基于二阶造波理论的聚焦波实验室模拟

张可心，柳淑学，李金宣，张昊宸

(大连理工大学 海岸和近海工程国家重点实验室，大连 116024)

几个世纪以来，有许多关于造成海上船舶故障的神秘涌水和毁坏沿海结构物的猛烈海浪的报道，因此，设计中也应考虑到这些极端事件。海洋卫星图像的最新进展以及基于船舶和海上结构物数据的多次灾害实践表明，确实存在偶发极其陡峭的波浪，然后从海上消失的现象[1]。这些极端波浪运动学的产生和研究十分复杂，并且涉及波浪非线性。实验室中模拟极端波浪的一种方法是基于Longuet-Higgins[2]首次提出的非线性波之间相互作用的理论。该方法通过生成指定频率范围的各组成波分量(主要分量)并调整它们的相位，使得在某个时刻各个波分量聚焦在特定位置处。

众所周知，线性造波将产生不期望的自由伪谐波，因此，需要采用二阶造波来抑制这些自由伪谐波，以便产生符合高阶精确解[3]的聚焦波。而对于二阶造波理论，早在1847年Stokes就使用波陡作为小参数的摄动级数给出了规则波的结果。对于规则波，二阶波只出现和频项(因为差频消失)，Stokes由此发现了超谐波；对于不规则波，和频和差频都出现在二阶项中。Longuet-Higgins和Stewart[4-5]得到了次谐波的结果，其中相互作用的波分量仅限于略微不同的频率(窄带限制)。Sand[6]计算了抑制伪长波产生所需的推板造波机的二阶次谐波控制信号。Barthel等[7]给出了该理论的更详细描述，且将该理论扩展到包括旋转中心限制在底部或底部附近点的摇板式造波板运动。Sand和Donslund[8]给出了摇板式造波板模拟超谐波的造波理论。Schäffer[9]基于以上理论扩展推导出了目前较完整而有效的二阶造波理论。

现有研究大多采用线性造波方法在数值水槽或实验室物理水槽内产生聚焦波。例如，武昕竹[10]基于线性造波理论，建立了二维聚焦波浪数值模拟水槽；柳淑学和洪起庸[11]基于线性造波理论，建立了三维聚焦波浪的实验室模拟方法，并对于生成极限波浪的特性进行了实验研究；Li等[12]基于线性造波理论，利用数值方法研究了二维聚焦波浪的特性。然而Longuet-Higgins和Stewart[13]指出，主要成分(给定的波频成分)的非线性相互作用将产生超谐波和次谐波分量。超谐波项基本上是改变波群局部特征(波峰锐化和波面展宽)的高频分量，而低频分量(次谐波)则对应于全局相互作用(时均水位的变化)。因此，为了产生波包或波群，在实验室水槽中必须正确地再现超谐波和次谐波。本文基于Schäffer[9]所提出的二阶造波理论，建立了实验室中聚焦波浪的造波软件，并进行了二阶聚焦波浪的数值和物理模拟，以说明基于二阶造波理论产生聚焦波浪的必要性。

1 基于二阶造波理论聚焦波模拟方法

1.1 二阶造波理论简介[9]

在经典波浪理论中，假设流体为无旋、无粘性、均匀且不可压缩的理想流体，其速度势满足Laplace方程、底部边界条件、自由表面运动学和动力学条件以及造波板边界条件等。其中造波板的位置函数X=X(z,t)表示为

X(z,t)=f(z)X0(t)

(1)

式中：X0(t)为造波机静水面处的位移；f(z)为造波机形状函数。

对控制方程进行求解，则构成一阶波分量谱的每个波浪分量的一阶造波板位移可由下式给出

(2)

式中：上角标(1)代表一阶成分，c.c.为前项的共轭复数；ω为圆频率；Xa是在静水位处的恒定的一阶造波板复振幅，它与波浪复振幅关系如下

A=c0Xa

(3)

这里的c0为一阶传递函数，A为波浪复振幅。

二阶波分量的基础是由两个不同频率波的相互作用构成，相互作用项以超谐波(和频)和次谐波(差频)形式出现。二阶造波板位移为

(4)

F±表示二阶传递函数，表达式为

(5)

1.2 聚焦波产生方法(相速度法)[14]

对于二维波浪，任一点处一阶波浪自由表面可以表示为不同频率和不同幅值的规则波线性叠加后的结果，即

(6)

式中：aj为第j个组成波的幅值，kj为其波数，ωj为其角频率，φj为其初相位，N为组成波的个数。kj和ωj满足波浪的色散方程。

若假定波浪在指定时刻t=tb聚焦于x=xb位置处，即各组成波在x=xb处叠加，那么，需满足

cos(kjxb-ωjtb-φj)=1

(7)

则各组成波的初相位应满足下式

φj=kjxb-ωjtb

(8)

此时，一阶波浪的波面表达式为

(9)

采用二阶造波理论，则对应于公式(3)中的复振幅Aj可表示为

Aj=ajeiφj

(10)

2 实验布置及实验结果分析

2.1 物理模型实验及结果分析

图1 实验布置图Fig.1 Experimental setup

物理模型实验在大连理工大学海岸和近海工程国家重点实验室大波流水槽中进行，该水槽长69 m，宽2 m，深1.8 m。水槽一端配有推板式造波机，另一端设置了斜坡式消浪装置。

实验水深为1.2 m，为研究传播过程中波形和能量的变化，沿程布置一系列浪高仪。浪高仪距造波板的距离依次为5 m、13 m、26 m。实验拟定波浪在x=18.1 m处聚焦，为了精确地寻找波浪的聚焦位置，在x=18.1 m前后每间隔10 cm各布置了两个浪高仪。实验布置图如图1所示。

表1 聚焦波参数Tab.1 Focusing wave parameters

聚焦波浪参数见表1，这里的kcA为表征聚焦波非线性大小的参数，其中kc为中心频率相对应的波数，A为聚焦波幅值。聚焦波浪的频谱采用等波幅。

作为示例，图2给出了组次fc1时，各阶成分对应的造波板位移时间序列对比，从图中可以看出，波浪的和频成分占了很小的量级，二阶差频成分是造成造波板总位移不同于一阶造波板位移的主要原因。而且二阶差频成分类似于孤立波造波板的相反位移，这是由于可以抑制自由伪长波(基本上只有波峰)的波浪成分可以看做是倒置的孤立波[15]。因此，为了抑制聚焦波中的自由伪长波，随着有限水深中波陡的增加，波浪非线性增强，造波板需要更大的冲程，这是二阶造波理论在实验室应用中的一个限制。

图2 组次fc1造波板位移时间序列Fig.2 The history of the wavemaker paddle displacement for case fc1图3 组次fc1线性理论波面和二阶造波理论计算波面对比Fig.3 Comparison of the linear wave elevation and second order wave elevation for case fc1

图3给出了波浪聚焦点处线性叠加理论波面、二阶造波理论计算波面、二阶和频成分和二阶差频成分的对比。波浪差频和和频成分的量级相对较小，且在波峰处二阶和频成分会相应产生一个小的波峰，而二阶差频成分为一个周期较长幅值很小的波谷，其幅值为-4.65×10-3m。与线性叠加理论波面相比，受二阶非线性项的作用，二阶造波理论计算的波面在聚焦时峰值稍大，波陡稍大。

图4给出了造波机产生不同组次聚焦波浪时，距离造波板5 m处浪高仪实测的一阶和二阶造波方法生成的波列和理论计算波列的无因次频谱比较图。从图中可以看出，在低频部分，如预期的那样，一阶造波不能正确地再现次谐波部分，而二阶造波理论的能量略大于一阶结果，更加接近于理论结果；主频部分三者结果基本一致；而超出波浪相互作用谐波频率范围高频部分一阶和二阶结果都高于理论结果，但是这部分的波浪能量很小。

作为示例，图5给出了组次fc2，水槽内波浪聚焦前后沿程位置的频谱比较图。可以看出，距离造波板比较近的位置，一、二阶造波的能量在低频部分差别明显。而随着波浪的聚焦，非线性特征越明显，一阶造波和二阶造波产生的波浪的能量分布发生了较大的变化，低频部分的一、二阶的能量会增大。尤其是在x=26 m处，一、二阶造波产生的波浪能量大致相同并且与理论计算值趋于一致，这导致了低频部分的区别不明显。这种频谱变化主要归因于伴随粘性阻尼的非线性能量传递以及由侧壁上的接触引起的运动和耗散[16]。

图4 产生不同组次聚焦波浪时,距离造波板5 m处一阶造波和二阶造波产生的波浪分析所得频谱与理论计算谱的比较Fig.4 Comparison of analyzed wave spectra for waves generated at x=5 m by the first and second order wave generation theories and theoretical spectrum

6-a 低通滤波结果6-b 放大10倍后与波面比较图6 组次fc1不同位置处一阶和二阶造波产生的波浪低通滤波结果的比较以及与理论波面的对比Fig.6 Comparison of low-pass wave surfaces of the generated waves by the first and second order wave generation theories for case fc1, and the corresponding theoretical wave surface

为了进一步分析二阶造波产生聚焦波浪的特征，截断频率取0.3 Hz，图6给出了组次fc1，一阶造波和二阶造波产生的不同位置处的波浪低通滤波后的结果对比(图6-a)。同时，为了更好地观察低频波浪特征与实测波浪波面的关系，图6同时将左图滤波结果放大10倍后与实测波面进行了对比(图6-b)。从图6-a中可以看出，在x=5 m处，一阶造波产生的波浪滤波结果显示出了幅值近似的波峰和波谷，而二阶造波产生的波浪滤波结果可以认为仅显示出波谷(理论上，二阶校正量理论仅显示波谷，但由于物理实验中本身存在的误差以及其他因素影响，导致无法达到理论预计结果)。可以说，在一阶造波的情况下，约束长波(波谷)和自由伪长波(波峰)倾向于在靠近造波机处相互抵消[15]，这与Schäffer[9]所得结论是一致的。在波浪聚焦位置，即x=18.1 m处，通过对一阶、二阶和理论计算波面的滤波结果的比较可以发现，二阶造波所得结果更接近于理论结果。而在其余位置，相对于二阶的滤波结果，一阶结果的长波显示出波峰稍大和波谷略小。同时，从图6-b可以看出，在x=5 m处，一阶造波产生的波面滤波结果中的波峰(自由伪长波)比主波传播的略早；并且随着波浪的聚焦，长波传播得越快，自由伪长波逐渐与主波分离，在x=26 m处，自由伪长波分量完全出现在主波之前。正是由于这些长波分量的不正确和非线性振幅色散，导致一阶造波时聚焦波的峰值(8.56×10-2m)比二阶造波时聚焦波的峰值(8.43×10-2m)略大，二者相差1.52%。

2.2 数值模型实验及结果分析

为了进一步分析二阶造波理论在聚焦波浪模拟时的必要性，将上述造波软件应用于数值水槽中进行聚焦波浪的数值模拟实验。数值水槽基于Fluent软件，采用动网格来模拟造波机的推板造波运动。水槽总长35 m，前20 m为有效区域，后15 m为消波区。水槽高度为1.4 m，水深1 m。数值计算时，网格数为61 000，在水面附近加密网格。聚焦波浪数值模拟实验波浪参数见表2。在距离前边界3 m、7 m、10.5 m(组次sfc1聚焦位置)、11 m(组次sfc2聚焦位置)、和13 m处输出数据记录波面。基于此数值水槽，对二维聚焦波一阶造波和二阶造波的波面过程进行了模拟。数值计算时，谱形采用等波陡，具体的聚焦波参数如表2。

图7 沿程各测点处一阶造波和二阶造波产生的波浪分析所得频谱与理论计算的谱比较图Fig.7 Comparison of analyzed wave spectra for generated waves along the numerical flume by the first and second order wave generation theories and theoretical spectrum

表2 聚焦波浪数值模拟实验参数Tab.2 Focusing wave parameters for numerical simulation

作为示例，图7给出了两组实验的沿程频谱的变化，与物模实验结果类似，高频部分一阶和二阶结果都大于理论二阶解的结果。而低频部分，二阶造波理论产生的结果更加接近于理论结果，而且二阶的能量略大于一阶的值。但在主频部分的较高频率处，一、二阶的结果略小于理论计算值，这是由于数模本身数值耗散引起的。其次，沿程来看，随着波浪的聚焦，波浪非线性增加，低频部分的区别相比于物模的结果来说依旧明显，这可能是由于数模和物模水槽后边界吸收反射的效果不同，对于约束长波和非约束长波的反射影响不同。

8-a 低通滤波结果8-b 放大3倍后与波面比较图8 组次sfc1,不同位置处一阶和二阶造波产生的波浪低通滤波结果的比较以及与理论波面的对比Fig.8 Comparison of low-pass wave surfaces of the generated waves by the first and second order wave generation theories for case sfc1, and the corresponding theoretical wave surface

图8为组次sfc1一阶造波和二阶造波产生的波浪在低通滤波后(截断频率取0.3 Hz)的结果对比(图8-a)以及相应的滤波结果放大3倍后与实测波面的比较(图8-b)。同物模实验结论基本一致，即一阶造波波峰稍大、波谷略小，聚焦时一阶造波的峰值(1.72×10-1m)比二阶造波的峰值(1.68×10-1m)要稍大，二者相差2.38%。所以，同物模相比数模结果区别更加明显，自由伪长波带来的影响更加突出。

3 结论

本文基于二阶造波理论建立了模拟聚焦波浪的造波软件，并应用于相应的物理水槽和数值水槽。基于物理水槽和数值水槽波浪实验，验证了二阶造波理论的有效性，说明了采用二阶造波理论的必要性。

从波列频谱的沿程变化和不同位置的次谐波序列两方面比较了一阶造波和二阶造波方法的区别。通过对物理模型实验和数值模型实验结果分析来看，二阶造波最明显的特征是通过增加造波板的冲程来抑制自由伪长波的生成，使产生波浪的约束长波能量更加接近二阶造波的理论解。

另外，需要说明的是，由于二阶造波需求的造波板冲程较大，在使用的时候需要注意。