度的裂隙存在对岩体弹性变形阶段几乎没有影响，而在屈服阶段影响明显。这是由于在弹性变形阶段，裂隙尖端应力强度因子尚未达到岩石的断裂韧度，裂隙的存在对岩体的损伤主要为裂隙面的闭合变形。当裂隙尖端应力强度因子达到断裂韧度后，翼裂纹开始扩展，根据应变等价原理，裂隙扩展后引起岩体的宏细观耦合损伤显著增加，因此应力应变曲线明显变缓直至破坏。

3.3 应变率对岩体动态力学特性的影响

计算模型和参数与第3.1 节相同，裂隙倾角分别取45°、60°，荷载应变率分别取准静载0 s−1、近似恒应变率100、200、300、400 s−1，裂隙翼裂纹动态扩展长度及岩体应力应变曲线计算结果分别如图11～12 所示。

图 11 应变率对翼裂纹扩展长度的影响Fig. 11 Influence of strain rate on length of wing crack

图 12 应变率对岩体力学特性的影响Fig. 12 Influence of strain rate on mechanicalproperties of rock

如图11 所示，应变率对裂隙翼裂纹扩展长度有显著影响。当裂隙倾角为45°时，由于在其他相同条件下，其裂隙表面有效滑动驱动力较裂隙倾角为60°时更大，因此翼裂纹扩展长度更长。翼裂纹扩展长度随应变率呈线性分布规律，应变率越大，其翼裂纹最大扩展长度越小。

如图12 所示，在不同荷载应变率下，岩体在弹性变形阶段应变率效应较小，在翼裂纹扩展阶段应变率效应显著。随着载荷应变率的增大，岩体试件的峰值强度也逐渐变大，5 种不同应变率荷载作用下峰值强度分别为31、38、46、57 和66 MPa，且对应的峰值应变及总应变也随之增加，这与文献[24,26]中岩体在不同载荷应变率下实验结果得到的变形规律一致。

3.4 岩石弹性模量及断裂韧度对岩体动态力学特性的影响

计算模型和参数与第3.1 节相同，通过改变岩石的弹性模量E0及岩石的断裂韧度KⅠC，研究岩石性质对岩体动态力学特性的影响规律，分别如图13～14 所示。

图 13 E0 对岩体动态力学特性的影响Fig. 13 Influence of E0 on mechanical properties

图 14 KⅠC 对岩体动态力学特性的影响Fig. 14 Influence of KⅠC on mechanical properties

如图13 所示，岩石的弹性模量E0对岩体的动态力学特性具有显著影响。随着弹性模量E0的增大，应力应变曲线的曲率及峰值强度均显著增大，岩石弹性模量E0分别为2、4、6、8 和10 GPa 时，对应的岩体峰值强度分别为26.5、49.1、71.8、94.5 和117.2 MPa。值得注意的是，通过图13 中的岩石弹性模量E0与图6 中的Maxwell 弹性模量EM对岩体动态力学特性的影响的分析比较，在两者增加同样幅度时，岩石的弹性模量对岩体的峰值强度及曲线曲率影响更为明显。

如图14 所示，岩石的断裂韧度KⅠC对岩体的动态力学特性也有较大影响。随着断裂韧度KⅠC的增大，岩石的峰值强度也相应增大。值得指出的是，此处断裂韧度对岩体强度的影响是在裂隙面有效滑动驱动力大于零的前提下，如裂隙倾角趋近0°或90°，岩体强度将不受断裂韧度KⅠC的影响。由不同断裂韧度KⅠC下岩体的应力应变曲线可发现，断裂韧度对岩体的影响主要表现在非弹性阶段，而在弹性阶段几乎不受影响，这是由于，断裂韧度主要影响岩体的起裂强度σ0。当加载应力σ＜σ0时，翼裂纹没有扩展，裂隙的存在对岩体的损伤主要表现为裂隙的闭合变形，而加载应力σ 超过起裂强度σ0后，翼裂纹开始扩展，裂隙对岩体的损伤显著增加，因而岩体应力应变曲线也迅速变缓。

4 结 论

（1）针对自然界大量存在的非贯通裂隙岩体，基于变形理论、断裂力学与能量理论相结合，运用模型变形元件的方法，综合考虑岩体宏细观缺陷及损伤演化的率相关性，构建了裂隙岩体动态损伤本构模型。

（2）根据Lemaitre 应变等价原理，将岩体的细观损伤和宏观损伤耦合，再结合Maxwell 体以描述动态加载过程中岩体的应变率效应，模型中的宏观损伤变量同时考虑了裂隙翼裂纹的动态扩展以及裂隙面的闭合变形，克服了现有本构模型的不足。

（3）利用模型讨论了裂隙几何特征、应变率及岩石性质对岩体动态变形特征的影响，岩体强度及变形均随裂隙倾角的增大先变小后增大，应变率效应对岩体具有明显的硬化效应，且在裂隙扩展阶段更为明显，同时岩石本身的弹性模量及断裂韧度也对岩体的强度及变形特征有重要影响。