概率论在生活中的应用

吴长国

概率论与我们的生活息息相关。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于 0和100%之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率；生产、生活更是离不开概率。在令人心动的彩票摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。继股票之后，彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点。然而彩票中奖的概率是很低的。有笑话说全世界的数学家都不会去买彩票，因为他们知道，在买彩票的路上被汽车撞死的概率远高于中大奖的概率。随着科学的发展，数学在生活中的应用越来越广，生活的数学更是无处不在。而概率作为数学的一个重要部分，同样也在发挥着越来越广泛的用处。 抽样调查，评估，彩票，保险，甚至在日常生活中购买蔬菜水果之类的时候也经常会遇到要计算概率的时候，下面就通过几个例子具体看看在这些方面中概率的应用。

在水果批发市场上打算买几箱苹果，他询问卖主所售苹果的质量如何，卖主说一箱里（假设为100个）顶多有四、五个坏的。李老师随后挑了一箱，打开后随机抽取了10个苹果，心想这10个中有不多于2个坏的就买，可他发现10个苹果中有3个是坏的。于是李老师对卖主说，你的一箱苹果里不止有5个坏的。卖主反驳说，我的话并没有错，也许这一箱苹果中就这3个坏的，让你碰巧看见了。李老师的指责有道理吗？解：假设一箱里有100个苹果，其中有5个坏的。我们知道所抽取的10个中坏苹果数等于3的概率为：10C53C100−−35P（X=3）=≈0.00625 10 C100同理可以得到：P（X=4）≈0.00038P（X=5）≈0.000003根据古典概率的定义，抽取10个中坏苹果数大于2的概率 P（X>2）=P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）≈0.006633。这表明，一次抽取10个，发现多于2个坏的概率很小，几乎是不可能的，现在居然发生了。说明：本例反映了“先尝后买”中的数学道理，即抽样调查的方法。先尝后买决定买不买比不尝就买的风险要小，但风险依然存在。

同样的，概率所产生的一些看似不可思议的事实往往能给人们以启发。例如，生日悖论。生日悖论是指，如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级（30人）中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。计算与此相关的概率被称为生日问题，在这个问题之后的数学理论已被用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击。在《著名的生日悖论》中说道：23个人里有两个生日相同的人的几率有多大呢？居然有50% 我不能理解，想了半天，都没有一个结果。怪就怪早已把高中的概率知识忘得一干二净了，连基本的概率公式都看不懂了。这样描述：如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生 日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级（30人）中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。几乎把所有的搜索引擎都搜了个遍，终于有点理解了。不计特殊的年月，如闰二月。先计算房间里所有人的生日都不相同的概率，那么：第一个人的生日是365选365第二个人的生日是365选364第三个人的生日是 365选363……第n个人的生日是365选365-（n-1）所以所有人生日都不相同的概率是：（365/365）×（364/365）×（363/365）×（362/365）×……×（365-n+1/365）那么，n个人中有至少两个人生日相同的概率就是：1-（365/365）×（364/365）×（363/365）×（362/365）×……×（365-n+1/365）所以當n=23的时候，概率为0.507当n=100的时候，概率为0.9999996〔5〕真是不算不知道，一算吓一跳。

这让我想起了必修（三）中的一个很有意思的数学题：非洲有个国王下了一道命令，国内所有的臣民如果生了个儿子，那就不许再生了；如果生了个女儿，那就可以 接着生，一直生到儿子为止。题目问我们，如果照这样生下去，这个王国的男女 比例会呈现一个什么样的趋势。 我当时想啊，每对夫妻总只能生一个儿子，却可能生好多女儿，这样的生育 政策肯定会导致性别比例严重失调。可是后来一算啊，答案居然还是正常的男女 性别比例。网上就有人提出用这样的方式调节人口老龄化的问题，感觉很不错哦。那个人是这样考虑的：放开二胎不如让公民可以自由选择生育抑制：方案：1.父母可以自愿选择性别生育意愿（生男或者生女）2.一但生育意愿出现满足则停止生育，反之则可以继续生。 比如一对夫妇怀孕前先登记自己想要男孩还是女孩，比如想要男孩，但是生了女孩就以继续生，直到生出男孩或者不想生了为止。想要女孩也是如此处理。理解生日悖论的关键在于领会相同生日的搭配可以是相当多的。如在前面所提到的例子，23个人可以产生23×22/2=253种不同的搭配，而这每一种搭配都有成功相等的可能。从这样的角度看，在253种搭配中产生一对成功的配对 也并不是那样的不可思议。换一个角度，如果你进入了一个有着22个人的房间，房间里的人中会和你有 相同生日的概率便不是50：50了，而是变得非常低。原因是这时候只能产生22 种不同的搭配。生日问题实际上是在问任何23个人中会有两人生日相同的概率是多少。

下面说说概率的实际意义生活中有些事件发生的可能性很小，我们称之为小概率事件，一般认为概率 值小于0.05的事件为小概率事件。对小概率事件，人们往往不太重视。关于小概 率事件，有两个结论可用于指导我们的生活。第一个称为实际推断原理，即小概率事件在一次试验中实际上是几乎不发生的。如果出现概率很小的事件在只进行一次试验时竟然发生了，那我们有理由怀疑假设前提的正确性。例如学校刚刚举行的高中英语竞赛考试是全校检验学生英语理解应用水平的一种选拔性考试，具有很高难度，包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写作等。除写作15分外，其余85道题是 单项选择题，每道题有A、B、C、D四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸心理，那么靠运气能够取得好名次吗？答案是否定的。假设不考虑写作15分，及格按60分算，则85道题必须答对51题以上，可以看成85重贝努利试验。概率非常小，相当于1000亿个靠运气的考生中仅有0.874人能通过。所以靠运气 进入前6名是不可能的。

因此，我们在生活和工作中，无论做什么事都要脚踏实地，对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待。通过这些在生活中实际存在且随处可见的事情，可见概率统计在我们的生活中几乎无处不在，学好概率尤其是能够将学习的概率统计应用与实践中对我们确实是较困难而又受益非浅的事啊。