关于二元函数可微性的判定

高义

摘要：二元函数可微性是数学分析学习中重要的也是难以理解的知识点之一，为了帮助学生对该知识点进行更好的理解和掌握，本文从可微性的定义入手，辅以具体的例子，对二元函数可微性的判定条件展开了讨论和分析，进而给出一个判定二元函数可微性的流程图.

关键词：二元函数;可微;偏导数;连续

中图分类号：O174.41  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2019）04-0007-04

二元函数可微性是数学分析教学和学习中的一个重点和难点，涉及的知识点有二元函数的连续性、偏导数以及全面极限的计算等. 另外，由于可微性是刻画二元函数性态的一个更加精细的概念，因而受到人们广泛的关注，尤其在教学方面，有很多文献[1-12]对此进行了讨论.我们在长期的教学中也发现，学生对二元函数可微性的概念的理解不够深入和系统，这对后继课程如复变函数的学习带来了影响.为了更好地引导学生思考，本文对二元函数的可微性展开了讨论，以可微性的定义入手，通过启发性问题和典型例子层层引领学生对可微性的概念、判定条件等进行细致分析.同时，本文对已有的关于二元函数可微性的判定条件的基础上，归纳总结了判定二元函数可微性的充分条件或弱化的充分条件以及充要条件，进而給出一个判定二元函数可微性的流程图，清晰地展示了二元函数可微或不可微的判别条件，对二元函数可微性的判定做了一个有益补充.

1 二元函数可微性的定义

我们先给出二元函数可微性的定义.

定义1[13，14] 设函数z=f（x，y）在P0（x0，y0）点的某邻域有定义.若函数f在P0点的全改变量？驻z可表为

我们对此定义给出注解.

不存在或者不等于0的话，那么函数f在（x0，y0）点不可微.也就是说，如果一个二元函数f在（x0，y0）点的两个偏导数都存在，还要想进一步判断其在该点的可微性，我们只要求解极限（1.2）即可.

2 二元函数可微性的判定

利用定义判定一个函数的可微性固然重要，但是需要求极限（1.2），有时候，求极限（1.2）不是件容易的事情.本节从可微性的定义出发，讨论分析其它的可微性的判定方法.首先，我们讨论函数可微性和连续性的关系.由定义1，函数的可微性显然可以推得其连续性.

定理1[13] 若二元函数f（x，y）在点P0（x0，y0）可微，则f（x，y）在点P0（x0，y0）连续.

自然地，一个二元函数在某点连续，那么它在该点可微吗？为此，我们给出一个例子进行说明.

不存在，即偏导数fx（0，0）不存在，由注1知道该函数在（0，0）点不可微.

由例1知函数的可微性要比连续性更强，一个二元函数在某点连续，并不意味着其在该点可微. 但是，若一个二元函数在某点不连续，那么它在该点一定不可微，即连续性是可微性的一个必要条件.例1是因为函数的偏导数不存在而导致其不可微，那么是不是一个二元函数在某点的两个偏导数都存在就一定能说明其在该点处可微呢？我们再看一个例子.

由例2看到，一个二元函数在某点的两个偏导数存在并不能完全保证函数在该点的可微性. 既然可微性要求两个偏导数都要存在，那么我们在此基础上能否加强，使得函数能够可微呢？

定理2[13，14] 若二元函数f（x，y）在P0（x0，y0）点的某邻域内存在偏导数，且fx（x，y），fy（x，y）在P0（x0，y0）点连续，则f（x，y）在P0（x0，y0）点可微.

相比较求解极限（1.2），定理2的条件的验证较容易. 该定理可以推广到某个区域上处处可微性的判断，我们只要判断函数偏导数的在某个区域上的存在性和连续性即可.

定理3 若二元函数f（x，y）在区域D内处处存在偏导数，且fx（x，y），fy（x，y）在D内处处连续，则f（x，y）在D内处处可微.

注3 定理3在判断一个复变函数是否为解析函数时很重要，关于解析函数的概念参见文献[15].

例3 考察函数f（x，y）=exsiny在平面R2上的可微性.

在平面R2上处处连续，所以函数f（x，y）=exsiny在平面R2上处处可微.

然而，定理2的条件能否减弱呢？假如一个二元函数的两个偏导数有一个在某点连续，另外一个在该点不连续，能否判断这个二元函数在该点可微呢？我们给出另外一个例子.

通过例4，我们看到定理2的条件可以减弱，为此，我们给出如下的定理.

定理4 若二元函数f（x，y）在P0（x0，y0）点的某邻域O（P0）内存在偏导数fx（x，y）和fy（x，y），且二者中至少有一个在P0（x0，y0）点连续，则f（x，y）在P0（x0，y0）点可微.

一个自然的问题是，一个二元函数的某个偏导数连续是判断该函数可微性的必要条件吗？我们看如下的例子.

的偏导数存在，但偏导数在（0，）点不连续，而该函数在（0，0）点可微.

通过例5我们看到，定理2仅仅给出了一个判断函数在某点可微的充分条件，而不是必要条件.不仅如此，一个二元函数的两个偏导数在某点都不连续，但这个函数也有可能在该点可微. 然而，除了定义，有没有一个判断二元函数在某点可微的充分必要条件呢？文献[5]基于方向导数，给出如下定理.

基于可微性的几何意义，文献[14]给出另外一个判别函数可微性的充要条件.

定理6[14] 二元函数f（x，y）在P0（x0，y0）点可微的充要条件是：曲面z=f（x，y）在点P（x0，y0，f（x0，y0））存在不平行于z轴的切平面.

综上，我们给出一个判定二元函数可微性的流程图.

最后，关于函数的可微性，我们给出几点说明.

（1）二元函数可微性的情况可以推广到多元函数的情形，参见文献[16，17].

（2）二元函数可微性在判断某个复变函数是否为解析函数时显得尤为重要，关于这方面的讨论参见文献[15，18-20].

（3）可以进一步讨论二元函数一致可微性的概念，参见文献[21].

3 结论

本文是对二元函数可微性这一知识点经过多年教学实践而形成的总结，主要通过设置问题和典型例题入手层层引领学生提高对二元函数可微性的认识、理解和掌握.同时，在对已有二元函数可微性判定条件的基础上，讨论并分析了判定二元函数可微性的充分或必要条件，进而给出一个判定二元函数可微性的流程图，清晰地展示了二元函数可微或不可微的判别条件.

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