探寻世界的秩序与模式

新原理

制约宇宙的定律是否允许我们准确地预测到将来会有什么发生在我们身上？《十问：霍金沉思录》中写道，“简短的回答既是否定的，也是肯定的。在原则上，定律允许我们预测未来。但在实践中，通常计算都太难了。”我们能够预测未来吗？这是一个许多人都在试图回答的问题。量子力学的奠基人之一玻尔曾说过：“预测任何东西都是极其困难的，尤其是关于未来。”能解释事物如何变化是我们预测事物的关键。变化往往是缓慢的，比如在生物学的进化系统；有时变化又非常快，比如火山爆发。在某种意义上，两者都是可预测的事件。难以预测的是突然的变化——比如一个看似稳定的系统突然发生灾难性的变化。关于预测，有一个在哲学上似乎矛盾的问题，那就是：我们能否预测不可预测的事？或许，数学能帮我们回答这个问题。

我们能预测未来吗

这个宇宙是全然随机的吗？还是说它具有某些秩序与模式？很显然，大自然背后的确存在着基本的模式。正是因为意识到了这一点，人类才走上了通往现代化的道路。可以说，科学所寻找的正是宇宙的秩序与模式。而数学不仅是这些模式的基础，它还为我们提供了一种描述宇宙的方法。如果你仔细观察，你就能看到在我们的周围充满了秩序与模式。例如雪花就是一个例子，虽然每一片雪花都不一样，但它们都有着精确的六倍对称。自然界中遍布着高度规律的模式，我们早已习以为常，却鲜少停下来去思考它们为什么存在。然而，无论是雪花的形状，还是晶体的原子排列，又或是岩石的折叠，它们背后都有着非常基本而又了不起的成因。更令人惊叹的是，一些伟大的头脑观察到了恒星和行星运动的秩序和模式，从而打开了通往现代世界的大门。在这里，有一位不得不提的科学家，那就是伽利略。1581年，伽利略在比萨大教堂中观察青铜吊灯的摆动时，他意识到吊灯的摆动是受可预测的规律支配的。他发现在气流影响下晃动的吊灯，无论其摆动的幅度如何，来回摆动一次所花的时间都是一样。然后，他用自己的脉搏来计时，在家里用大小不同但长度相同的钟摆来进行试验。最终证实了钟摆的摆动时间并不取决于它的大小，也不取决于它的位置，只取决于它的长度。从此，钟摆的摆动成了可预测的信息。不过当时的伽利略并不知道为什么会是这样，在他去世后不久，另一位伟大的科学家诞生了，那就是牛顿。牛顿发现了许多隐藏在宇宙模式背后的定律，而且还发明了微积分等数学技术，这为我们理解宇宙的基本定律提供了重要工具。牛顿用他的三大运动定律清楚地描述了运动物体的运动方式。这些定律全部可以用数学来描述，特别是微分方程，可以精确地描述运动如何随时间演化。利用微分方程在动力系统理论中所起的核心作用，最终可以得到钟摆的长度（l）与摆动周期（T）之间的精确数学关系：如果钟摆的长度l=1m，那么T=2.00607，其中g=9.81ms-2。这与伽利略的观测完全吻合。牛顿成功地将运动规律转化成了数学，然后用数学的解来预测系统在未来的行为。这为理解宇宙的一般方法提供了一个思路，这是一个真正的开创性想法，是科学发展史中转折性的时刻。

在数学的帮助下，天文学家发现了海王星。这个巨大的胜利给了数学家们莫大的信心，这表明通过将观察到的宇宙模式转化成数学，就可以对未知事物的存在做出预测。到了1860年，麦克斯韦通过将法拉第的电和磁定律写成数学方程再求解之后，预言了电磁波的存在。现在，我们预测未来天气也有着类似的工作原理，我们会利用当天的天气，然后求解纳维—斯托克斯大气运动方程和热力学方程以观察大气的演变。这些都是复杂性极高的方程，需要用计算机才可以求解。目前，我们已能够足够精确地完成这些计算，以较高的精度预测未来的天气。事实上，人类的行为本质上是不可预测的，我们能够行使自由意志。不可预测也发生在物质世界。比如我们无法准确预测10天之后的天气，同样我们也很难预测气候现象，厄尔尼诺南方涛动现象（ENSO）就是一个很好的例子。不可预测性的无处不在似乎与拉普拉斯预测的有序宇宙相矛盾。伴随着牛顿定律在预测未来方面上的许多成功案例，我们不禁要问这样一个问题：我们在自然界中看到的许多不可预测性真的是因为自然界的复杂性和无法解释性导致的吗？还是说，看似不可预测的行为实际上能从受牛顿定律支配的系统中产生？

混沌行为

我们可以通过一个相对简单的系统来回答这个问题，那就是双摆系统。双摆系统是由两个单摆耦合在一起形成的，它是伽利略对单摆研究的延伸，显然，这个系统也受牛顿运动定律的支配。这个系统只有两个运动的部分，即上半部分的单摆和底部的单摆，每个部分都有位置和角速度这两个变量。因此这个系统可以简化为4个自由度。这比有着数十亿个自由度的天气要少得多。但即便如此，双摆的行为仍然非常复杂，我们可以将它的运动划分为3类。如果上半部分和下半部分的单摆以较小的角度被拉到同一边，那么它们会像单摆一样以规律的方式同步摆动；如果这两个部分以较小的角度被拉向相反的方向，那么当它们被释放时则会继续朝着相反的方向运动，这种异相的运动会一直周期性地持续下去。最后，如果我们给钟摆一个大大的摆动，那么双摆将以一种最不稳定的几乎随机的方式运动。这样的运动已经完全不符合我们前面所描述的可预测性，而是成了混沌运动。可能有人会说这种混沌运动之所以看似随机，是因為双摆只是对随机气流做出反应。然而事实却并非如此。根据牛顿运动定律，我们可以用一对耦合的非线性二阶常微分方程来描述这样一个双摆系统的运动：θ：角度，l：长度，m：质量。如果夹角较小，则可以用线性逼近，对系统进行精确求解，预测上述的同相和异相行为。但如果夹角很大，则只能使用计算机来进行数值求解了。在完全基于牛顿运动定律的基础上，计算机可以给出与物理系统完全相同的行为，这表明混沌行为确实可以作为牛顿方程的解存在。

那么我们应该如何定义混沌行为呢？数学家Chris Budd将其描述为：混沌运动是一种复杂、不规则且不可预测的行为，它产生于一个“简单”的系统，可以用“简单”的数学定律进行精确地描述。混沌运动的一个关键特征在于它们对初始条件的敏感性，两个非常接近的初始状态会以非常不同的方式进化，然后产生混沌。这种现象有一个通俗易懂的名字——蝴蝶效应。蝴蝶效应的概念引发了公众的无限想象，它表明即使是微小的变化也会对未来产生巨大的影响，这种观点似乎能与我们对宇宙如何运行的一些看法产生共鸣。这种混沌行为存在于许多物理系统中。比如在一张混乱的台球桌上，台球在桌子上撞来撞去，它们的运动模式是高度复杂的，然而就像双摆一样，它产生于非常简单的运动定律。这个场景在光学、声学以及高频WiFi中都有非常实际的应用。就拿WiFi来说，我们很难预测一个房间内的WiFi的覆盖强度，这意味着真正的混沌行为无处不在。“然而，在实践中，我们预测未来的能力受限于方程的复杂性以及它们通常具有称为混沌的属性这一事实。”《十问：霍金沉思录》如是写道。

混沌理论

混沌理论起源于洛伦兹在1963年发表的一篇论文，当时他正在试图研究大气的运动。经过大量简化之后，他将系统简化为3个常微分方程。在20世纪60年代以前，要准确地解出这个方程组是不可能的。但之后快速数字计算机的出现，使求解成为可能，其结果让洛伦兹非常惊讶。他得到的结果并没有出现他以为会出现的周期行为，而是以一种不稳定的方式出现，他称之为混沌。20世纪60年代发现的混沌在当时引发了很大的轰动，它吸引了许多学者的关注，也掀起了大众媒体对此的报道热情，其中还包括大量的炒作。不过，混沌动力学的发现其实发生在更早的时候，它的发现很大程度上要归功于伟大的法国数学家庞加莱。当时，庞加莱正在研究太阳系的稳定性。我们知道，如果一颗行星绕着太阳旋转，那么它的运动是周期性的，而且可以用牛顿定律精确地预测出来。然而，庞加莱证明了一个由3个质量相似的物体组成的系统在万有引力作用下只会在不规则轨道上运动。我们很难看出洛伦兹系统中的混沌行为是如何产生的，许多数学理论在一开始时都很抽象，你很难想象它的用途，但它们却能在后来成为科学和技术的核心。混沌理论就是很好的例子。洛伦兹在20世纪60年代的工作在很大程度上都是理论性的，但人们很快意识到，许多物理系统确实有非常混沌的行为。许多其他重要系统也被认为是混沌的，比如天气、汽车尾气、电力供应系统、摩擦刹车、气候变化、WiFi、脑电图信号、心电图信号以及小行星的运动等。混沌理论使我们能够理解、测量，并在某些情况下控制这些混沌系统表现出的不确定性行为。现在我们认识到，混沌行为是由复杂的、非线性的、确定性过程控制的任何事物的自然模式的一部分。小行星就是一个很好的例子，它们有着非常复杂的轨道，这是我们必须理解的事实，否则我们可能无法预测小行星是否以及何时会撞击地球。从这个角度看，混沌理论在拯救人类方面还具有至关重要的意义！当然混沌还有一些不这么耸人听闻的应用。例如，混沌理论在计算机图形学中扮演着越来越重要的作用。混沌理论几乎有着无限的应用，虽然它带来的似乎是混乱和不可预测性，但它却是我们理解世界的一种至关重要的方法。