微型四旋翼飞行器的分析

摘 要：本文初步建立了四旋翼飞行器的模型框架，并对其进行了受力及力矩分析，初步建立了四旋翼飞行器的状态方程，并用PID控制器对其进行控制。

关键词：四旋翼飞行器；状态方程

一、引言

1.国内四旋翼飞行器的发展现状

国内对四旋翼飞行器的研究工作相对国外较晚，但在不断的摸索和实验后也取得了值得肯定的进步。目前，南京航空航天大学的飞行技术实验室对四旋翼飞行器的研究一直名列前茅。[1]该实验室于2008年基于时间尺度理论对飞行器进行系统的划分，并对划分后的每个子系统都设计了控制器，实现了稳定的飞行控制。国防科技大学的机器人实验室成立于2004年，至今一直致力于四旋翼飞行器控制领域的研究，在不断的努力中也取得了非常大的进展。[2]除此之外，还有一些高等院校在四旋翼飞行器的研究方面也取得了可喜的进展，如清华大学、北京理工大学、中国科学技术大学等。

与此同时，国内许多新兴的企业如雨后春笋般的涌现，尤其是位于行业领先的大疆创新公司。大疆创新公司成立于2006年，经过不断的发展，其技术水平一直领先于国内外其他主营飞行器的厂商，这也使得大疆公司占据着全球无人机以及飞行器市场的半壁江山，在世界各地都能发现大疆无人机的身影，其产品如今也被广泛的运用到测绘、安防、影视、农业等领域中。[3]

2.飞行器的控制方法

四旋翼飞行器实质上是一类复杂的非线性系统，其本身具有复杂的动力学特性，在控制过程中多个量相互间不独立，具有强耦合性，很难建立过渡段模式的精确数学模型。因此在分析时，往往将四旋翼飞行器视为刚体，所以必须对其在笛卡尔坐标系下的平移运动以及绕自身机体轴的转动做出正确的描述，这也就意味着四旋翼同时拥有6个自由度，但只由4个控制输入量加以控制，因此，四旋翼飞行器又是一种控制输入数目少于系统自由度个数的欠驱动系统。以上几种特性无疑增加了设计一套高效的四旋翼飞行器控制方法的难度，这也是四旋翼跟踪控制领域中的面临一个很大的挑战。目前，通常可以四旋翼飞行器的控制算法分为：线性控制方法以及非线性控制方法。

目前国际上经常采用的控制算法有PID控制、反演控制、滑模控制、神经网络控制和自适应控制等算法。本文结合实验室现有资源，基于ARM内核的嵌入式硬件平台，最终选用基于PID改进的串级PTD进行四旋翼飞行器姿态控制算法的设计与实现。既实现了四旋翼飞行器对姿态控制要求的稳定与及时，又考虑了嵌入式硬件平台有限的资源，算法的实现具有很大的工程应用价值。[4]

二、四旋翼飞行器的模型建立

1四旋翼飞行器空间运动的表示

1.1 飛行原理介绍

四旋翼飞行器由转子、机架和飞行控制板组成。四个转子固定在成“X”形状的机架上，转子由直流电机和螺旋桨构成。四旋翼飞行器通过改变四个螺旋桨的转速来实现不同的飞行状态，无需安装转轴，结构比较简单。

四旋翼飞行器的旋翼可以随着机身轴距的增加而加大，以保证能够为飞行提供足够的动力。此外，四旋翼飞行器是通过平衡四个旋翼产生的力来实现精确飞行和稳定悬停的，四个旋翼产生的推力较单个旋翼产生的推力能更好的实现飞行器的静态悬停。四旋翼飞行器的相邻电机之间的转向相反，且都位于同一水平面，当飞行器平衡飞行时，可以互相抵消自身旋翼旋转所带来的空气动力扭矩效应以及螺旋桨之间的空气扰动。[5]四旋翼飞行器的基本运动方式主要有悬停、横滚运动、俯仰运动、偏航运动以及升降运动。[6]

1.2 坐标系的建立

为了说明质点的位置、运动的快慢、方向等，我们需要选择合适的坐标系。因为我们不仅需要描述其位置信息，还要描述物体的姿态。为此，定义了可以确定飞机在空间中的位置和姿态的机体坐标系。定义的两个坐标系如图2.4所示。

（1）地面坐标系

地面坐标系可在通常是以大地坐标系为参考，理论上可以任意建立.如图2.4中的 。在本文中取其原点 为于四旋翼飞行器的起飞点处， 轴 轴相互垂直且平行于地面，定义 轴指向正北方向， 轴指向正西方， 轴垂直与地心指向天空， 与 ， 轴构成右手坐标系。

（2）机体坐标系

机体坐标系如图2.4中的 ，原点位于四旋翼飞行器的中心位置。在十字型四旋翼中， 与前后两旋翼所在轴重合，指向飞行器的前进方向， 与左右两旋翼所在轴重合，定义所指向的方向为正方向 与 、 轴构成右手坐标系。

.3 飞行器状态参数简介

在定义好上述两个参照坐标系后，可以引入描述飞行器姿态与位置的六个自由度。位置变量 ，其中x，y，z分别代表四旋翼飞行器的中心相对于地面坐标系原点的位置偏移量在地面坐标系三个坐标轴上的分量；欧拉角 ，其中 ， ， 分别代表横滚角、俯仰角、偏航角。[7]，用欧拉角法得到的旋转公式为

（2.1）

偏航角 ：飞行器机体轴 在地面坐标系 面上所形成投影线与 轴之间的夹角。

俯仰角 ：飞行器机体轴 与其在地面坐标系 面上所形成投影线的夹角。

横滚角 ：飞行器机体轴 与其在地面坐标系 面上所形成投影线的夹角。

2.四旋翼飞行器的数学模型

由于四旋翼飞行器整个系统比较复杂，在建模过程中存在很大的难度，我们对建模作出如下假设：

（1）实验中的四旋翼飞行器是刚体结构，且于中心对称，质量分布均匀，整机质量为46KG

（2）飞行器的中心点与机体坐标系的原点为重合关系

（3）飞行过程中，飞行器的重力是一定值，不会随飞行器空间位置和姿态的不同而变化

（4）假设飞行条件比较理想

在选定的参考坐标系下一般都利用牛顿欧拉方程对四旋翼无人机进行整体的分析。在忽略机身弹性振动以及轻微形变的情况下，四旋翼飞行器的运动可以看作是六个自由度的刚体运动，包括飞行器机身绕着机体坐标系的三个轴臂的转动以及飞行器沿平行于三个轴臂方向上的线性平移运动。

2.1 四旋翼飞行器的受力及力矩分析

四旋翼飞行器的旋翼一般由两到四片桨叶固定在中心桨毅上，并以两两间成正反桨的方式旋转。电机带动旋翼旋转产生垂直于机体平面向上的升力控制四旋翼飞行器飞行。旋翼的质量好坏直接影响着升力的大小，升力的大小变化影响着飞行器的飞行性能。旋翼旋转所产生的空气动力以及阻力可以同分析刚体的动力学一样用相关的动量理论结合叶素（BEM）理论来进行分析。[8]

由旋翼和桨葉相关的气动学理论可知，当四旋翼的电机带动旋翼转动时会产生垂直与机身平面 的升力 ，同时带来空气阻力 ，侧倾力矩 以及使机身旋转绕 轴旋转的扭矩力 。旋翼转动所产生的着四种不同的效应均可假设与电机旋翼的转速成正比，由于阻力 以及侧倾力矩 的系数通常情况下近似为0，因此可以忽略这两种响应，升力 和旋转扭矩力 的表达式如下

其中， 为升力系数， 为扭矩系数， 为空气的密度， 为旋翼的半径， 是单面旋翼的表面积， 为旋翼的转速。

将已知量代入（2.2）、（2.3）可得

其中 ， 代表比例系数。又因为飞行器四个旋翼旋转产生升力的总合力总是垂直与机身平面 平行于机身 轴，可以得到升力在地面坐标系下的表达方程

假设四旋翼飞行器的四个电机到机身质心的距离都为 ，则旋翼旋转产生的升力作用在机身 轴 轴上的力矩分别为 和表示如下

飞行器四个旋翼旋转产生的总力矩 为

2.2 四旋翼飞行器的重力

此外，因为四旋翼飞行器有着一定的重量，所以还应考虑其在飞行中所受到的重力。因为重力总是竖直向下的，因此，重力在地面坐标系下只在 轴向有分力影响，假设所用四旋翼飞行器的质量为m，可得

2.3 四旋翼飞行器的运动学模型

由牛顿定律，四旋翼飞行器中心在进行平移运动时的动力学矢量表达式为

上式中 为四旋翼飞行器的速度矢量，m为质量， 为飞行器所受合外力的总和，可以得到四旋翼飞行器在地面坐标系下的位置状态方程为

将四旋翼飞行器在地面坐标系下的位置状态方程代入方程（2.11）与升力在地面坐标系下的表达方程（2.6）可得得到四旋翼飞行器整体的位置运动模型如下

2.4 四旋翼飞行器的动力学模型

根据动量矩定理，四旋翼飞行器绕机身中心旋转的动力学矢量方程为

其中， 代表四旋翼飞行器质心的动量矩矢量，将其投影到机体坐标系上可以得到飞行器绕质心作旋转运动时的矢量方程为

上式中， 表示飞行器的转动惯性常量，因为前文己经假设实验中的四旋翼飞行器质量均匀且结构对称，可得机体坐标轴下的转动惯量为

另外，在机体坐标系下，根据动量矩有如下表达式

将（2.17）代入方程（2.18）并结合前文（2.9）可得

2.5 四旋翼飞行器的状态空间表达式

通过牛顿一欧拉方程得到的动力学模型是非线性的，而需要设计的控制器是线性的，所以需要将非线性的模型线性化。在地面坐标系中，将线速度分解到三个坐标轴上，其方向与所在坐标轴相同，数值大小为0，角速度的数值也为0。选取公式（2.20）作为四旋翼飞行器的输入量：

联立方程（2.13）与方程（2.19）可得线性化方程

通过上述条件和式可得，飞行器处于空中稳定悬停状态，计算出系统的稳态值为 ， ，忽略飞行器的升力与反力矩之间的耦合关系。以 为输入，构建四旋翼飞行器的状态矩阵，由此得到的状态方程如式（2.22）所示

四旋翼飞行器的控制律

PID控制器设计

由四旋翼模型可以看出，其模型有四个输入变量与六个输出变量，属于不完全控制，各变量之间相互之间存在耦合。

在设计控制率时，首先对模型进行化简。由于本文假设四旋翼是在小角度、低速度的情况下进行飞行，因此可以忽略陀螺效应对三轴角速度带来的影响。[9]从而得到化简后的模型。

观察化简后的四旋翼模型，可以发现其三个姿态角变量以及高度变量仅与四个输入变量有关，而X，Y轴位置的控制则同时与输入以及姿态角有关四旋翼飞行器的姿态与高度均完全可控。因此，将四旋翼模型拆分成两个子控制系统，内环系统为姿态控制系统，外环系统为位置控制系统。

其中 代表比例环节增益， 积分环节时间常数， 微分环节时间常数。

比例环节可以对偏差信号对应比例的放大，较大的比例环节增益可以提高系统的快速性，但过大的比例环节增益会使系统调节时间过长，影响系统的稳定性；积分环节主要在调节的后期消除系统的稳态误差，保证实现系统的无静差调节，只要系统当中存在动态误差，则积分环节就会动作，直到系统没有误差为止。积分环节的加入会降低系统的稳定性，动态响应也会变得迟钝。微分环节主要可以改善系统的稳定性和响应速度，它可以根据偏差的变化率对偏差进行预调节，改善系统的动态性能。不过，过大的微分环节会使系统的抗干扰能力大大降低。

参考文献

[1] 许喆.四旋翼无人机控制系统的设计与实现田[D].南京理工大学，2017.

[2] 李玉红. 三自由度四旋翼飞行器的控制方案研究[D].东北大学，2012.

[3] 张心驰. 四旋翼飞行器控制系统的研究[D].南昌大学，2018.

[4] 王根. 四旋翼飞行器的基于PID姿态控制算法的设计与实现[D].东南大学，2017.

[5] 黄溪流. 一种四旋翼无人直升机飞行控制器的设计[D].南京理工大学，2010.

[6] 徐诚，黄大庆，孔繁锵.一种小型无人机无源目标定位方法及精度分析[J].仪器仪表学报，2015，36（05）：1115-1122.

[7] 宋自立. 四旋翼飞行机器人增稳控制方法研究[D].华北电力大学，2014.

[8] 段宏. 基于动量叶素理论的风力机风轮建模仿真[D].华北电力大学（北京），2016.

[9] 米培良.四旋翼飞行器控制与实现[D].大连.大连理工大学.2015

作者简介：姚兴宇，1997.9，男，汉族，河南洛阳人，河南大学，国际教育学院 2016级本科生在读，研究方向：测控技术与仪器。